Номер 200, страница 35 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

200. Найдите значение выражения:

1) $4\sin 225^\circ - 6\cos 120^\circ + \text{tg } 300^\circ + 3\text{ctg } 240^\circ$;

2) $\sin \left(-\frac{11\pi}{3}\right) \cos \frac{13\pi}{4} - \text{tg } \left(-\frac{5\pi}{6}\right) \text{ctg } \frac{7\pi}{6}$;

3) $\sin 463^\circ \cos 373^\circ + \cos 103^\circ \sin 193^\circ$;

4) $\frac{\sin 148^\circ \sin 168^\circ + \cos 12^\circ \cos 212^\circ}{\sin 110^\circ \cos 336^\circ + \cos 250^\circ \sin 24^\circ}$.

1) $4\sin 225^\circ - 6\cos 120^\circ + \operatorname{tg} 300^\circ + 3\operatorname{ctg} 240^\circ$

Для вычисления значения выражения воспользуемся формулами приведения, чтобы найти значения каждой тригонометрической функции для стандартных углов.

1. $\sin 225^\circ = \sin(180^\circ + 45^\circ) = -\sin 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

2. $\cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$

3. $\operatorname{tg} 300^\circ = \operatorname{tg}(360^\circ - 60^\circ) = -\operatorname{tg} 60^\circ = -\sqrt{3}$

4. $\operatorname{ctg} 240^\circ = \operatorname{ctg}(180^\circ + 60^\circ) = \operatorname{ctg} 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

$4 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) - 6 \cdot (-\frac{1}{2}) + (-\sqrt{3}) + 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = -2\sqrt{2} + 3 - \sqrt{3} + \sqrt{3} = 3 - 2\sqrt{2}$.

Ответ: $3 - 2\sqrt{2}$.

2) $\sin(-\frac{11\pi}{3}) \cos\frac{13\pi}{4} \operatorname{tg}(-\frac{5\pi}{6}) \operatorname{ctg}\frac{7\pi}{6}$

Найдем значение каждого множителя в выражении, используя свойства тригонометрических функций и формулы приведения.

1. $\sin(-\frac{11\pi}{3}) = -\sin(\frac{11\pi}{3}) = -\sin(4\pi - \frac{\pi}{3}) = -\sin(-\frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

2. $\cos\frac{13\pi}{4} = \cos(3\pi + \frac{\pi}{4}) = \cos(\pi + 2\pi + \frac{\pi}{4}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

3. $\operatorname{tg}(-\frac{5\pi}{6}) = -\operatorname{tg}(\frac{5\pi}{6}) = -\operatorname{tg}(\pi - \frac{\pi}{6}) = -(-\operatorname{tg}\frac{\pi}{6}) = \operatorname{tg}\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

4. $\operatorname{ctg}\frac{7\pi}{6} = \operatorname{ctg}(\pi + \frac{\pi}{6}) = \operatorname{ctg}\frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$

Перемножим полученные значения:

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} = -\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{4} = -\frac{\sqrt{6}}{4}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{6}}{4}$.

3) $\sin 463^\circ \cos 373^\circ + \cos 103^\circ \sin 193^\circ$

Упростим выражение, используя периодичность тригонометрических функций и формулы приведения.

$\sin 463^\circ = \sin(360^\circ + 103^\circ) = \sin 103^\circ$

$\cos 373^\circ = \cos(360^\circ + 13^\circ) = \cos 13^\circ$

$\sin 193^\circ = \sin(180^\circ + 13^\circ) = -\sin 13^\circ$

Подставим преобразованные значения в исходное выражение:

$\sin 103^\circ \cos 13^\circ + \cos 103^\circ (-\sin 13^\circ) = \sin 103^\circ \cos 13^\circ - \cos 103^\circ \sin 13^\circ$

Полученное выражение соответствует формуле синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$.

В нашем случае $\alpha = 103^\circ$ и $\beta = 13^\circ$.

$\sin(103^\circ - 13^\circ) = \sin 90^\circ = 1$.

Ответ: $1$.

4) $\frac{\sin 148^\circ \sin 168^\circ + \cos 12^\circ \cos 212^\circ}{\sin 110^\circ \cos 336^\circ + \cos 250^\circ \sin 24^\circ}$

Упростим отдельно числитель и знаменатель дроби, используя формулы приведения.

Числитель: $\sin 148^\circ \sin 168^\circ + \cos 12^\circ \cos 212^\circ$

$\sin 148^\circ = \sin(180^\circ - 32^\circ) = \sin 32^\circ$

$\sin 168^\circ = \sin(180^\circ - 12^\circ) = \sin 12^\circ$

$\cos 212^\circ = \cos(180^\circ + 32^\circ) = -\cos 32^\circ$

Подставляем: $\sin 32^\circ \sin 12^\circ + \cos 12^\circ (-\cos 32^\circ) = \sin 32^\circ \sin 12^\circ - \cos 12^\circ \cos 32^\circ = -(\cos 12^\circ \cos 32^\circ - \sin 12^\circ \sin 32^\circ)$.

Используем формулу косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$:

$-(\cos(12^\circ + 32^\circ)) = -\cos 44^\circ$.

Знаменатель: $\sin 110^\circ \cos 336^\circ + \cos 250^\circ \sin 24^\circ$

$\sin 110^\circ = \sin(180^\circ - 70^\circ) = \sin 70^\circ$

$\cos 336^\circ = \cos(360^\circ - 24^\circ) = \cos 24^\circ$

$\cos 250^\circ = \cos(180^\circ + 70^\circ) = -\cos 70^\circ$

Подставляем: $\sin 70^\circ \cos 24^\circ + (-\cos 70^\circ) \sin 24^\circ = \sin 70^\circ \cos 24^\circ - \cos 70^\circ \sin 24^\circ$.

Используем формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$:

$\sin(70^\circ - 24^\circ) = \sin 46^\circ$.

Вычисляем дробь:

$\frac{-\cos 44^\circ}{\sin 46^\circ}$

Используя формулу приведения $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha$, получаем $\sin 46^\circ = \sin(90^\circ - 44^\circ) = \cos 44^\circ$.

$\frac{-\cos 44^\circ}{\cos 44^\circ} = -1$.

Ответ: $-1$.