Номер 198, страница 35 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

198. Приведите к значению тригонометрической функции положительного аргумента, меньшего 45° (или $\frac{\pi}{4}$):

1) $\sin 153^\circ$;

2) $\cos 295^\circ$;

3) $\operatorname{tg} 168^\circ$;

4) $\operatorname{ctg} (-244^\circ)$;

5) $\operatorname{tg} 2,1\pi$;

6) $\operatorname{ctg} \left(-\frac{15\pi}{7}\right)$;

7) $\sin 6,3\pi$;

8) $\cos \frac{27\pi}{8}$.

1) Угол $153^\circ$ находится во второй четверти ($90^\circ < 153^\circ < 180^\circ$). Используем формулу приведения $sin(180^\circ - \alpha) = sin(\alpha)$.
$sin(153^\circ) = sin(180^\circ - 27^\circ) = sin(27^\circ)$.
Аргумент $27^\circ$ является положительным и меньше $45^\circ$.
Ответ: $sin(27^\circ)$

2) Угол $295^\circ$ находится в четвертой четверти ($270^\circ < 295^\circ < 360^\circ$). Используем формулу приведения $cos(270^\circ + \alpha) = sin(\alpha)$.
$cos(295^\circ) = cos(270^\circ + 25^\circ) = sin(25^\circ)$.
Аргумент $25^\circ$ является положительным и меньше $45^\circ$.
Ответ: $sin(25^\circ)$

3) Угол $168^\circ$ находится во второй четверти ($90^\circ < 168^\circ < 180^\circ$). Используем формулу приведения $tg(180^\circ - \alpha) = -tg(\alpha)$.
$tg(168^\circ) = tg(180^\circ - 12^\circ) = -tg(12^\circ)$.
Аргумент $12^\circ$ является положительным и меньше $45^\circ$.
Ответ: $-tg(12^\circ)$

4) Используем свойство нечетности функции котангенс, $ctg(-\alpha) = -ctg(\alpha)$, и формулу приведения $ctg(270^\circ - \alpha) = tg(\alpha)$.
$ctg(-244^\circ) = -ctg(244^\circ)$.
Угол $244^\circ$ находится в третьей четверти ($180^\circ < 244^\circ < 270^\circ$).
$-ctg(244^\circ) = -ctg(270^\circ - 26^\circ) = -tg(26^\circ)$.
Аргумент $26^\circ$ является положительным и меньше $45^\circ$.
Ответ: $-tg(26^\circ)$

5) Используем периодичность тангенса (период равен $\pi$). Отбрасываем целое число периодов ($2\pi$).
$tg(2,1\pi) = tg(2\pi + 0,1\pi) = tg(0,1\pi)$.
Сравним аргумент с $\frac{\pi}{4}$: $0,1\pi < 0,25\pi$, то есть $0,1\pi < \frac{\pi}{4}$.
Аргумент $0,1\pi$ является положительным и меньше $\frac{\pi}{4}$.
Ответ: $tg(0,1\pi)$

6) Используем свойство нечетности котангенса, $ctg(-\alpha) = -ctg(\alpha)$, и его периодичность (период равен $\pi$).
$ctg(-\frac{15\pi}{7}) = -ctg(\frac{15\pi}{7}) = -ctg(\frac{14\pi + \pi}{7}) = -ctg(2\pi + \frac{\pi}{7}) = -ctg(\frac{\pi}{7})$.
Сравним аргумент с $\frac{\pi}{4}$: $\frac{\pi}{7} < \frac{\pi}{4}$, так как $\frac{1}{7} < \frac{1}{4}$.
Аргумент $\frac{\pi}{7}$ является положительным и меньше $\frac{\pi}{4}$.
Ответ: $-ctg(\frac{\pi}{7})$

7) Используем периодичность синуса (период равен $2\pi$).
$sin(6,3\pi) = sin(3 \cdot 2\pi + 0,3\pi) = sin(0,3\pi)$.
Аргумент $0,3\pi$ больше $\frac{\pi}{4}$ ($0,3\pi > 0,25\pi$). Применим формулу приведения $sin(\alpha) = cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
$sin(0,3\pi) = cos(\frac{\pi}{2} - 0,3\pi) = cos(0,5\pi - 0,3\pi) = cos(0,2\pi)$.
Аргумент $0,2\pi$ является положительным и меньше $\frac{\pi}{4}$ ($0,2\pi < 0,25\pi$).
Ответ: $cos(0,2\pi)$

8) Используем периодичность косинуса и формулы приведения.
$cos(\frac{27\pi}{8}) = cos(\frac{24\pi + 3\pi}{8}) = cos(3\pi + \frac{3\pi}{8})$.
Так как $cos(3\pi + \alpha) = cos(2\pi + \pi + \alpha) = cos(\pi + \alpha) = -cos(\alpha)$, то:
$cos(3\pi + \frac{3\pi}{8}) = -cos(\frac{3\pi}{8})$.
Аргумент $\frac{3\pi}{8}$ больше $\frac{\pi}{4}$ ($\frac{3\pi}{8} > \frac{2\pi}{8}$). Применим формулу приведения $cos(\alpha) = sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
$-cos(\frac{3\pi}{8}) = -sin(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{8}) = -sin(\frac{4\pi}{8} - \frac{3\pi}{8}) = -sin(\frac{\pi}{8})$.
Аргумент $\frac{\pi}{8}$ является положительным и меньше $\frac{\pi}{4}$.
Ответ: $-sin(\frac{\pi}{8})$