Номер 192, страница 34 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

192. Преобразуйте в произведение:

1) $tg14^\circ + tg16^\circ$;

2) $ctg7\alpha - tg3\alpha$;

3) $tg\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}\right) - tg\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)$;

4) $\sqrt{3} - tg\alpha$.

1) Для преобразования суммы $tg14^\circ + tg16^\circ$ в произведение, воспользуемся формулой суммы тангенсов, которая выводится из определения тангенса и формулы синуса суммы.
Запишем тангенсы через синусы и косинусы:
$tg14^\circ + tg16^\circ = \frac{\sin(14^\circ)}{\cos(14^\circ)} + \frac{\sin(16^\circ)}{\cos(16^\circ)}$
Приведем дроби к общему знаменателю $\cos(14^\circ)\cos(16^\circ)$:
$\frac{\sin(14^\circ)\cos(16^\circ) + \cos(14^\circ)\sin(16^\circ)}{\cos(14^\circ)\cos(16^\circ)}$
В числителе мы получили выражение, соответствующее формуле синуса суммы углов: $\sin(x+y) = \sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y)$.
Применив эту формулу, получим:
$\frac{\sin(14^\circ + 16^\circ)}{\cos(14^\circ)\cos(16^\circ)} = \frac{\sin(30^\circ)}{\cos(14^\circ)\cos(16^\circ)}$
Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, то выражение можно упростить:
$\frac{1/2}{\cos(14^\circ)\cos(16^\circ)} = \frac{1}{2\cos(14^\circ)\cos(16^\circ)}$
Ответ: $\frac{\sin(30^\circ)}{\cos(14^\circ)\cos(16^\circ)} = \frac{1}{2\cos(14^\circ)\cos(16^\circ)}$.

2) Для преобразования выражения $ctg7\alpha - tg3\alpha$, представим котангенс и тангенс через отношения синуса и косинуса.
$ctg7\alpha - tg3\alpha = \frac{\cos(7\alpha)}{\sin(7\alpha)} - \frac{\sin(3\alpha)}{\cos(3\alpha)}$
Приведем к общему знаменателю $\sin(7\alpha)\cos(3\alpha)$:
$\frac{\cos(7\alpha)\cos(3\alpha) - \sin(7\alpha)\sin(3\alpha)}{\sin(7\alpha)\cos(3\alpha)}$
Числитель этой дроби соответствует формуле косинуса суммы углов: $\cos(x+y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y)$.
В нашем случае $x=7\alpha$ и $y=3\alpha$, поэтому числитель равен $\cos(7\alpha + 3\alpha) = \cos(10\alpha)$.
Таким образом, исходное выражение преобразуется в:
$\frac{\cos(10\alpha)}{\sin(7\alpha)\cos(3\alpha)}$
Ответ: $\frac{\cos(10\alpha)}{\sin(7\alpha)\cos(3\alpha)}$.

3) Используем формулу разности тангенсов: $tg(x) - tg(y) = \frac{\sin(x-y)}{\cos(x)\cos(y)}$.
В данном случае $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}$ и $y = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$.
Найдем разность $x-y$:
$x-y = \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}\right) - \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2} = \alpha$.
Значит, числитель будет равен $\sin(\alpha)$.
Теперь преобразуем знаменатель $\cos(x)\cos(y)$, используя формулу произведения косинусов: $\cos(A)\cos(B) = \frac{1}{2}(\cos(A-B) + \cos(A+B))$.
$A-B = x-y = \alpha$.
$A+B = x+y = \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}\right) + \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\pi}{2}$.
Следовательно, знаменатель равен:
$\cos\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1}{2}\left(\cos(\alpha) + \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)$.
Поскольку $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$, знаменатель упрощается до $\frac{1}{2}\cos(\alpha)$.
Теперь подставим найденные выражения для числителя и знаменателя в исходную дробь:
$\frac{\sin(\alpha)}{\frac{1}{2}\cos(\alpha)} = 2 \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = 2tg(\alpha)$.
Ответ: $2tg(\alpha)$.

4) Чтобы преобразовать выражение $\sqrt{3} - tg\alpha$ в произведение, представим $\sqrt{3}$ как тангенс известного угла. Мы знаем, что $tg\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$.
Тогда выражение принимает вид:
$tg\left(\frac{\pi}{3}\right) - tg(\alpha)$.
Воспользуемся формулой разности тангенсов: $tg(x) - tg(y) = \frac{\sin(x-y)}{\cos(x)\cos(y)}$.
В нашем случае $x = \frac{\pi}{3}$ и $y = \alpha$.
$tg\left(\frac{\pi}{3}\right) - tg(\alpha) = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos(\alpha)}$.
Значение $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$ равно $\frac{1}{2}$. Подставим его в знаменатель:
$\frac{\sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)}{\frac{1}{2}\cos(\alpha)} = \frac{2\sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)}{\cos(\alpha)}$.
Ответ: $\frac{2\sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)}{\cos(\alpha)}$.