Номер 187, страница 33 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

187. Постройте график функции:

1) $y = \cos 2\alpha \tan 2\alpha;$

2) $y = \cos^2 \frac{1}{x} + \sin^2 \frac{1}{x}.$

1) $y = \cos{2\alpha}\operatorname{tg}{2\alpha}$

Для построения графика сначала упростим данную функцию. Воспользуемся определением тангенса: $\operatorname{tg}{A} = \frac{\sin{A}}{\cos{A}}$.

Тогда функция принимает вид: $y = \cos{2\alpha} \cdot \frac{\sin{2\alpha}}{\cos{2\alpha}}$.

При упрощении этого выражения необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ). Исходная функция определена только тогда, когда определен $\operatorname{tg}{2\alpha}$, то есть когда знаменатель $\cos{2\alpha}$ не равен нулю.

Найдем значения $\alpha$, при которых функция не определена, решив уравнение $\cos{2\alpha} = 0$:

$2\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (целые числа).

$\alpha = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Это означает, что в точках с такими абсциссами функция не существует.

Для всех остальных значений $\alpha$ мы можем сократить $\cos{2\alpha}$ и получить упрощенную функцию: $y = \sin{2\alpha}$.

Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком функции $y = \sin{2\alpha}$ за исключением "выколотых" точек, где $\alpha = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$.

График $y = \sin{2\alpha}$ — это синусоида с амплитудой $1$ и периодом $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

Найдем координаты некоторых выколотых точек:

• При $k=0, \alpha = \frac{\pi}{4}$, значение функции было бы $y = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. Точка для выкалывания: $(\frac{\pi}{4}, 1)$.
• При $k=1, \alpha = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4}$, значение функции было бы $y = \sin(2 \cdot \frac{3\pi}{4}) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$. Точка для выкалывания: $(\frac{3\pi}{4}, -1)$.
• При $k=-1, \alpha = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4}$, значение функции было бы $y = \sin(2 \cdot (-\frac{\pi}{4})) = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$. Точка для выкалывания: $(-\frac{\pi}{4}, -1)$.

Можно заметить, что все выколотые точки являются точками максимума и минимума синусоиды $y = \sin{2\alpha}$.

Ответ: Графиком функции является синусоида $y=\sin{2\alpha}$ с периодом $\pi$ и амплитудой 1, у которой выколоты точки с координатами $(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, (-1)^k)$ для всех $k \in \mathbb{Z}$.

2) $y = \cos^2{\frac{1}{x}} + \sin^2{\frac{1}{x}}$

Для построения графика воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2{A} + \cos^2{A} = 1$.

В данном случае в качестве аргумента $A$ выступает выражение $\frac{1}{x}$. Применяя тождество, получаем:

$y = 1$.

Однако, это упрощение справедливо только для тех значений $x$, для которых исходное выражение имеет смысл. Найдем область допустимых значений (ОДЗ) исходной функции.

Аргумент тригонометрических функций $\frac{1}{x}$ должен быть определен. Это требует, чтобы знаменатель дроби не был равен нулю:

$x \neq 0$.

Следовательно, функция определена для всех действительных чисел, кроме $x=0$. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Таким образом, графиком функции является прямая $y=1$, из которой удалена точка, соответствующая $x=0$. Координаты этой "выколотой" точки — $(0, 1)$.

Ответ: Графиком функции является горизонтальная прямая $y=1$ с выколотой точкой $(0, 1)$.