Номер 189, страница 33 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

189. Упростите выражение:

1) $\sin \left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right) - \sin \left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right);$

2) $2\cos \left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) + \sqrt{3} \sin \alpha + \cos \alpha;$

3) $\frac{\sin(30^\circ + \alpha) - \cos(60^\circ + \alpha)}{\sin(30^\circ + \alpha) + \cos(60^\circ + \alpha)}.$

1) Упростим выражение $\sin(\alpha - \frac{\pi}{3}) - \sin(\alpha + \frac{\pi}{3})$.

Воспользуемся формулами синуса разности и суммы углов:

$\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$

$\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$

Раскроем каждое слагаемое, зная, что $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$\sin(\alpha - \frac{\pi}{3}) = \sin\alpha \cos\frac{\pi}{3} - \cos\alpha \sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\sin\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha$

$\sin(\alpha + \frac{\pi}{3}) = \sin\alpha \cos\frac{\pi}{3} + \cos\alpha \sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\sin\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha$

Теперь подставим полученные выражения в исходное и выполним вычитание:

$(\frac{1}{2}\sin\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha) - (\frac{1}{2}\sin\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha) = \frac{1}{2}\sin\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha - \frac{1}{2}\sin\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha = -2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha = -\sqrt{3}\cos\alpha$

Ответ: $-\sqrt{3}\cos\alpha$.

2) Упростим выражение $2\cos(\frac{\pi}{3} + \alpha) + \sqrt{3}\sin\alpha + \cos\alpha$.

Воспользуемся формулой косинуса суммы углов:

$\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$

Раскроем $\cos(\frac{\pi}{3} + \alpha)$, используя значения $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$\cos(\frac{\pi}{3} + \alpha) = \cos\frac{\pi}{3}\cos\alpha - \sin\frac{\pi}{3}\sin\alpha = \frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha$

Подставим это в исходное выражение:

$2(\frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha) + \sqrt{3}\sin\alpha + \cos\alpha$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$\cos\alpha - \sqrt{3}\sin\alpha + \sqrt{3}\sin\alpha + \cos\alpha = 2\cos\alpha$

Ответ: $2\cos\alpha$.

3) Упростим выражение $\frac{\sin(30^\circ + \alpha) - \cos(60^\circ + \alpha)}{\sin(30^\circ + \alpha) + \cos(60^\circ + \alpha)}$.

Воспользуемся формулами синуса суммы и косинуса суммы углов:

$\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$

$\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$

Раскроем выражения, используя известные значения тригонометрических функций: $\sin30^\circ = \frac{1}{2}$, $\cos30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos60^\circ = \frac{1}{2}$, $\sin60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\sin(30^\circ + \alpha) = \sin30^\circ\cos\alpha + \cos30^\circ\sin\alpha = \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha$

$\cos(60^\circ + \alpha) = \cos60^\circ\cos\alpha - \sin60^\circ\sin\alpha = \frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha$

Подставим эти выражения в числитель и знаменатель дроби.

Числитель:

$(\frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha) - (\frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha) = \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha - \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha = \sqrt{3}\sin\alpha$

Знаменатель:

$(\frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha) + (\frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha) = \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha + \frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha = \cos\alpha$

Теперь составим дробь из упрощенных числителя и знаменателя:

$\frac{\sqrt{3}\sin\alpha}{\cos\alpha} = \sqrt{3}\tan\alpha$

Ответ: $\sqrt{3}\tan\alpha$.