Страница 33 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

184. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $3\cos^2 \alpha - 4\sin^2 \alpha;$

2) $2\sin^2 \alpha + 3 \operatorname{tg} \alpha \operatorname{ctg} \alpha;$

3) $3\cos^2 \alpha - 4\sin \alpha;$

4) $4\sin \alpha - \cos^2 \alpha.$

1) $3\cos^2\alpha - 4\sin^2\alpha$

Преобразуем выражение, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Выразим $\sin^2\alpha$ через $\cos^2\alpha$: $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$.

$3\cos^2\alpha - 4(1 - \cos^2\alpha) = 3\cos^2\alpha - 4 + 4\cos^2\alpha = 7\cos^2\alpha - 4$.

Известно, что область значений функции $\cos^2\alpha$ есть отрезок $[0, 1]$, то есть $0 \le \cos^2\alpha \le 1$.

Чтобы найти область значений для всего выражения, выполним следующие действия:

1. Умножим все части неравенства на 7: $0 \cdot 7 \le 7\cos^2\alpha \le 1 \cdot 7$, что дает $0 \le 7\cos^2\alpha \le 7$.

2. Вычтем 4 из всех частей неравенства: $0 - 4 \le 7\cos^2\alpha - 4 \le 7 - 4$.

Получаем: $-4 \le 7\cos^2\alpha - 4 \le 3$.

Следовательно, наименьшее значение выражения равно -4 (достигается при $\cos^2\alpha = 0$), а наибольшее значение равно 3 (достигается при $\cos^2\alpha = 1$).

Ответ: наименьшее значение: -4, наибольшее значение: 3.

2) $2\sin^2\alpha + 3 \operatorname{tg}\alpha \operatorname{ctg}\alpha$

Упростим выражение, используя тождество $\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = 1$. Это тождество верно для всех углов $\alpha$, для которых тангенс и котангенс определены.

$2\sin^2\alpha + 3 \operatorname{tg}\alpha \operatorname{ctg}\alpha = 2\sin^2\alpha + 3 \cdot 1 = 2\sin^2\alpha + 3$.

Область значений функции $\sin^2\alpha$ — это отрезок $[0, 1]$, то есть $0 \le \sin^2\alpha \le 1$.

Найдем область значений для всего выражения:

1. Умножим на 2: $0 \cdot 2 \le 2\sin^2\alpha \le 1 \cdot 2 \implies 0 \le 2\sin^2\alpha \le 2$.

2. Прибавим 3: $0 + 3 \le 2\sin^2\alpha + 3 \le 2 + 3 \implies 3 \le 2\sin^2\alpha + 3 \le 5$.

Следовательно, наименьшее значение выражения равно 3, а наибольшее — 5.

Ответ: наименьшее значение: 3, наибольшее значение: 5.

3) $3\cos^2\alpha - 4\sin\alpha$

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$, чтобы привести выражение к функции от $\sin\alpha$.

$3(1 - \sin^2\alpha) - 4\sin\alpha = 3 - 3\sin^2\alpha - 4\sin\alpha = -3\sin^2\alpha - 4\sin\alpha + 3$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin\alpha$. Так как $-1 \le \sin\alpha \le 1$, то область значений для $t$ — это отрезок $[-1, 1]$.

Теперь задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений квадратичной функции $f(t) = -3t^2 - 4t + 3$ на отрезке $[-1, 1]$.

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $t^2$ отрицательный: $a = -3 < 0$). Наибольшее значение функция принимает в вершине параболы.

Найдем абсциссу вершины: $t_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2(-3)} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$.

Поскольку значение $t_v = -2/3$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, наибольшее значение функции достигается в этой точке.

$y_{наиб} = f(-2/3) = -3(-\frac{2}{3})^2 - 4(-\frac{2}{3}) + 3 = -3(\frac{4}{9}) + \frac{8}{3} + 3 = -\frac{4}{3} + \frac{8}{3} + \frac{9}{3} = \frac{-4+8+9}{3} = \frac{13}{3}$.

Наименьшее значение квадратичной функции на отрезке достигается на одном из его концов. Вычислим значения функции в точках $t = -1$ и $t = 1$.

$f(-1) = -3(-1)^2 - 4(-1) + 3 = -3 + 4 + 3 = 4$.

$f(1) = -3(1)^2 - 4(1) + 3 = -3 - 4 + 3 = -4$.

Сравнивая значения на концах отрезка, находим, что наименьшее значение равно -4.

Ответ: наименьшее значение: -4, наибольшее значение: $\frac{13}{3}$.

4) $4\sin\alpha - \cos^2\alpha$

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$, чтобы привести выражение к функции от $\sin\alpha$.

$4\sin\alpha - (1 - \sin^2\alpha) = 4\sin\alpha - 1 + \sin^2\alpha = \sin^2\alpha + 4\sin\alpha - 1$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin\alpha$. Так как $-1 \le \sin\alpha \le 1$, то область значений для $t$ — это отрезок $[-1, 1]$.

Теперь задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений квадратичной функции $f(t) = t^2 + 4t - 1$ на отрезке $[-1, 1]$.

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $t^2$ положительный: $a = 1 > 0$).

Найдем абсциссу вершины: $t_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(1)} = -2$.

Значение $t_v = -2$ не принадлежит отрезку $[-1, 1]$. Поскольку вершина параболы находится левее отрезка $[-1, 1]$, а ветви направлены вверх, функция $f(t)$ на этом отрезке монотонно возрастает.

Следовательно, наименьшее значение достигается на левом конце отрезка (при $t = -1$), а наибольшее — на правом (при $t = 1$).

$y_{наим} = f(-1) = (-1)^2 + 4(-1) - 1 = 1 - 4 - 1 = -4$.

$y_{наиб} = f(1) = (1)^2 + 4(1) - 1 = 1 + 4 - 1 = 4$.

Ответ: наименьшее значение: -4, наибольшее значение: 4.

185. Найдите значение выражения:

1) $\frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{2\sin \alpha + 3\cos \alpha}$, если $\operatorname{tg} \alpha = -\frac{1}{4}$;

2) $\frac{\sin \alpha \cos \alpha + 3\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha - 4\cos^2 \alpha}$, если $\operatorname{ctg} \alpha = 5$.

1) Для нахождения значения выражения $\frac{\sin\alpha - \cos\alpha}{2\sin\alpha + 3\cos\alpha}$, зная, что $\text{tg}\,\alpha = -\frac{1}{4}$, воспользуемся определением тангенса $\text{tg}\,\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.

Чтобы в выражении появился тангенс, разделим числитель и знаменатель дроби на $\cos\alpha$. Это действие допустимо, так как если бы $\cos\alpha = 0$, то тангенс был бы не определен, что противоречит условию задачи.

$\frac{\sin\alpha - \cos\alpha}{2\sin\alpha + 3\cos\alpha} = \frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{2\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{3\cos\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{\text{tg}\,\alpha - 1}{2\text{tg}\,\alpha + 3}$

Теперь подставим известное значение $\text{tg}\,\alpha = -\frac{1}{4}$ в полученное выражение:

$\frac{-\frac{1}{4} - 1}{2 \cdot (-\frac{1}{4}) + 3} = \frac{-\frac{1}{4} - \frac{4}{4}}{-\frac{2}{4} + 3} = \frac{-\frac{5}{4}}{-\frac{1}{2} + \frac{6}{2}} = \frac{-\frac{5}{4}}{\frac{5}{2}}$

Выполним деление дробей:

$-\frac{5}{4} \div \frac{5}{2} = -\frac{5}{4} \cdot \frac{2}{5} = -\frac{5 \cdot 2}{4 \cdot 5} = -\frac{10}{20} = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

2) Для нахождения значения выражения $\frac{\sin\alpha\cos\alpha + 3\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha - 4\cos^2\alpha}$, зная, что $\text{ctg}\,\alpha = 5$, воспользуемся определением котангенса $\text{ctg}\,\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.

Чтобы в выражении появился котангенс, разделим числитель и знаменатель дроби на $\sin^2\alpha$. Это действие допустимо, так как если бы $\sin\alpha = 0$, то котангенс был бы не определен, что противоречит условию.

$\frac{\sin\alpha\cos\alpha + 3\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha - 4\cos^2\alpha} = \frac{\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha} + \frac{3\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}}{\frac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} - \frac{4\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}} = \frac{\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} + 3(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha})^2}{1 - 4(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha})^2} = \frac{\text{ctg}\,\alpha + 3\text{ctg}^2\alpha}{1 - 4\text{ctg}^2\alpha}$

Теперь подставим известное значение $\text{ctg}\,\alpha = 5$ в полученное выражение:

$\frac{5 + 3 \cdot 5^2}{1 - 4 \cdot 5^2} = \frac{5 + 3 \cdot 25}{1 - 4 \cdot 25} = \frac{5 + 75}{1 - 100} = \frac{80}{-99} = -\frac{80}{99}$

Ответ: $-\frac{80}{99}$.

186. Дано: $ \sin \alpha + \cos \alpha = 0,6 $. Найдите:

1) $ \sin \alpha \cos \alpha $;

2) $ \operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \alpha $.

1) sin α cos α;

Дано уравнение $ \sin\alpha + \cos\alpha = 0,6 $. Чтобы найти произведение $ \sin\alpha\cos\alpha $, возведем обе части этого уравнения в квадрат:

$ (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = (0,6)^2 $

Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата суммы $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $:

$ \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = 0,36 $

Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $:

$ (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 2\sin\alpha\cos\alpha = 0,36 $

$ 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha = 0,36 $

Теперь выразим искомое произведение $ \sin\alpha\cos\alpha $:

$ 2\sin\alpha\cos\alpha = 0,36 - 1 $

$ 2\sin\alpha\cos\alpha = -0,64 $

$ \sin\alpha\cos\alpha = \frac{-0,64}{2} $

$ \sin\alpha\cos\alpha = -0,32 $

Ответ: -0,32

2) tg α + ctg α.

Чтобы найти значение выражения $ \mathrm{tg}\,\alpha + \mathrm{ctg}\,\alpha $, представим тангенс и котангенс через синус и косинус:

$ \mathrm{tg}\,\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $

$ \mathrm{ctg}\,\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $

Подставим эти выражения в сумму:

$ \mathrm{tg}\,\alpha + \mathrm{ctg}\,\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ \sin\alpha\cos\alpha $:

$ \mathrm{tg}\,\alpha + \mathrm{ctg}\,\alpha = \frac{\sin\alpha \cdot \sin\alpha + \cos\alpha \cdot \cos\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} $

В числителе мы снова получили основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $:

$ \mathrm{tg}\,\alpha + \mathrm{ctg}\,\alpha = \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha} $

Из первого пункта мы уже нашли, что $ \sin\alpha\cos\alpha = -0,32 $. Подставим это значение в полученное выражение:

$ \mathrm{tg}\,\alpha + \mathrm{ctg}\,\alpha = \frac{1}{-0,32} $

Для вычисления представим десятичную дробь в виде обыкновенной:

$ -0,32 = -\frac{32}{100} = -\frac{8}{25} $

Тогда:

$ \frac{1}{-\frac{8}{25}} = 1 \cdot (-\frac{25}{8}) = -\frac{25}{8} $

Переведем результат обратно в десятичную дробь:

$ -\frac{25}{8} = -3,125 $

Ответ: -3,125

187. Постройте график функции:

1) $y = \cos 2\alpha \tan 2\alpha;$

2) $y = \cos^2 \frac{1}{x} + \sin^2 \frac{1}{x}.$

1) $y = \cos{2\alpha}\operatorname{tg}{2\alpha}$

Для построения графика сначала упростим данную функцию. Воспользуемся определением тангенса: $\operatorname{tg}{A} = \frac{\sin{A}}{\cos{A}}$.

Тогда функция принимает вид: $y = \cos{2\alpha} \cdot \frac{\sin{2\alpha}}{\cos{2\alpha}}$.

При упрощении этого выражения необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ). Исходная функция определена только тогда, когда определен $\operatorname{tg}{2\alpha}$, то есть когда знаменатель $\cos{2\alpha}$ не равен нулю.

Найдем значения $\alpha$, при которых функция не определена, решив уравнение $\cos{2\alpha} = 0$:

$2\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (целые числа).

$\alpha = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Это означает, что в точках с такими абсциссами функция не существует.

Для всех остальных значений $\alpha$ мы можем сократить $\cos{2\alpha}$ и получить упрощенную функцию: $y = \sin{2\alpha}$.

Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком функции $y = \sin{2\alpha}$ за исключением "выколотых" точек, где $\alpha = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$.

График $y = \sin{2\alpha}$ — это синусоида с амплитудой $1$ и периодом $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

Найдем координаты некоторых выколотых точек:

• При $k=0, \alpha = \frac{\pi}{4}$, значение функции было бы $y = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. Точка для выкалывания: $(\frac{\pi}{4}, 1)$.
• При $k=1, \alpha = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4}$, значение функции было бы $y = \sin(2 \cdot \frac{3\pi}{4}) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$. Точка для выкалывания: $(\frac{3\pi}{4}, -1)$.
• При $k=-1, \alpha = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4}$, значение функции было бы $y = \sin(2 \cdot (-\frac{\pi}{4})) = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$. Точка для выкалывания: $(-\frac{\pi}{4}, -1)$.

Можно заметить, что все выколотые точки являются точками максимума и минимума синусоиды $y = \sin{2\alpha}$.

Ответ: Графиком функции является синусоида $y=\sin{2\alpha}$ с периодом $\pi$ и амплитудой 1, у которой выколоты точки с координатами $(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, (-1)^k)$ для всех $k \in \mathbb{Z}$.

2) $y = \cos^2{\frac{1}{x}} + \sin^2{\frac{1}{x}}$

Для построения графика воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2{A} + \cos^2{A} = 1$.

В данном случае в качестве аргумента $A$ выступает выражение $\frac{1}{x}$. Применяя тождество, получаем:

$y = 1$.

Однако, это упрощение справедливо только для тех значений $x$, для которых исходное выражение имеет смысл. Найдем область допустимых значений (ОДЗ) исходной функции.

Аргумент тригонометрических функций $\frac{1}{x}$ должен быть определен. Это требует, чтобы знаменатель дроби не был равен нулю:

$x \neq 0$.

Следовательно, функция определена для всех действительных чисел, кроме $x=0$. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Таким образом, графиком функции является прямая $y=1$, из которой удалена точка, соответствующая $x=0$. Координаты этой "выколотой" точки — $(0, 1)$.

Ответ: Графиком функции является горизонтальная прямая $y=1$ с выколотой точкой $(0, 1)$.

188. Упростите выражение:

1) $\sqrt{1 - \cos^2 \frac{\beta}{4}} - \sqrt{1 - \sin^2 \frac{\beta}{4}}$, если $4\pi < \beta < 6\pi$;

2) $\sqrt{\cos^2 \beta(1 + \text{tg} \beta) + \sin^2 \beta(1 + \text{ctg} \beta)}$, если $\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}$.

1) Для упрощения выражения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $.
Из него следуют формулы: $ 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha $ и $ 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha $.
Также используем свойство квадратного корня $ \sqrt{a^2} = |a| $.
Преобразуем исходное выражение:
$ \sqrt{1 - \cos^2 \frac{\beta}{4}} - \sqrt{1 - \sin^2 \frac{\beta}{4}} = \sqrt{\sin^2 \frac{\beta}{4}} - \sqrt{\cos^2 \frac{\beta}{4}} = |\sin \frac{\beta}{4}| - |\cos \frac{\beta}{4}| $.
Теперь определим знаки синуса и косинуса, используя данное условие $ 4\pi < \beta < 6\pi $.
Разделим все части неравенства на 4, чтобы найти, в какой четверти находится угол $ \frac{\beta}{4} $:
$ \frac{4\pi}{4} < \frac{\beta}{4} < \frac{6\pi}{4} $, что равносильно $ \pi < \frac{\beta}{4} < \frac{3\pi}{2} $.
Этот интервал соответствует III координатной четверти, где и синус, и косинус имеют отрицательные значения.
Следовательно, $ \sin \frac{\beta}{4} < 0 $ и $ \cos \frac{\beta}{4} < 0 $.
Раскроем модули с учетом знаков:
$ |\sin \frac{\beta}{4}| = -\sin \frac{\beta}{4} $
$ |\cos \frac{\beta}{4}| = -\cos \frac{\beta}{4} $
Подставим полученные выражения обратно в преобразованное выражение:
$ |\sin \frac{\beta}{4}| - |\cos \frac{\beta}{4}| = (-\sin \frac{\beta}{4}) - (-\cos \frac{\beta}{4}) = -\sin \frac{\beta}{4} + \cos \frac{\beta}{4} = \cos \frac{\beta}{4} - \sin \frac{\beta}{4} $.
Ответ: $ \cos \frac{\beta}{4} - \sin \frac{\beta}{4} $.

2) Упростим подкоренное выражение, раскрыв скобки и используя определения тангенса $ \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} $ и котангенса $ \operatorname{ctg} \beta = \frac{\cos \beta}{\sin \beta} $:
$ \cos^2 \beta(1 + \operatorname{tg} \beta) + \sin^2 \beta(1 + \operatorname{ctg} \beta) = \cos^2 \beta(1 + \frac{\sin \beta}{\cos \beta}) + \sin^2 \beta(1 + \frac{\cos \beta}{\sin \beta}) $
$ = \cos^2 \beta \cdot 1 + \cos^2 \beta \cdot \frac{\sin \beta}{\cos \beta} + \sin^2 \beta \cdot 1 + \sin^2 \beta \cdot \frac{\cos \beta}{\sin \beta} $
$ = \cos^2 \beta + \cos \beta \sin \beta + \sin^2 \beta + \sin \beta \cos \beta $
Сгруппируем слагаемые:
$ (\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) + ( \sin \beta \cos \beta + \sin \beta \cos \beta) $.
Используя основное тригонометрическое тождество и приведя подобные слагаемые, получим:
$ 1 + 2\sin \beta \cos \beta $.
Это выражение можно свернуть по формуле квадрата суммы $ a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 $, где $ a = \sin \beta $ и $ b = \cos \beta $:
$ (\sin \beta + \cos \beta)^2 $.
Таким образом, исходное выражение принимает вид:
$ \sqrt{(\sin \beta + \cos \beta)^2} = |\sin \beta + \cos \beta| $.
Теперь определим знак выражения $ \sin \beta + \cos \beta $, используя данное условие $ \pi < \beta < \frac{3\pi}{2} $.
Этот интервал соответствует III координатной четверти, где синус и косинус отрицательны: $ \sin \beta < 0 $ и $ \cos \beta < 0 $.
Сумма двух отрицательных чисел также является отрицательным числом, поэтому $ \sin \beta + \cos \beta < 0 $.
Раскроем модуль:
$ |\sin \beta + \cos \beta| = -(\sin \beta + \cos \beta) = -\sin \beta - \cos \beta $.
Ответ: $ -\sin \beta - \cos \beta $.

189. Упростите выражение:

1) $\sin \left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right) - \sin \left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right);$

2) $2\cos \left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) + \sqrt{3} \sin \alpha + \cos \alpha;$

3) $\frac{\sin(30^\circ + \alpha) - \cos(60^\circ + \alpha)}{\sin(30^\circ + \alpha) + \cos(60^\circ + \alpha)}.$

1) Упростим выражение $\sin(\alpha - \frac{\pi}{3}) - \sin(\alpha + \frac{\pi}{3})$.

Воспользуемся формулами синуса разности и суммы углов:

$\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$

$\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$

Раскроем каждое слагаемое, зная, что $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$\sin(\alpha - \frac{\pi}{3}) = \sin\alpha \cos\frac{\pi}{3} - \cos\alpha \sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\sin\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha$

$\sin(\alpha + \frac{\pi}{3}) = \sin\alpha \cos\frac{\pi}{3} + \cos\alpha \sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\sin\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha$

Теперь подставим полученные выражения в исходное и выполним вычитание:

$(\frac{1}{2}\sin\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha) - (\frac{1}{2}\sin\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha) = \frac{1}{2}\sin\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha - \frac{1}{2}\sin\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha = -2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha = -\sqrt{3}\cos\alpha$

Ответ: $-\sqrt{3}\cos\alpha$.

2) Упростим выражение $2\cos(\frac{\pi}{3} + \alpha) + \sqrt{3}\sin\alpha + \cos\alpha$.

Воспользуемся формулой косинуса суммы углов:

$\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$

Раскроем $\cos(\frac{\pi}{3} + \alpha)$, используя значения $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$\cos(\frac{\pi}{3} + \alpha) = \cos\frac{\pi}{3}\cos\alpha - \sin\frac{\pi}{3}\sin\alpha = \frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha$

Подставим это в исходное выражение:

$2(\frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha) + \sqrt{3}\sin\alpha + \cos\alpha$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$\cos\alpha - \sqrt{3}\sin\alpha + \sqrt{3}\sin\alpha + \cos\alpha = 2\cos\alpha$

Ответ: $2\cos\alpha$.

3) Упростим выражение $\frac{\sin(30^\circ + \alpha) - \cos(60^\circ + \alpha)}{\sin(30^\circ + \alpha) + \cos(60^\circ + \alpha)}$.

Воспользуемся формулами синуса суммы и косинуса суммы углов:

$\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$

$\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$

Раскроем выражения, используя известные значения тригонометрических функций: $\sin30^\circ = \frac{1}{2}$, $\cos30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos60^\circ = \frac{1}{2}$, $\sin60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\sin(30^\circ + \alpha) = \sin30^\circ\cos\alpha + \cos30^\circ\sin\alpha = \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha$

$\cos(60^\circ + \alpha) = \cos60^\circ\cos\alpha - \sin60^\circ\sin\alpha = \frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha$

Подставим эти выражения в числитель и знаменатель дроби.

Числитель:

$(\frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha) - (\frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha) = \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha - \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha = \sqrt{3}\sin\alpha$

Знаменатель:

$(\frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha) + (\frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha) = \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha + \frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha = \cos\alpha$

Теперь составим дробь из упрощенных числителя и знаменателя:

$\frac{\sqrt{3}\sin\alpha}{\cos\alpha} = \sqrt{3}\tan\alpha$

Ответ: $\sqrt{3}\tan\alpha$.