Страница 39 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

223. Решите уравнение:

1) $\cos 3x = -1;$

2) $\cos 5x = \frac{1}{2};$

3) $\cos \frac{3x}{7} = 0;$

4) $\cos \left(3x - \frac{\pi}{8}\right) = 1;$

5) $\cos(3 - 2x) = \frac{\sqrt{3}}{2};$

6) $\cos \frac{4\pi x}{3} = -\frac{1}{2};$

7) $\cos \left(6x + \frac{\pi}{8}\right) = \frac{\pi}{3};$

8) $\cos(4x - 1) = \frac{\pi}{4};$

9) $2 \cos \left(8x - \frac{\pi}{4}\right) - \sqrt{2} = 0;$

10) $4 \cos \left(7x + \frac{\pi}{6}\right) - 3 = 0.$

1) $\cos(3x) = -1$

Это частный случай тригонометрического уравнения. Решение для уравнения вида $\cos(t) = -1$ есть $t = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $t = 3x$.

$3x = \pi + 2\pi n$

Разделим обе части уравнения на 3, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos(5x) = \frac{1}{2}$

Общее решение для уравнения вида $\cos(t) = a$ есть $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $t = 5x$ и $a = \frac{1}{2}$.

Находим арккосинус: $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

$5x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

Разделим обе части уравнения на 5:

$x = \pm \frac{\pi}{15} + \frac{2\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{15} + \frac{2\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$.

3) $\cos(\frac{3x}{7}) = 0$

Это частный случай. Решение для уравнения вида $\cos(t) = 0$ есть $t = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $t = \frac{3x}{7}$.

$\frac{3x}{7} = \frac{\pi}{2} + \pi n$

Умножим обе части уравнения на $\frac{7}{3}$:

$x = \frac{7}{3} \cdot (\frac{\pi}{2} + \pi n)$

$x = \frac{7\pi}{6} + \frac{7\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{7\pi}{6} + \frac{7\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

4) $\cos(3x - \frac{\pi}{8}) = 1$

Это частный случай. Решение для уравнения вида $\cos(t) = 1$ есть $t = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $t = 3x - \frac{\pi}{8}$.

$3x - \frac{\pi}{8} = 2\pi n$

$3x = \frac{\pi}{8} + 2\pi n$

Разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{\pi}{24} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{24} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

5) $\cos(3 - 2x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Используем общую формулу решения $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $t = 3 - 2x$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Находим арккосинус: $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

$3 - 2x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

$-2x = -3 \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

Разделим обе части на -2:

$x = \frac{3}{2} \mp \frac{\pi}{12} - \pi n$

Поскольку $n$ - любое целое число, то $-n$ также является любым целым числом. Поэтому знак перед $\pi n$ можно заменить на плюс.

$x = \frac{3}{2} \mp \frac{\pi}{12} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{3}{2} \mp \frac{\pi}{12} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

6) $\cos(\frac{4\pi x}{3}) = -\frac{1}{2}$

Используем общую формулу решения $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $t = \frac{4\pi x}{3}$ и $a = -\frac{1}{2}$.

Находим арккосинус: $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$.

$\frac{4\pi x}{3} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

Умножим обе части на $\frac{3}{4\pi}$:

$x = \frac{3}{4\pi} \left( \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right)$

$x = \pm \frac{3 \cdot 2\pi}{4\pi \cdot 3} + \frac{3 \cdot 2\pi n}{4\pi}$

$x = \pm \frac{1}{2} + \frac{3n}{2}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{1}{2} + \frac{3n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

7) $\cos(6x + \frac{\pi}{8}) = \frac{\pi}{3}$

Область значений функции косинус есть отрезок $[-1, 1]$.

Значение в правой части уравнения $\frac{\pi}{3} \approx \frac{3.14159}{3} \approx 1.047$.

Поскольку $\frac{\pi}{3} > 1$, данное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: решений нет.

8) $\cos(4x - 1) = \frac{\pi}{4}$

Значение в правой части уравнения $\frac{\pi}{4} \approx \frac{3.14159}{4} \approx 0.785$.

Поскольку $-1 \le \frac{\pi}{4} \le 1$, уравнение имеет решения.

Используем общую формулу решения:

$4x - 1 = \pm \arccos(\frac{\pi}{4}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

$4x = 1 \pm \arccos(\frac{\pi}{4}) + 2\pi n$

$x = \frac{1}{4} \pm \frac{1}{4}\arccos(\frac{\pi}{4}) + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{1}{4} \pm \frac{1}{4}\arccos(\frac{\pi}{4}) + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

9) $2\cos(8x - \frac{\pi}{4}) - \sqrt{2} = 0$

Сначала преобразуем уравнение, чтобы выразить косинус:

$2\cos(8x - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}$

$\cos(8x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Находим арккосинус: $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

$8x - \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Рассмотрим два случая:

Случай 1 (со знаком плюс):

$8x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$

$8x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

$x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}$

Случай 2 (со знаком минус):

$8x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$

$8x = 2\pi n$

$x = \frac{\pi n}{4}$

Ответ: $x = \frac{\pi n}{4}, x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.

10) $4\cos(7x + \frac{\pi}{6}) - 3 = 0$

Преобразуем уравнение:

$4\cos(7x + \frac{\pi}{6}) = 3$

$\cos(7x + \frac{\pi}{6}) = \frac{3}{4}$

Поскольку $-1 \le \frac{3}{4} \le 1$, уравнение имеет решения.

$7x + \frac{\pi}{6} = \pm \arccos(\frac{3}{4}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

$7x = -\frac{\pi}{6} \pm \arccos(\frac{3}{4}) + 2\pi n$

Разделим обе части на 7:

$x = -\frac{\pi}{42} \pm \frac{1}{7}\arccos(\frac{3}{4}) + \frac{2\pi n}{7}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{42} \pm \frac{1}{7}\arccos(\frac{3}{4}) + \frac{2\pi n}{7}, n \in \mathbb{Z}$.

224. Решите уравнение:

1) $\sin^2 4x = \frac{1}{4}$;

2) $\cos^2 \frac{x}{5} = \frac{3}{4}$;

3) $12\sin^2 x - 5 = 0$.

1) $ \sin^2 4x = \frac{1}{4} $

Для решения этого уравнения удобно использовать формулу понижения степени для синуса: $ \sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} $. Применим ее, взяв $ \alpha = 4x $.

$ \frac{1 - \cos(2 \cdot 4x)}{2} = \frac{1}{4} $

$ \frac{1 - \cos(8x)}{2} = \frac{1}{4} $

Умножим обе части уравнения на 2:

$ 1 - \cos(8x) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $

Теперь выразим $ \cos(8x) $:

$ \cos(8x) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $

Получили простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения $ \cos(t) = a $ имеет вид $ t = \pm \arccos(a) + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

В нашем случае $ t = 8x $, а $ a = \frac{1}{2} $. Значение $ \arccos(\frac{1}{2}) $ равно $ \frac{\pi}{3} $.

$ 8x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $

Чтобы найти $ x $, разделим обе части на 8:

$ x = \pm \frac{\pi}{24} + \frac{2\pi k}{8} $

$ x = \pm \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \pm \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z} $.

2) $ \cos^2 \frac{x}{5} = \frac{3}{4} $

Используем формулу понижения степени для косинуса: $ \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} $. В данном случае $ \alpha = \frac{x}{5} $.

$ \frac{1 + \cos(2 \cdot \frac{x}{5})}{2} = \frac{3}{4} $

$ \frac{1 + \cos(\frac{2x}{5})}{2} = \frac{3}{4} $

Умножим обе части уравнения на 2:

$ 1 + \cos(\frac{2x}{5}) = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} $

Выразим $ \cos(\frac{2x}{5}) $:

$ \cos(\frac{2x}{5}) = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2} $

Снова получили уравнение вида $ \cos(t) = \frac{1}{2} $. Его решение: $ t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Подставим $ t = \frac{2x}{5} $:

$ \frac{2x}{5} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $

Чтобы найти $ x $, умножим обе части на $ \frac{5}{2} $:

$ x = \frac{5}{2} \left( \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \right) $

$ x = \pm \frac{5\pi}{6} + 5\pi k, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \pm \frac{5\pi}{6} + 5\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

3) $ 12\sin^2 x - 5 = 0 $

Сначала преобразуем уравнение, выразив $ \sin^2 x $:

$ 12\sin^2 x = 5 $

$ \sin^2 x = \frac{5}{12} $

Применим формулу понижения степени $ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} $:

$ \frac{1 - \cos 2x}{2} = \frac{5}{12} $

Умножим обе части на 2:

$ 1 - \cos 2x = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} $

Выразим $ \cos 2x $:

$ \cos 2x = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6} $

Решим полученное уравнение, используя общую формулу $ t = \pm \arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $. Здесь $ t = 2x $ и $ a = \frac{1}{6} $.

$ 2x = \pm \arccos\left(\frac{1}{6}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $

Разделим обе части на 2, чтобы найти $ x $:

$ x = \pm \frac{1}{2} \arccos\left(\frac{1}{6}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \pm \frac{1}{2} \arccos\left(\frac{1}{6}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

225. Найдите наибольший отрицательный корень уравне-

ния $\cos \left(x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Чтобы найти корни уравнения, сначала решим его в общем виде.

Дано уравнение:$cos(x - \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $cos(y) = a$. Его общее решение записывается как $y = \pm arccos(a) + 2\pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in Z$).

В нашем случае $y = x - \frac{\pi}{3}$, а $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Мы знаем, что $arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

Подставляем эти значения в общую формулу:$x - \frac{\pi}{3} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in Z$

Теперь выразим $x$, перенеся $\frac{\pi}{3}$ в правую часть уравнения:$x = \frac{\pi}{3} \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

Это равенство распадается на две серии корней.

1. Первая серия корней (со знаком «+»):$x_1 = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{3\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

2. Вторая серия корней (со знаком «–»):$x_2 = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{2\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

Нам необходимо найти наибольший отрицательный корень. Для этого будем подставлять различные целые значения $n$ в формулы для каждой серии и искать отрицательные корни, ближайшие к нулю.

Рассмотрим первую серию $x_1 = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$:

• при $n = 0$: $x_1 = \frac{\pi}{2}$ (положительный корень)
• при $n = -1$: $x_1 = \frac{\pi}{2} + 2\pi(-1) = \frac{\pi}{2} - 2\pi = \frac{\pi - 4\pi}{2} = -\frac{3\pi}{2}$
• при $n = -2$: $x_1 = \frac{\pi}{2} + 2\pi(-2) = \frac{\pi}{2} - 4\pi = \frac{\pi - 8\pi}{2} = -\frac{7\pi}{2}$

Наибольший (ближайший к нулю) отрицательный корень в этой серии — это $-\frac{3\pi}{2}$.

Рассмотрим вторую серию $x_2 = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$:

• при $n = 0$: $x_2 = \frac{\pi}{6}$ (положительный корень)
• при $n = -1$: $x_2 = \frac{\pi}{6} + 2\pi(-1) = \frac{\pi}{6} - 2\pi = \frac{\pi - 12\pi}{6} = -\frac{11\pi}{6}$
• при $n = -2$: $x_2 = \frac{\pi}{6} + 2\pi(-2) = \frac{\pi}{6} - 4\pi = \frac{\pi - 24\pi}{6} = -\frac{23\pi}{6}$

Наибольший отрицательный корень в этой серии — это $-\frac{11\pi}{6}$.

Теперь сравним два найденных отрицательных корня: $-\frac{3\pi}{2}$ и $-\frac{11\pi}{6}$. Чтобы их сравнить, приведем дроби к общему знаменателю 6:

• $-\frac{3\pi}{2} = -\frac{3 \cdot 3 \pi}{2 \cdot 3} = -\frac{9\pi}{6}$
• $-\frac{11\pi}{6}$

Сравниваем числа $-\frac{9\pi}{6}$ и $-\frac{11\pi}{6}$. Так как $-9 > -11$, то $-\frac{9\pi}{6} > -\frac{11\pi}{6}$.

Следовательно, наибольший отрицательный корень уравнения — это $-\frac{3\pi}{2}$.

Ответ: $-\frac{3\pi}{2}$

226. Сколько корней уравнения $\cos \left(6x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ принадлежат промежутку $\left[\frac{\pi}{9}; \frac{\pi}{2}\right]$?

Для того чтобы найти, сколько корней уравнения принадлежит заданному промежутку, мы сначала решим это тригонометрическое уравнение, а затем отберем те корни, которые попадают в указанный интервал. Удобнее всего это сделать методом замены переменной.

Дано уравнение $ \cos\left(6x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} $ и промежуток $ x \in \left[\frac{\pi}{9}; \frac{\pi}{2}\right] $.

1. Введение новой переменной и определение нового промежутка

Пусть $ t = 6x - \frac{\pi}{3} $. Теперь необходимо определить, в каком промежутке будет находиться переменная $t$, если $x$ принадлежит отрезку $ \left[\frac{\pi}{9}; \frac{\pi}{2}\right] $.

Найдем левую границу нового промежутка, подставив минимальное значение $ x = \frac{\pi}{9} $:

$ t_{min} = 6 \cdot \frac{\pi}{9} - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} $.

Найдем правую границу, подставив максимальное значение $ x = \frac{\pi}{2} $:

$ t_{max} = 6 \cdot \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = 3\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{9\pi - \pi}{3} = \frac{8\pi}{3} $.

Таким образом, задача сводится к нахождению количества решений уравнения $ \cos t = \frac{1}{2} $ на промежутке $ t \in \left[\frac{\pi}{3}; \frac{8\pi}{3}\right] $.

2. Решение уравнения для новой переменной

Общее решение уравнения $ \cos t = \frac{1}{2} $ записывается в виде совокупности двух серий:

$ t = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k, \quad k \in Z $

$ t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in Z $

Рассмотрим каждую серию отдельно.

3. Отбор корней, принадлежащих найденному промежутку

Для первой серии корней $ t = \frac{\pi}{3} + 2\pi k $:

Найдем все целые $k$, для которых выполняется двойное неравенство:

$ \frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{3} + 2\pi k \le \frac{8\pi}{3} $

Вычтем $ \frac{\pi}{3} $ из всех частей неравенства:

$ 0 \le 2\pi k \le \frac{7\pi}{3} $

Разделим все части на $ 2\pi $:

$ 0 \le k \le \frac{7}{6} $

Этому условию удовлетворяют целые значения $ k=0 $ и $ k=1 $.

При $k=0$, корень $ t_1 = \frac{\pi}{3} $.

При $k=1$, корень $ t_2 = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} $.

Для второй серии корней $ t = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k $:

Найдем все целые $k$, для которых выполняется двойное неравенство:

$ \frac{\pi}{3} \le -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le \frac{8\pi}{3} $

Прибавим $ \frac{\pi}{3} $ ко всем частям неравенства:

$ \frac{2\pi}{3} \le 2\pi k \le \frac{9\pi}{3} $

$ \frac{2\pi}{3} \le 2\pi k \le 3\pi $

Разделим все части на $ 2\pi $:

$ \frac{1}{3} \le k \le \frac{3}{2} $

Этому условию удовлетворяет единственное целое значение $ k=1 $.

При $k=1$, корень $ t_3 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3} $.

4. Итог

Мы нашли три различных значения $t$, принадлежащих промежутку $ \left[\frac{\pi}{3}; \frac{8\pi}{3}\right] $: $ \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} $ и $ \frac{7\pi}{3} $.

Поскольку зависимость $ t = 6x - \frac{\pi}{3} $ является линейной, каждому уникальному значению $t$ соответствует ровно одно уникальное значение $x$. Следовательно, количество корней исходного уравнения на заданном промежутке равно трем.

Ответ: 3.

227. Найдите все корни уравнения $ \cos \left( 3x - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{2} $, удовлетворяющие неравенству $ -\frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6} $.

Сначала решим тригонометрическое уравнение:
$\cos\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}$
Аргумент косинуса должен быть равен:
$3x - \frac{\pi}{4} = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$3x - \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

Это дает две серии решений:
1) $3x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$
$3x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$3x = \frac{4\pi + 3\pi}{12} + 2\pi k$
$3x = \frac{7\pi}{12} + 2\pi k$
$x = \frac{7\pi}{36} + \frac{2\pi k}{3}$

2) $3x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$
$3x = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$3x = \frac{-4\pi + 3\pi}{12} + 2\pi k$
$3x = -\frac{\pi}{12} + 2\pi k$
$x = -\frac{\pi}{36} + \frac{2\pi k}{3}$

Теперь найдем все корни, удовлетворяющие неравенству $-\frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6}$.
Приведем границы интервала к общему знаменателю 36:
$-\frac{\pi}{6} = -\frac{6\pi}{36}$
$\frac{5\pi}{6} = \frac{30\pi}{36}$
Таким образом, ищем корни в интервале $(-\frac{6\pi}{36}, \frac{30\pi}{36})$.

Для первой серии решений $x = \frac{7\pi}{36} + \frac{2\pi k}{3}$
Подставим в неравенство:
$-\frac{\pi}{6} < \frac{7\pi}{36} + \frac{2\pi k}{3} < \frac{5\pi}{6}$
Умножим все части неравенства на $\frac{36}{\pi}$:
$-6 < 7 + 24k < 30$
$-13 < 24k < 23$
$-\frac{13}{24} < k < \frac{23}{24}$
Единственное целое значение $k$ в этом промежутке — это $k=0$.
При $k=0$, $x = \frac{7\pi}{36}$.

Для второй серии решений $x = -\frac{\pi}{36} + \frac{2\pi k}{3}$
Подставим в неравенство:
$-\frac{\pi}{6} < -\frac{\pi}{36} + \frac{2\pi k}{3} < \frac{5\pi}{6}$
Умножим все части неравенства на $\frac{36}{\pi}$:
$-6 < -1 + 24k < 30$
$-5 < 24k < 31$
$-\frac{5}{24} < k < \frac{31}{24}$
Целые значения $k$ в этом промежутке — это $k=0$ и $k=1$.
При $k=0$, $x = -\frac{\pi}{36}$.
При $k=1$, $x = -\frac{\pi}{36} + \frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{36} + \frac{24\pi}{36} = \frac{23\pi}{36}$.

Таким образом, корни уравнения, удовлетворяющие заданному неравенству, это $-\frac{\pi}{36}$, $\frac{7\pi}{36}$ и $\frac{23\pi}{36}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{36}, \frac{7\pi}{36}, \frac{23\pi}{36}$.

228. При каких значениях $a$ уравнение имеет решения:

1) $\cos x = a + 2;$

2) $\cos x = a^2 - 8a + 17;$

3) $(a - 5)\cos x = a + 3?$

Основное условие, при котором уравнение вида $cos x = A$ имеет решения, заключается в том, что значение $A$ должно находиться в области значений функции косинуса, то есть $-1 \le A \le 1$.

1) $cos x = a + 2$

Уравнение имеет решения, если правая часть принадлежит отрезку $[-1; 1]$. Составим и решим двойное неравенство:

$-1 \le a + 2 \le 1$

Вычтем 2 из всех частей неравенства:

$-1 - 2 \le a \le 1 - 2$

$-3 \le a \le -1$

Таким образом, решения существуют при $a \in [-3; -1]$.

Ответ: $a \in [-3; -1]$.

2) $cos x = a^2 - 8a + 17$

Применим то же условие:

$-1 \le a^2 - 8a + 17 \le 1$

Преобразуем правую часть уравнения, выделив полный квадрат:

$a^2 - 8a + 17 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 4 + 16 + 1 = (a - 4)^2 + 1$

Подставим это выражение в наше неравенство:

$-1 \le (a - 4)^2 + 1 \le 1$

Рассмотрим выражение $(a - 4)^2 + 1$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, $(a - 4)^2 \ge 0$.
Следовательно, $(a - 4)^2 + 1 \ge 1$.

Таким образом, двойное неравенство может выполняться только в одном случае, когда обе его части равны 1:

$(a - 4)^2 + 1 = 1$

$(a - 4)^2 = 0$

$a - 4 = 0$

$a = 4$

При $a = 4$ исходное уравнение принимает вид $cos x = 1$, которое имеет решения.

Ответ: $a = 4$.

3) $(a - 5)cos x = a + 3$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Коэффициент при $cos x$ равен нулю.

$a - 5 = 0 \implies a = 5$

Подставим $a = 5$ в исходное уравнение:

$(5 - 5)cos x = 5 + 3$

$0 \cdot cos x = 8$

$0 = 8$

Получили неверное равенство, следовательно, при $a = 5$ решений нет.

Случай 2: Коэффициент при $cos x$ не равен нулю.

$a - 5 \ne 0 \implies a \ne 5$

В этом случае можно разделить обе части уравнения на $(a - 5)$:

$cos x = \frac{a + 3}{a - 5}$

Уравнение имеет решения, если выполняется условие:

$-1 \le \frac{a + 3}{a - 5} \le 1$

Это двойное неравенство равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} \frac{a + 3}{a - 5} \ge -1 \\ \frac{a + 3}{a - 5} \le 1 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$\frac{a + 3}{a - 5} + 1 \ge 0$

$\frac{a + 3 + a - 5}{a - 5} \ge 0$

$\frac{2a - 2}{a - 5} \ge 0$

$\frac{a - 1}{a - 5} \ge 0$

Решая методом интервалов, находим, что это неравенство выполняется при $a \in (-\infty; 1] \cup (5; +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$\frac{a + 3}{a - 5} - 1 \le 0$

$\frac{a + 3 - (a - 5)}{a - 5} \le 0$

$\frac{a + 3 - a + 5}{a - 5} \le 0$

$\frac{8}{a - 5} \le 0$

Так как числитель 8 положителен, дробь будет неположительной, если знаменатель отрицателен:

$a - 5 < 0 \implies a < 5$.

Решением второго неравенства является $a \in (-\infty; 5)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств:

$a \in ((-\infty; 1] \cup (5; +\infty)) \cap (-\infty; 5)$

Пересечением является интервал $(-\infty; 1]$.

Ответ: $a \in (-\infty; 1]$.

229. Определите количество корней уравнения $\cos x = a$ на промежутке $\left[-\frac{\pi}{4}; \frac{2\pi}{3}\right]$ в зависимости от значения $a$.

Для определения количества корней уравнения $\cos x = a$ на промежутке $[-\frac{\pi}{4}; \frac{2\pi}{3}]$ необходимо исследовать поведение функции $f(x) = \cos x$ на этом промежутке. Количество корней будет равно числу точек пересечения графика функции $y = \cos x$ с горизонтальной прямой $y = a$.

Исследуем функцию $f(x) = \cos x$ на заданном промежутке.
1. Вычислим значения функции на концах промежутка:
$f(-\frac{\pi}{4}) = \cos(-\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$f(\frac{2\pi}{3}) = \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$
2. Найдем производную функции: $f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.
3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $-\sin x = 0$, откуда $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В заданный промежуток $[-\frac{\pi}{4}; \frac{2\pi}{3}]$ попадает только одна критическая точка: $x=0$ (при $n=0$).
4. Определим интервалы монотонности функции:
- На промежутке $[-\frac{\pi}{4}; 0)$ производная $f'(x) = -\sin x > 0$, так как $\sin x < 0$. Следовательно, функция возрастает.
- На промежутке $(0; \frac{2\pi}{3}]$ производная $f'(x) = -\sin x < 0$, так как $\sin x > 0$. Следовательно, функция убывает.
5. В точке $x=0$ функция достигает своего максимума: $f(0) = \cos(0) = 1$.
Таким образом, на промежутке $[-\frac{\pi}{4}; \frac{2\pi}{3}]$ функция $\cos x$ сначала возрастает от $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (при $x=-\frac{\pi}{4}$) до $1$ (при $x=0$), а затем убывает от $1$ до $-\frac{1}{2}$ (при $x=\frac{2\pi}{3}$). Множество значений функции на данном промежутке составляет отрезок $[-\frac{1}{2}; 1]$.

Теперь определим количество корней уравнения в зависимости от значения параметра $a$.

При $a < -1/2$ или $a > 1$
Значения параметра $a$ лежат вне области значений функции $\cos x$ на данном промежутке. Прямая $y=a$ не пересекает график функции.
Ответ: 0 корней.

При $a = -1/2$
Уравнение $\cos x = -\frac{1}{2}$ имеет одно решение на данном промежутке, так как это значение достигается на правом конце промежутка: $x = \frac{2\pi}{3}$.
Ответ: 1 корень.

При $-1/2 < a < \frac{\sqrt{2}}{2}$
Прямая $y=a$ пересекает график функции один раз на участке убывания (где $x \in (0, \frac{2\pi}{3})$). На участке возрастания $[-\frac{\pi}{4}; 0]$ значения функции $\cos x$ больше или равны $\frac{\sqrt{2}}{2}$, поэтому пересечений нет.
Ответ: 1 корень.

При $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Уравнение $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ имеет два решения. Одно решение — это $x = -\frac{\pi}{4}$ (левый конец промежутка). Второе решение находится на участке убывания, это $x = \frac{\pi}{4}$, которое также принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{4}; \frac{2\pi}{3}]$.
Ответ: 2 корня.

При $\frac{\sqrt{2}}{2} < a < 1$
Прямая $y=a$ пересекает график функции дважды: один раз на участке возрастания (при $x \in (-\frac{\pi}{4}; 0)$) и один раз на участке убывания (при $x \in (0; \frac{\pi}{4})$).
Ответ: 2 корня.

При $a = 1$
Уравнение $\cos x = 1$ имеет одно решение в точке максимума функции: $x=0$.
Ответ: 1 корень.

230. Определите графически количество корней уравнения:

1) $ \cos x = 4x; $

2) $ \cos x = 3x^2 - 2. $

1) Для определения количества корней уравнения $ \cos x = 4x $ построим в одной системе координат графики функций $ y = \cos x $ и $ y = 4x $.

График функции $ y = \cos x $ — это косинусоида. Её область значений — отрезок $ [-1, 1] $. График функции $ y = 4x $ — это прямая, проходящая через начало координат.

Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения этих графиков. Точки пересечения могут существовать только при условии, что значения обеих функций совпадают. Так как $ -1 \le \cos x \le 1 $, то и для второй функции должно выполняться условие $ -1 \le 4x \le 1 $. Отсюда следует, что все возможные корни уравнения лежат на отрезке $ [-1/4, 1/4] $.

Рассмотрим поведение функций на этом отрезке. При $ x > 0 $, функция $ y = 4x $ возрастает, а функция $ y = \cos x $ на интервале $ (0, \pi/2) $ (куда входит наш отрезок) убывает. При $ x=0 $, $ \cos(0) = 1 $, а $ 4 \cdot 0 = 0 $. То есть график косинуса находится выше графика прямой. На правой границе отрезка, при $ x = 1/4 $, $ \cos(1/4) < 1 $, а $ 4 \cdot (1/4) = 1 $. То есть график прямой оказывается выше графика косинуса. Поскольку на отрезке $ [0, 1/4] $ одна функция непрерывно убывает, а другая непрерывно возрастает, и их значения "меняются местами", они могут пересечься только в одной точке на этом отрезке.

Чтобы доказать, что корень единственный, рассмотрим производные. Производная $ (\cos x)' = -\sin x $ на отрезке $ [-1/4, 1/4] $ изменяется в небольшом диапазоне около нуля. Производная $ (4x)' = 4 $. Поскольку производная функции $ y=4x $ всегда больше производной функции $ y=\cos x $ ($ 4 > -\sin x $), графики могут пересечься не более одного раза.

Так как наличие корня на отрезке $ [0, 1/4] $ очевидно, а пересечений не может быть больше одного, уравнение имеет один корень.

Ответ: 1 корень.

2) Для определения количества корней уравнения $ \cos x = 3x^2 - 2 $ построим в одной системе координат графики функций $ y = \cos x $ и $ y = 3x^2 - 2 $.

График функции $ y = \cos x $ — косинусоида с областью значений $ [-1, 1] $. Это чётная функция.

График функции $ y = 3x^2 - 2 $ — парабола с ветвями вверх, вершина которой находится в точке $ (0, -2) $. Это также чётная функция. Поскольку обе функции являются чётными, их графики симметричны относительно оси OY. Это означает, что если $ x_0 $ — корень уравнения, то и $ -x_0 $ также является корнем. Поэтому достаточно найти количество положительных корней и удвоить его (проверив, не является ли $ x=0 $ корнем).

Пересечение графиков возможно, только если значения параболы находятся в диапазоне $ [-1, 1] $. Решим двойное неравенство:$ -1 \le 3x^2 - 2 \le 1 $Прибавим 2 ко всем частям:$ 1 \le 3x^2 \le 3 $Разделим на 3:$ 1/3 \le x^2 \le 1 $Это неравенство справедливо для $ x \in [-1, -1/\sqrt{3}] \cup [1/\sqrt{3}, 1] $.

Рассмотрим положительный промежуток $ x \in [1/\sqrt{3}, 1] $. На левой границе, при $ x = 1/\sqrt{3} $:$ y_{парабола} = 3(1/\sqrt{3})^2 - 2 = 1 - 2 = -1 $.$ y_{косинус} = \cos(1/\sqrt{3}) $. Так как $ 0 < 1/\sqrt{3} < \pi/2 $, то $ \cos(1/\sqrt{3}) > 0 $. Следовательно, на этой границе график косинуса выше графика параболы.

На правой границе, при $ x = 1 $:$ y_{парабола} = 3(1)^2 - 2 = 1 $.$ y_{косинус} = \cos(1) $. Так как $ 0 < 1 < \pi/2 $, то $ 0 < \cos(1) < 1 $. Следовательно, на этой границе график параболы выше графика косинуса.

Поскольку на отрезке $ [1/\sqrt{3}, 1] $ графики непрерывных функций "меняются местами", они должны пересечься хотя бы один раз. На этом интервале парабола $ y = 3x^2 - 2 $ монотонно возрастает, а косинусоида $ y = \cos x $ монотонно убывает. В такой ситуации возможно только одно пересечение.

Итак, на промежутке $ (0, \infty) $ есть ровно один корень. В силу симметрии, на промежутке $ (-\infty, 0) $ также есть ровно один корень. Проверим $ x=0 $: $ \cos(0) = 1 $, а $ 3(0)^2-2 = -2 $. Равенство не выполняется, значит $ x=0 $ не является корнем.

Следовательно, уравнение имеет два корня.

Ответ: 2 корня.