Номер 229, страница 39 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

229. Определите количество корней уравнения $\cos x = a$ на промежутке $\left[-\frac{\pi}{4}; \frac{2\pi}{3}\right]$ в зависимости от значения $a$.

Для определения количества корней уравнения $\cos x = a$ на промежутке $[-\frac{\pi}{4}; \frac{2\pi}{3}]$ необходимо исследовать поведение функции $f(x) = \cos x$ на этом промежутке. Количество корней будет равно числу точек пересечения графика функции $y = \cos x$ с горизонтальной прямой $y = a$.

Исследуем функцию $f(x) = \cos x$ на заданном промежутке.
1. Вычислим значения функции на концах промежутка:
$f(-\frac{\pi}{4}) = \cos(-\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$f(\frac{2\pi}{3}) = \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$
2. Найдем производную функции: $f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.
3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $-\sin x = 0$, откуда $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В заданный промежуток $[-\frac{\pi}{4}; \frac{2\pi}{3}]$ попадает только одна критическая точка: $x=0$ (при $n=0$).
4. Определим интервалы монотонности функции:
- На промежутке $[-\frac{\pi}{4}; 0)$ производная $f'(x) = -\sin x > 0$, так как $\sin x < 0$. Следовательно, функция возрастает.
- На промежутке $(0; \frac{2\pi}{3}]$ производная $f'(x) = -\sin x < 0$, так как $\sin x > 0$. Следовательно, функция убывает.
5. В точке $x=0$ функция достигает своего максимума: $f(0) = \cos(0) = 1$.
Таким образом, на промежутке $[-\frac{\pi}{4}; \frac{2\pi}{3}]$ функция $\cos x$ сначала возрастает от $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (при $x=-\frac{\pi}{4}$) до $1$ (при $x=0$), а затем убывает от $1$ до $-\frac{1}{2}$ (при $x=\frac{2\pi}{3}$). Множество значений функции на данном промежутке составляет отрезок $[-\frac{1}{2}; 1]$.

Теперь определим количество корней уравнения в зависимости от значения параметра $a$.

При $a < -1/2$ или $a > 1$
Значения параметра $a$ лежат вне области значений функции $\cos x$ на данном промежутке. Прямая $y=a$ не пересекает график функции.
Ответ: 0 корней.

При $a = -1/2$
Уравнение $\cos x = -\frac{1}{2}$ имеет одно решение на данном промежутке, так как это значение достигается на правом конце промежутка: $x = \frac{2\pi}{3}$.
Ответ: 1 корень.

При $-1/2 < a < \frac{\sqrt{2}}{2}$
Прямая $y=a$ пересекает график функции один раз на участке убывания (где $x \in (0, \frac{2\pi}{3})$). На участке возрастания $[-\frac{\pi}{4}; 0]$ значения функции $\cos x$ больше или равны $\frac{\sqrt{2}}{2}$, поэтому пересечений нет.
Ответ: 1 корень.

При $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Уравнение $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ имеет два решения. Одно решение — это $x = -\frac{\pi}{4}$ (левый конец промежутка). Второе решение находится на участке убывания, это $x = \frac{\pi}{4}$, которое также принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{4}; \frac{2\pi}{3}]$.
Ответ: 2 корня.

При $\frac{\sqrt{2}}{2} < a < 1$
Прямая $y=a$ пересекает график функции дважды: один раз на участке возрастания (при $x \in (-\frac{\pi}{4}; 0)$) и один раз на участке убывания (при $x \in (0; \frac{\pi}{4})$).
Ответ: 2 корня.

При $a = 1$
Уравнение $\cos x = 1$ имеет одно решение в точке максимума функции: $x=0$.
Ответ: 1 корень.