Номер 232, страница 40 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

232. Решите уравнение:

1) $\sqrt{3} \sin x - \cos x = -1;$

2) $\sqrt{2} \cos x - \sqrt{2} \sin x = -1;$

3) $\sin x + \cos x = -\sqrt{2}.$

1) $\sqrt{3}\sin x - \cos x = -1$

Данное уравнение является линейным тригонометрическим уравнением вида $a\sin x + b\cos x = c$. Для его решения воспользуемся методом введения вспомогательного угла.

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.

Получим: $\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x = -\frac{1}{2}$.

Заметим, что $\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\frac{\pi}{6}$ и $\frac{1}{2} = \sin\frac{\pi}{6}$. Подставим эти значения в уравнение:

$\cos\frac{\pi}{6}\sin x - \sin\frac{\pi}{6}\cos x = -\frac{1}{2}$.

Свернем левую часть по формуле синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$:

$\sin(x - \frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.

Решения этого уравнения распадаются на две серии:

а) $x - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = 2\pi n$.

б) $x - \frac{\pi}{6} = \pi - (-\frac{\pi}{6}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x - \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$

$x = \frac{7\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{8\pi}{6} + 2\pi n = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$.

Ответ: $x = 2\pi n$, $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sqrt{2}\cos x - \sqrt{2}\sin x = -1$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{(\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2$.

$\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x = -\frac{1}{2}$.

Так как $\frac{\sqrt{2}}{2} = \cos\frac{\pi}{4}$ и $\frac{\sqrt{2}}{2} = \sin\frac{\pi}{4}$, подставим эти значения:

$\cos\frac{\pi}{4}\cos x - \sin\frac{\pi}{4}\sin x = -\frac{1}{2}$.

Свернем левую часть по формуле косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$:

$\cos(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2}$.

Общее решение для уравнения $\cos y = a$ имеет вид $y = \pm\arccos(a) + 2\pi n$.

$x + \frac{\pi}{4} = \pm\arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$, получаем:

$x + \frac{\pi}{4} = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

Рассмотрим два случая:

а) $x + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

$x = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{8\pi - 3\pi}{12} + 2\pi n = \frac{5\pi}{12} + 2\pi n$.

б) $x + \frac{\pi}{4} = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

$x = -\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{-8\pi - 3\pi}{12} + 2\pi n = -\frac{11\pi}{12} + 2\pi n$.

Ответ: $x = \frac{5\pi}{12} + 2\pi n$, $x = -\frac{11\pi}{12} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3) $\sin x + \cos x = -\sqrt{2}$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.

$\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x = -1$.

Так как $\frac{\sqrt{2}}{2} = \cos\frac{\pi}{4}$ и $\frac{\sqrt{2}}{2} = \sin\frac{\pi}{4}$, получаем:

$\sin x \cos\frac{\pi}{4} + \cos x \sin\frac{\pi}{4} = -1$.

Применим формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$:

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -1$.

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Его решение:

$x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выразим $x$:

$x = -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = -\frac{2\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n$.

Ответ: $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.