Номер 231, страница 40 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

231. Решите уравнение:

1) $ \sin 6x = 1; $

2) $ \sin \frac{2x}{9} = 0; $

3) $ \sin \left( 4x - \frac{\pi}{3} \right) = -1; $

4) $ 2\sin \left( 2x + \frac{\pi}{6} \right) - \sqrt{3} = 0; $

5) $ 1 + 2\sin(3 - 2x) = 0; $

6) $ 7\sin \left( 3x - \frac{\pi}{4} \right) - 1 = 0; $

7) $ \sin(5x - 2) = -\frac{\pi}{2}; $

8) $ \sin(4x + 3) = -\frac{\pi}{6}. $

1) Решим уравнение $ \sin(6x) = 1 $.
Это частный случай уравнения $ \sin(y) = 1 $, решение которого имеет вид $ y = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $, где $ n \in Z $ (целые числа).
В нашем случае $ y = 6x $.
$ 6x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $
Разделим обе части на 6, чтобы найти $ x $:
$ x = \frac{\pi}{6 \cdot 2} + \frac{2\pi n}{6} $
$ x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3} $, где $ n \in Z $.
Ответ: $ x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}, n \in Z $.

2) Решим уравнение $ \sin(\frac{2x}{9}) = 0 $.
Это частный случай уравнения $ \sin(y) = 0 $, решение которого имеет вид $ y = \pi n $, где $ n \in Z $.
В нашем случае $ y = \frac{2x}{9} $.
$ \frac{2x}{9} = \pi n $
Умножим обе части на 9:
$ 2x = 9\pi n $
Разделим обе части на 2:
$ x = \frac{9\pi n}{2} $, где $ n \in Z $.
Ответ: $ x = \frac{9\pi n}{2}, n \in Z $.

3) Решим уравнение $ \sin(4x - \frac{\pi}{3}) = -1 $.
Это частный случай уравнения $ \sin(y) = -1 $, решение которого имеет вид $ y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n $, где $ n \in Z $.
В нашем случае $ y = 4x - \frac{\pi}{3} $.
$ 4x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n $
Перенесем $ \frac{\pi}{3} $ в правую часть:
$ 4x = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + 2\pi n $
Приведем дроби к общему знаменателю 6:
$ 4x = -\frac{3\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} + 2\pi n $
$ 4x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n $
Разделим обе части на 4:
$ x = -\frac{\pi}{6 \cdot 4} + \frac{2\pi n}{4} $
$ x = -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{2} $, где $ n \in Z $.
Ответ: $ x = -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z $.

4) Решим уравнение $ 2\sin(2x + \frac{\pi}{6}) - \sqrt{3} = 0 $.
Сначала выразим $ \sin(2x + \frac{\pi}{6}) $:
$ 2\sin(2x + \frac{\pi}{6}) = \sqrt{3} $
$ \sin(2x + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $
Общее решение уравнения $ \sin(y) = a $ имеет вид $ y = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n $, где $ n \in Z $.
В нашем случае $ y = 2x + \frac{\pi}{6} $ и $ a = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Мы знаем, что $ \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3} $.
$ 2x + \frac{\pi}{6} = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n $
Выразим $ 2x $:
$ 2x = -\frac{\pi}{6} + (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n $
Разделим обе части на 2:
$ x = -\frac{\pi}{12} + (-1)^n \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2} $, где $ n \in Z $.
Ответ: $ x = -\frac{\pi}{12} + (-1)^n \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z $.

5) Решим уравнение $ 1 + 2\sin(3 - 2x) = 0 $.
Выразим $ \sin(3 - 2x) $:
$ 2\sin(3 - 2x) = -1 $
$ \sin(3 - 2x) = -\frac{1}{2} $
Используем свойство нечетности синуса $ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $:
$ -\sin(2x - 3) = -\frac{1}{2} $
$ \sin(2x - 3) = \frac{1}{2} $
Общее решение: $ y = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n $. Здесь $ y = 2x - 3 $ и $ \arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6} $.
$ 2x - 3 = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n $
$ 2x = 3 + (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n $
$ x = \frac{3}{2} + (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2} $, где $ n \in Z $.
Ответ: $ x = \frac{3}{2} + (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z $.

6) Решим уравнение $ 7\sin(3x - \frac{\pi}{4}) - 1 = 0 $.
Выразим $ \sin(3x - \frac{\pi}{4}) $:
$ 7\sin(3x - \frac{\pi}{4}) = 1 $
$ \sin(3x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{7} $
Применим общую формулу решения $ y = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n $.
$ 3x - \frac{\pi}{4} = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{7}) + \pi n $
$ 3x = \frac{\pi}{4} + (-1)^n \arcsin(\frac{1}{7}) + \pi n $
$ x = \frac{\pi}{12} + \frac{(-1)^n}{3} \arcsin(\frac{1}{7}) + \frac{\pi n}{3} $, где $ n \in Z $.
Ответ: $ x = \frac{\pi}{12} + \frac{(-1)^n}{3} \arcsin(\frac{1}{7}) + \frac{\pi n}{3}, n \in Z $.

7) Решим уравнение $ \sin(5x - 2) = -\frac{\pi}{2} $.
Область значений функции синус — отрезок $ [-1, 1] $.
Найдем примерное значение правой части уравнения: $ -\frac{\pi}{2} \approx -\frac{3.14159}{2} \approx -1.57 $.
Так как $ -1.57 < -1 $, значение $ -\frac{\pi}{2} $ не входит в область значений синуса.
Следовательно, у уравнения нет решений.
Ответ: решений нет.

8) Решим уравнение $ \sin(4x + 3) = -\frac{\pi}{6} $.
Проверим, входит ли правая часть в область значений синуса $ [-1, 1] $.
$ -\frac{\pi}{6} \approx -\frac{3.14159}{6} \approx -0.524 $.
Так как $ -1 \le -0.524 \le 1 $, уравнение имеет решения.
Применим общую формулу $ y = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n $.
$ 4x + 3 = (-1)^n \arcsin(-\frac{\pi}{6}) + \pi n $
Используем свойство $ \arcsin(-a) = -\arcsin(a) $:
$ 4x + 3 = (-1)^n (-\arcsin(\frac{\pi}{6})) + \pi n $
$ 4x + 3 = (-1)^{n+1} \arcsin(\frac{\pi}{6}) + \pi n $
$ 4x = -3 + (-1)^{n+1} \arcsin(\frac{\pi}{6}) + \pi n $
$ x = -\frac{3}{4} + \frac{(-1)^{n+1}}{4} \arcsin(\frac{\pi}{6}) + \frac{\pi n}{4} $, где $ n \in Z $.
Ответ: $ x = -\frac{3}{4} + \frac{(-1)^{n+1}}{4} \arcsin(\frac{\pi}{6}) + \frac{\pi n}{4}, n \in Z $.