Номер 224, страница 39 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

224. Решите уравнение:

1) $\sin^2 4x = \frac{1}{4}$;

2) $\cos^2 \frac{x}{5} = \frac{3}{4}$;

3) $12\sin^2 x - 5 = 0$.

1) $ \sin^2 4x = \frac{1}{4} $

Для решения этого уравнения удобно использовать формулу понижения степени для синуса: $ \sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} $. Применим ее, взяв $ \alpha = 4x $.

$ \frac{1 - \cos(2 \cdot 4x)}{2} = \frac{1}{4} $

$ \frac{1 - \cos(8x)}{2} = \frac{1}{4} $

Умножим обе части уравнения на 2:

$ 1 - \cos(8x) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $

Теперь выразим $ \cos(8x) $:

$ \cos(8x) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $

Получили простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения $ \cos(t) = a $ имеет вид $ t = \pm \arccos(a) + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

В нашем случае $ t = 8x $, а $ a = \frac{1}{2} $. Значение $ \arccos(\frac{1}{2}) $ равно $ \frac{\pi}{3} $.

$ 8x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $

Чтобы найти $ x $, разделим обе части на 8:

$ x = \pm \frac{\pi}{24} + \frac{2\pi k}{8} $

$ x = \pm \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \pm \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z} $.

2) $ \cos^2 \frac{x}{5} = \frac{3}{4} $

Используем формулу понижения степени для косинуса: $ \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} $. В данном случае $ \alpha = \frac{x}{5} $.

$ \frac{1 + \cos(2 \cdot \frac{x}{5})}{2} = \frac{3}{4} $

$ \frac{1 + \cos(\frac{2x}{5})}{2} = \frac{3}{4} $

Умножим обе части уравнения на 2:

$ 1 + \cos(\frac{2x}{5}) = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} $

Выразим $ \cos(\frac{2x}{5}) $:

$ \cos(\frac{2x}{5}) = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2} $

Снова получили уравнение вида $ \cos(t) = \frac{1}{2} $. Его решение: $ t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Подставим $ t = \frac{2x}{5} $:

$ \frac{2x}{5} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $

Чтобы найти $ x $, умножим обе части на $ \frac{5}{2} $:

$ x = \frac{5}{2} \left( \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \right) $

$ x = \pm \frac{5\pi}{6} + 5\pi k, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \pm \frac{5\pi}{6} + 5\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

3) $ 12\sin^2 x - 5 = 0 $

Сначала преобразуем уравнение, выразив $ \sin^2 x $:

$ 12\sin^2 x = 5 $

$ \sin^2 x = \frac{5}{12} $

Применим формулу понижения степени $ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} $:

$ \frac{1 - \cos 2x}{2} = \frac{5}{12} $

Умножим обе части на 2:

$ 1 - \cos 2x = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} $

Выразим $ \cos 2x $:

$ \cos 2x = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6} $

Решим полученное уравнение, используя общую формулу $ t = \pm \arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $. Здесь $ t = 2x $ и $ a = \frac{1}{6} $.

$ 2x = \pm \arccos\left(\frac{1}{6}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $

Разделим обе части на 2, чтобы найти $ x $:

$ x = \pm \frac{1}{2} \arccos\left(\frac{1}{6}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \pm \frac{1}{2} \arccos\left(\frac{1}{6}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.