Номер 220, страница 38 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

220. Докажите тождество

$4\cos^2 \alpha - 1 = 4\cos\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right)$

Для доказательства тождества преобразуем его правую часть, так как она выглядит более сложной. Цель — привести ее к виду левой части $4\cos^2 \alpha - 1$.

Правая часть: $4\cos\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right)$.

Воспользуемся формулами косинуса суммы и разности углов:

$\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$

$\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$

В нашем случае $x = \frac{\pi}{6}$ и $y = \alpha$.

$\cos\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \cos\frac{\pi}{6}\cos\alpha - \sin\frac{\pi}{6}\sin\alpha$

$\cos\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right) = \cos\frac{\pi}{6}\cos\alpha + \sin\frac{\pi}{6}\sin\alpha$

Подставим известные значения тригонометрических функций: $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$.

$\cos\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha - \frac{1}{2}\sin\alpha$

$\cos\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{1}{2}\sin\alpha$

Теперь подставим эти выражения в правую часть исходного тождества:

$4\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha - \frac{1}{2}\sin\alpha\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{1}{2}\sin\alpha\right)$

Выражение в скобках представляет собой формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$4\left[\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\sin\alpha\right)^2\right] = 4\left(\frac{3}{4}\cos^2\alpha - \frac{1}{4}\sin^2\alpha\right)$

Раскроем скобки:

$4 \cdot \frac{3}{4}\cos^2\alpha - 4 \cdot \frac{1}{4}\sin^2\alpha = 3\cos^2\alpha - \sin^2\alpha$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, из которого следует, что $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$. Заменим $\sin^2\alpha$ в нашем выражении:

$3\cos^2\alpha - (1 - \cos^2\alpha) = 3\cos^2\alpha - 1 + \cos^2\alpha = 4\cos^2\alpha - 1$

Таким образом, мы преобразовали правую часть уравнения и получили выражение, в точности совпадающее с левой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.