Номер 215, страница 37 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

215. Преобразуйте в произведение:

1) $ \cos 40^\circ + \cos 10^\circ; $

2) $ \sin 4\alpha + \sin 10\alpha; $

3) $ \sin \frac{11\pi}{12} - \sin \frac{5\pi}{12}; $

4) $ \cos 3\alpha - \cos 7\alpha; $

5) $ \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) + \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right); $

6) $ \cos\left(2\alpha - \frac{2\pi}{3}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{3} + 2\alpha\right). $

1) Для преобразования суммы косинусов в произведение используем формулу $ \cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $.
Подставим $ A = 40^\circ $ и $ B = 10^\circ $:
$ \cos 40^\circ + \cos 10^\circ = 2 \cos\left(\frac{40^\circ+10^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{40^\circ-10^\circ}{2}\right) = 2 \cos\left(\frac{50^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{30^\circ}{2}\right) = 2 \cos 25^\circ \cos 15^\circ $.

Ответ: $ 2 \cos 25^\circ \cos 15^\circ $

2) Для преобразования суммы синусов в произведение используем формулу $ \sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $.
Подставим $ A = 4\alpha $ и $ B = 10\alpha $:
$ \sin 4\alpha + \sin 10\alpha = 2 \sin\left(\frac{4\alpha+10\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{4\alpha-10\alpha}{2}\right) = 2 \sin(7\alpha) \cos(-3\alpha) $.
Так как косинус — чётная функция ($ \cos(-x) = \cos(x) $), получаем:
$ 2 \sin(7\alpha) \cos(3\alpha) $.

Ответ: $ 2 \sin(7\alpha) \cos(3\alpha) $

3) Для преобразования разности синусов в произведение используем формулу $ \sin A - \sin B = 2 \sin\left(\frac{A-B}{2}\right) \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) $.
Подставим $ A = \frac{11\pi}{12} $ и $ B = \frac{5\pi}{12} $:
$ \sin\frac{11\pi}{12} - \sin\frac{5\pi}{12} = 2 \sin\left(\frac{\frac{11\pi}{12} - \frac{5\pi}{12}}{2}\right) \cos\left(\frac{\frac{11\pi}{12} + \frac{5\pi}{12}}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{\frac{6\pi}{12}}{2}\right) \cos\left(\frac{\frac{16\pi}{12}}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) $.
Вычислим значения тригонометрических функций: $ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} $.
$ 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Ответ: $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $

4) Для преобразования разности косинусов в произведение используем формулу $ \cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right) $.
Подставим $ A = 3\alpha $ и $ B = 7\alpha $:
$ \cos 3\alpha - \cos 7\alpha = -2 \sin\left(\frac{3\alpha+7\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{3\alpha-7\alpha}{2}\right) = -2 \sin(5\alpha) \sin(-2\alpha) $.
Так как синус — нечётная функция ($ \sin(-x) = -\sin(x) $), получаем:
$ -2 \sin(5\alpha) (-\sin(2\alpha)) = 2 \sin(5\alpha) \sin(2\alpha) $.

Ответ: $ 2 \sin(5\alpha) \sin(2\alpha) $

5) Для преобразования суммы синусов в произведение используем формулу $ \sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $.
Подставим $ A = x + \frac{\pi}{6} $ и $ B = x - \frac{\pi}{6} $:
$ \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) + \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = 2 \sin\left(\frac{x + \frac{\pi}{6} + x - \frac{\pi}{6}}{2}\right) \cos\left(\frac{x + \frac{\pi}{6} - (x - \frac{\pi}{6})}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{2x}{2}\right) \cos\left(\frac{2\pi/6}{2}\right) = 2 \sin(x) \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) $.
Так как $ \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $, то:
$ 2 \sin(x) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \sin(x) $.

Ответ: $ \sqrt{3} \sin(x) $

6) Для преобразования разности косинусов в произведение используем формулу $ \cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right) $.
Подставим $ A = 2\alpha - \frac{2\pi}{3} $ и $ B = \frac{\pi}{3} + 2\alpha $:
$ \frac{A+B}{2} = \frac{2\alpha - \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + 2\alpha}{2} = \frac{4\alpha - \frac{\pi}{3}}{2} = 2\alpha - \frac{\pi}{6} $.
$ \frac{A-B}{2} = \frac{2\alpha - \frac{2\pi}{3} - (\frac{\pi}{3} + 2\alpha)}{2} = \frac{2\alpha - \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3} - 2\alpha}{2} = \frac{-\pi}{2} $.
Получаем:
$ -2 \sin\left(2\alpha - \frac{\pi}{6}\right) \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) $.
Так как $ \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1 $, то:
$ -2 \sin\left(2\alpha - \frac{\pi}{6}\right) \cdot (-1) = 2 \sin\left(2\alpha - \frac{\pi}{6}\right) $.

Ответ: $ 2 \sin\left(2\alpha - \frac{\pi}{6}\right) $