Номер 209, страница 37 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

209. Дано: $\sin \alpha = 0,8$, $90^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}$. Найдите:

1) $\sin 2\alpha$;

2) $\cos 2\alpha$;

3) $\operatorname{tg} 4\alpha$.

Поскольку по условию $90^\circ < \alpha < 180^\circ$, угол $\alpha$ находится во второй координатной четверти. В этой четверти синус положителен (что соответствует условию), а косинус отрицателен.

Для дальнейших вычислений найдем $cos \alpha$, используя основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.

$cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha = 1 - (0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36$

$cos \alpha = \pm\sqrt{0,36} = \pm0,6$

Так как угол $\alpha$ находится во второй четверти, $cos \alpha$ должен быть отрицательным, следовательно, $cos \alpha = -0,6$.

1) sin2α;

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $sin 2\alpha = 2sin\alpha cos\alpha$.

Подставим известные значения $sin \alpha = 0,8$ и $cos \alpha = -0,6$:

$sin 2\alpha = 2 \cdot 0,8 \cdot (-0,6) = 1,6 \cdot (-0,6) = -0,96$

Ответ: -0,96

2) cos2α;

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла, например, $cos 2\alpha = cos^2\alpha - sin^2\alpha$.

Подставим известные значения:

$cos 2\alpha = (-0,6)^2 - (0,8)^2 = 0,36 - 0,64 = -0,28$

Также можно использовать другую формулу: $cos 2\alpha = 1 - 2sin^2\alpha$.

$cos 2\alpha = 1 - 2 \cdot (0,8)^2 = 1 - 2 \cdot 0,64 = 1 - 1,28 = -0,28$

Ответ: -0,28

3) tg4α.

Для нахождения $tg 4\alpha$ сначала найдем $tg 2\alpha$.

$tg 2\alpha = \frac{sin 2\alpha}{cos 2\alpha} = \frac{-0,96}{-0,28} = \frac{96}{28} = \frac{24}{7}$

Теперь используем формулу тангенса двойного угла для $tg 4\alpha$, представив $4\alpha$ как $2 \cdot (2\alpha)$:

$tg 4\alpha = \frac{2tg 2\alpha}{1 - tg^2 2\alpha}$

Подставим найденное значение $tg 2\alpha = \frac{24}{7}$ в формулу:

$tg 4\alpha = \frac{2 \cdot \frac{24}{7}}{1 - (\frac{24}{7})^2} = \frac{\frac{48}{7}}{1 - \frac{576}{49}} = \frac{\frac{48}{7}}{\frac{49 - 576}{49}} = \frac{\frac{48}{7}}{\frac{-527}{49}}$

Для упрощения дроби умножим числитель на перевернутый знаменатель:

$tg 4\alpha = \frac{48}{7} \cdot \left(-\frac{49}{527}\right) = -\frac{48 \cdot 49}{7 \cdot 527} = -\frac{48 \cdot 7}{527} = -\frac{336}{527}$

Ответ: $-\frac{336}{527}$