Номер 205, страница 36 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

205. Упростите выражение:

1) $\frac{\sin 10\alpha}{\sin 5\alpha}$

2) $\frac{\cos 3\alpha}{\cos \frac{3\alpha}{2} - \sin \frac{3\alpha}{2}}$

3) $2\sin^2\left(\frac{\pi}{4} - 7\alpha\right) - 1$

4) $\sin \frac{3\alpha}{7}\cos \frac{3\alpha}{7} - \cos \frac{6\alpha}{7}$

5) $\frac{\operatorname{tg} \frac{\alpha}{8} - \operatorname{ctg} \frac{\alpha}{4}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{8}}$

6) $\frac{\operatorname{tg} 6\alpha(1 - \operatorname{tg}^2 3\alpha)}{1 + \operatorname{tg}^2 3\alpha}$

7) $\cos^2 9\alpha + \frac{4\operatorname{tg}^2 \frac{9\alpha}{2}}{\left(1 + \operatorname{tg}^2 \frac{9\alpha}{2}\right)^2}$

1)

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) $.

Представим $ \sin(10\alpha) $ как $ \sin(2 \cdot 5\alpha) $.

$ \frac{\sin(10\alpha)}{\sin(5\alpha)} = \frac{2\sin(5\alpha)\cos(5\alpha)}{\sin(5\alpha)} $

Сократим $ \sin(5\alpha) $ в числителе и знаменателе (при условии, что $ \sin(5\alpha) \neq 0 $).

$ 2\cos(5\alpha) $

Ответ: $ 2\cos(5\alpha) $

2)

Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) $.

Представим $ \cos(3\alpha) $ как $ \cos(2 \cdot \frac{3\alpha}{2}) = \cos^2(\frac{3\alpha}{2}) - \sin^2(\frac{3\alpha}{2}) $.

В числителе получили разность квадратов, которую можно разложить по формуле $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $.

$ \frac{\cos(3\alpha)}{\cos\frac{3\alpha}{2} - \sin\frac{3\alpha}{2}} = \frac{\cos^2\frac{3\alpha}{2} - \sin^2\frac{3\alpha}{2}}{\cos\frac{3\alpha}{2} - \sin\frac{3\alpha}{2}} = \frac{(\cos\frac{3\alpha}{2} - \sin\frac{3\alpha}{2})(\cos\frac{3\alpha}{2} + \sin\frac{3\alpha}{2})}{\cos\frac{3\alpha}{2} - \sin\frac{3\alpha}{2}} $

Сократим общий множитель $ (\cos\frac{3\alpha}{2} - \sin\frac{3\alpha}{2}) $.

$ \cos\frac{3\alpha}{2} + \sin\frac{3\alpha}{2} $

Ответ: $ \cos\frac{3\alpha}{2} + \sin\frac{3\alpha}{2} $

3)

Используем формулу косинуса двойного угла в виде $ \cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) $.

Выразим из нее $ 2\sin^2(x) - 1 = -\cos(2x) $.

В нашем случае $ x = \frac{\pi}{4} - 7\alpha $.

$ 2\sin^2(\frac{\pi}{4} - 7\alpha) - 1 = -\cos(2(\frac{\pi}{4} - 7\alpha)) = -\cos(\frac{\pi}{2} - 14\alpha) $

Используем формулу приведения $ \cos(\frac{\pi}{2} - y) = \sin(y) $.

$ -\cos(\frac{\pi}{2} - 14\alpha) = -\sin(14\alpha) $

Ответ: $ -\sin(14\alpha) $

4)

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) $, из которой следует $ \sin(x)\cos(x) = \frac{1}{2}\sin(2x) $.

Сначала сгруппируем первые два множителя:

$ \sin\frac{3\alpha}{7}\cos\frac{3\alpha}{7} = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{3\alpha}{7}) = \frac{1}{2}\sin\frac{6\alpha}{7} $

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$ (\sin\frac{3\alpha}{7}\cos\frac{3\alpha}{7})\cos\frac{6\alpha}{7} = (\frac{1}{2}\sin\frac{6\alpha}{7})\cos\frac{6\alpha}{7} = \frac{1}{2}(\sin\frac{6\alpha}{7}\cos\frac{6\alpha}{7}) $

Применим формулу еще раз:

$ \frac{1}{2}(\frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{6\alpha}{7})) = \frac{1}{4}\sin\frac{12\alpha}{7} $

Ответ: $ \frac{1}{4}\sin\frac{12\alpha}{7} $

5)

Преобразуем числитель и знаменатель, выразив их через синусы и косинусы. Пусть $ x = \frac{\alpha}{8} $, тогда $ \frac{\alpha}{4} = 2x $.

Числитель: $ \tg x - \ctg(2x) = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos(2x)}{\sin(2x)} = \frac{\sin x \sin(2x) - \cos x \cos(2x)}{\cos x \sin(2x)} $.

Это выражение равно $ \frac{-(\cos x \cos(2x) - \sin x \sin(2x))}{\cos x \sin(2x)} = \frac{-\cos(x+2x)}{\cos x \sin(2x)} = \frac{-\cos(3x)}{\cos x \sin(2x)} $.

Знаменатель: $ 1 - \tg^2 x = 1 - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\cos(2x)}{\cos^2 x} $.

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$ \frac{\frac{-\cos(3x)}{\cos x \sin(2x)}}{\frac{\cos(2x)}{\cos^2 x}} = \frac{-\cos(3x)\cos^2 x}{\cos x \sin(2x)\cos(2x)} = \frac{-\cos(3x)\cos x}{\sin(2x)\cos(2x)} $.

В знаменателе используем формулу синуса двойного угла: $ \sin(2x)\cos(2x) = \frac{1}{2}\sin(4x) $.

$ \frac{-\cos(3x)\cos x}{\frac{1}{2}\sin(4x)} = \frac{-2\cos(3x)\cos x}{\sin(4x)} $.

Преобразуем произведение косинусов в сумму: $ \cos A \cos B = \frac{1}{2}(\cos(A+B)+\cos(A-B)) $.

$ \frac{-2 \cdot \frac{1}{2}(\cos(3x+x)+\cos(3x-x))}{\sin(4x)} = \frac{-(\cos(4x)+\cos(2x))}{\sin(4x)} $.

Подставим $ x = \frac{\alpha}{8} $, тогда $ 2x = \frac{\alpha}{4} $ и $ 4x = \frac{\alpha}{2} $.

$ \frac{-(\cos(\frac{\alpha}{2}) + \cos(\frac{\alpha}{4}))}{\sin(\frac{\alpha}{2})} $

Ответ: $ -\frac{\cos(\frac{\alpha}{2}) + \cos(\frac{\alpha}{4})}{\sin(\frac{\alpha}{2})} $

6)

Рассмотрим дробь $ \frac{1-\tg^2 3\alpha}{1+\tg^2 3\alpha} $. Используем универсальную тригонометрическую подстановку, а именно формулу $ \cos(2x) = \frac{1-\tg^2 x}{1+\tg^2 x} $.

В нашем случае $ x = 3\alpha $, поэтому:

$ \frac{1-\tg^2 3\alpha}{1+\tg^2 3\alpha} = \cos(2 \cdot 3\alpha) = \cos(6\alpha) $

Подставим это в исходное выражение:

$ \tg(6\alpha) \cdot \cos(6\alpha) = \frac{\sin(6\alpha)}{\cos(6\alpha)} \cdot \cos(6\alpha) $

Сократив $ \cos(6\alpha) $, получим $ \sin(6\alpha) $.

Ответ: $ \sin(6\alpha) $

7)

Рассмотрим второе слагаемое $ \frac{4\tg^2\frac{9\alpha}{2}}{(1+\tg^2\frac{9\alpha}{2})^2} $. Пусть $ x = \frac{9\alpha}{2} $.

Выражение принимает вид $ \frac{4\tg^2 x}{(1+\tg^2 x)^2} $. Мы знаем, что $ \sin(2x) = \frac{2\tg x}{1+\tg^2 x} $.

Возведем эту формулу в квадрат:

$ \sin^2(2x) = (\frac{2\tg x}{1+\tg^2 x})^2 = \frac{4\tg^2 x}{(1+\tg^2 x)^2} $

Таким образом, второе слагаемое равно $ \sin^2(2x) $. Подставим обратно $ x = \frac{9\alpha}{2} $:

$ \sin^2(2 \cdot \frac{9\alpha}{2}) = \sin^2(9\alpha) $.

Исходное выражение становится:

$ \cos^2(9\alpha) + \sin^2(9\alpha) $

Согласно основному тригонометрическому тождеству $ \cos^2 y + \sin^2 y = 1 $.

Ответ: $ 1 $