Страница 36 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

203. Примените формулы двойного угла к выражению:

1) $ \sin 8\alpha; $

2) $ \cos \frac{\alpha}{6}; $

3) $ \sin 5\alpha; $

4) $ \mathrm{tg} \frac{\alpha}{4}; $

5) $ \sin (\alpha + \beta); $

6) $ \cos 1; $

7) $ \sin \left(\frac{2x}{3} - 20^{\circ}\right); $

8) $ \cos \left(\frac{2\pi}{7} + \gamma\right). $

Для решения данной задачи необходимо применить формулы двойного угла. Основные формулы:

• $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$
• $\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1 = 1 - 2\sin^2(\alpha)$
• $\text{tg}(2\alpha) = \frac{2\text{tg}(\alpha)}{1-\text{tg}^2(\alpha)}$

Для каждого выражения мы представим его аргумент в виде $2A$ и применим соответствующую формулу, выразив его через функции от угла $A$.

1) $\sin8\alpha$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2A) = 2\sin(A)\cos(A)$.
В данном случае аргумент $8\alpha$. Представим его как $2 \cdot (4\alpha)$. Таким образом, $A=4\alpha$.
Подставим $A=4\alpha$ в формулу:
$\sin(8\alpha) = \sin(2 \cdot 4\alpha) = 2\sin(4\alpha)\cos(4\alpha)$.

Ответ: $2\sin(4\alpha)\cos(4\alpha)$.

2) $\cos\frac{\alpha}{6}$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2A) = \cos^2A - \sin^2A$.
Аргумент выражения равен $\frac{\alpha}{6}$. Представим его как $2 \cdot (\frac{\alpha}{12})$. Таким образом, $A=\frac{\alpha}{12}$.
Подставим $A=\frac{\alpha}{12}$ в формулу:
$\cos(\frac{\alpha}{6}) = \cos(2 \cdot \frac{\alpha}{12}) = \cos^2(\frac{\alpha}{12}) - \sin^2(\frac{\alpha}{12})$.
Также можно использовать и другие формы этой формулы:
$\cos(\frac{\alpha}{6}) = 2\cos^2(\frac{\alpha}{12}) - 1$ или $\cos(\frac{\alpha}{6}) = 1 - 2\sin^2(\frac{\alpha}{12})$.

Ответ: $\cos^2(\frac{\alpha}{12}) - \sin^2(\frac{\alpha}{12})$.

3) $\sin5\alpha$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2A) = 2\sin(A)\cos(A)$.
Аргумент выражения равен $5\alpha$. Представим его как $2 \cdot (\frac{5\alpha}{2})$. Таким образом, $A=\frac{5\alpha}{2}$.
Подставим $A=\frac{5\alpha}{2}$ в формулу:
$\sin(5\alpha) = \sin(2 \cdot \frac{5\alpha}{2}) = 2\sin(\frac{5\alpha}{2})\cos(\frac{5\alpha}{2})$.

Ответ: $2\sin(\frac{5\alpha}{2})\cos(\frac{5\alpha}{2})$.

4) $\text{tg}\frac{\alpha}{4}$

Используем формулу тангенса двойного угла $\text{tg}(2A) = \frac{2\text{tg}(A)}{1-\text{tg}^2(A)}$.
Аргумент выражения равен $\frac{\alpha}{4}$. Представим его как $2 \cdot (\frac{\alpha}{8})$. Таким образом, $A=\frac{\alpha}{8}$.
Подставим $A=\frac{\alpha}{8}$ в формулу:
$\text{tg}(\frac{\alpha}{4}) = \text{tg}(2 \cdot \frac{\alpha}{8}) = \frac{2\text{tg}(\frac{\alpha}{8})}{1-\text{tg}^2(\frac{\alpha}{8})}$.

Ответ: $\frac{2\text{tg}(\frac{\alpha}{8})}{1-\text{tg}^2(\frac{\alpha}{8})}$.

5) $\sin(\alpha + \beta)$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2A) = 2\sin(A)\cos(A)$.
Аргумент выражения равен $(\alpha + \beta)$. Представим его как $2 \cdot (\frac{\alpha + \beta}{2})$. Таким образом, $A=\frac{\alpha + \beta}{2}$.
Подставим $A=\frac{\alpha + \beta}{2}$ в формулу:
$\sin(\alpha + \beta) = \sin(2 \cdot \frac{\alpha + \beta}{2}) = 2\sin(\frac{\alpha + \beta}{2})\cos(\frac{\alpha + \beta}{2})$.

Ответ: $2\sin(\frac{\alpha + \beta}{2})\cos(\frac{\alpha + \beta}{2})$.

6) $\cos1$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2A) = \cos^2A - \sin^2A$.
Аргумент выражения равен $1$. Представим его как $2 \cdot (\frac{1}{2})$. Таким образом, $A=\frac{1}{2}$.
Подставим $A=\frac{1}{2}$ в формулу:
$\cos(1) = \cos(2 \cdot \frac{1}{2}) = \cos^2(\frac{1}{2}) - \sin^2(\frac{1}{2})$.

Ответ: $\cos^2(\frac{1}{2}) - \sin^2(\frac{1}{2})$.

7) $\sin(\frac{2x}{3} - 20^{\circ})$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2A) = 2\sin(A)\cos(A)$.
Аргумент выражения равен $(\frac{2x}{3} - 20^{\circ})$. Представим его как $2 \cdot (\frac{x}{3} - 10^{\circ})$. Таким образом, $A = \frac{x}{3} - 10^{\circ}$.
Подставим $A = \frac{x}{3} - 10^{\circ}$ в формулу:
$\sin(\frac{2x}{3} - 20^{\circ}) = \sin(2 \cdot (\frac{x}{3} - 10^{\circ})) = 2\sin(\frac{x}{3} - 10^{\circ})\cos(\frac{x}{3} - 10^{\circ})$.

Ответ: $2\sin(\frac{x}{3} - 10^{\circ})\cos(\frac{x}{3} - 10^{\circ})$.

8) $\cos(\frac{2\pi}{7} + \gamma)$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2A) = \cos^2A - \sin^2A$.
Аргумент выражения равен $(\frac{2\pi}{7} + \gamma)$. Представим его как $2 \cdot (\frac{\pi}{7} + \frac{\gamma}{2})$. Таким образом, $A = \frac{\pi}{7} + \frac{\gamma}{2}$.
Подставим $A = \frac{\pi}{7} + \frac{\gamma}{2}$ в формулу:
$\cos(\frac{2\pi}{7} + \gamma) = \cos(2 \cdot (\frac{\pi}{7} + \frac{\gamma}{2})) = \cos^2(\frac{\pi}{7} + \frac{\gamma}{2}) - \sin^2(\frac{\pi}{7} + \frac{\gamma}{2})$.

Ответ: $\cos^2(\frac{\pi}{7} + \frac{\gamma}{2}) - \sin^2(\frac{\pi}{7} + \frac{\gamma}{2})$.

204. Найдите значение выражения:

1) $2\sin^2 \frac{3\pi}{8} - 1$;

2) $\frac{\operatorname{tg}^2 15^\circ - 1}{\operatorname{tg}^2 15^\circ + 1}$;

3) $2\sin 37,5^\circ \cos 37,5^\circ \cos 75^\circ$.

1)

Для решения воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$. Выразим из этой формулы искомое выражение $2\sin^2\alpha - 1$:$2\sin^2\alpha - 1 = -(1 - 2\sin^2\alpha) = -\cos(2\alpha)$. В данном случае, угол $\alpha = \frac{3\pi}{8}$. Подставим его в полученную формулу:$2\sin^2\frac{3\pi}{8} - 1 = -\cos(2 \cdot \frac{3\pi}{8}) = -\cos(\frac{6\pi}{8}) = -\cos(\frac{3\pi}{4})$. Угол $\frac{3\pi}{4}$ находится во второй четверти, его косинус отрицателен. Используя формулу приведения, находим его значение:$\cos(\frac{3\pi}{4}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Таким образом, значение всего выражения равно:$-\cos(\frac{3\pi}{4}) = -(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

2)

Для решения воспользуемся формулой косинуса двойного угла, выраженной через тангенс: $\cos(2\alpha) = \frac{1 - \tg^2\alpha}{1 + \tg^2\alpha}$. Преобразуем исходное выражение, вынеся знак минус из числителя:$\frac{\tg^2 15^\circ - 1}{\tg^2 15^\circ + 1} = \frac{-(1 - \tg^2 15^\circ)}{1 + \tg^2 15^\circ} = -\frac{1 - \tg^2 15^\circ}{1 + \tg^2 15^\circ}$. Теперь видно, что выражение соответствует формуле косинуса двойного угла со знаком минус, где $\alpha = 15^\circ$. Применим формулу:$-\frac{1 - \tg^2 15^\circ}{1 + \tg^2 15^\circ} = -\cos(2 \cdot 15^\circ) = -\cos(30^\circ)$. Значение $\cos(30^\circ)$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, итоговый результат:$-\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

3)

Для решения воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Рассмотрим первую часть выражения: $2\sin 37,5^\circ \cos 37,5^\circ$. Она полностью соответствует формуле при $\alpha = 37,5^\circ$.$2\sin 37,5^\circ \cos 37,5^\circ = \sin(2 \cdot 37,5^\circ) = \sin(75^\circ)$. После преобразования исходное выражение принимает вид:$\sin(75^\circ) \cos(75^\circ)$. Снова применим формулу синуса двойного угла. Из формулы $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$ следует, что $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$. Подставим в это соотношение $\alpha = 75^\circ$:$\sin(75^\circ)\cos(75^\circ) = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 75^\circ) = \frac{1}{2}\sin(150^\circ)$. Найдем значение $\sin(150^\circ)$ с помощью формулы приведения:$\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$. Подставим найденное значение в выражение:$\frac{1}{2}\sin(150^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$

205. Упростите выражение:

1) $\frac{\sin 10\alpha}{\sin 5\alpha}$

2) $\frac{\cos 3\alpha}{\cos \frac{3\alpha}{2} - \sin \frac{3\alpha}{2}}$

3) $2\sin^2\left(\frac{\pi}{4} - 7\alpha\right) - 1$

4) $\sin \frac{3\alpha}{7}\cos \frac{3\alpha}{7} - \cos \frac{6\alpha}{7}$

5) $\frac{\operatorname{tg} \frac{\alpha}{8} - \operatorname{ctg} \frac{\alpha}{4}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{8}}$

6) $\frac{\operatorname{tg} 6\alpha(1 - \operatorname{tg}^2 3\alpha)}{1 + \operatorname{tg}^2 3\alpha}$

7) $\cos^2 9\alpha + \frac{4\operatorname{tg}^2 \frac{9\alpha}{2}}{\left(1 + \operatorname{tg}^2 \frac{9\alpha}{2}\right)^2}$

1)

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) $.

Представим $ \sin(10\alpha) $ как $ \sin(2 \cdot 5\alpha) $.

$ \frac{\sin(10\alpha)}{\sin(5\alpha)} = \frac{2\sin(5\alpha)\cos(5\alpha)}{\sin(5\alpha)} $

Сократим $ \sin(5\alpha) $ в числителе и знаменателе (при условии, что $ \sin(5\alpha) \neq 0 $).

$ 2\cos(5\alpha) $

Ответ: $ 2\cos(5\alpha) $

2)

Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) $.

Представим $ \cos(3\alpha) $ как $ \cos(2 \cdot \frac{3\alpha}{2}) = \cos^2(\frac{3\alpha}{2}) - \sin^2(\frac{3\alpha}{2}) $.

В числителе получили разность квадратов, которую можно разложить по формуле $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $.

$ \frac{\cos(3\alpha)}{\cos\frac{3\alpha}{2} - \sin\frac{3\alpha}{2}} = \frac{\cos^2\frac{3\alpha}{2} - \sin^2\frac{3\alpha}{2}}{\cos\frac{3\alpha}{2} - \sin\frac{3\alpha}{2}} = \frac{(\cos\frac{3\alpha}{2} - \sin\frac{3\alpha}{2})(\cos\frac{3\alpha}{2} + \sin\frac{3\alpha}{2})}{\cos\frac{3\alpha}{2} - \sin\frac{3\alpha}{2}} $

Сократим общий множитель $ (\cos\frac{3\alpha}{2} - \sin\frac{3\alpha}{2}) $.

$ \cos\frac{3\alpha}{2} + \sin\frac{3\alpha}{2} $

Ответ: $ \cos\frac{3\alpha}{2} + \sin\frac{3\alpha}{2} $

3)

Используем формулу косинуса двойного угла в виде $ \cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) $.

Выразим из нее $ 2\sin^2(x) - 1 = -\cos(2x) $.

В нашем случае $ x = \frac{\pi}{4} - 7\alpha $.

$ 2\sin^2(\frac{\pi}{4} - 7\alpha) - 1 = -\cos(2(\frac{\pi}{4} - 7\alpha)) = -\cos(\frac{\pi}{2} - 14\alpha) $

Используем формулу приведения $ \cos(\frac{\pi}{2} - y) = \sin(y) $.

$ -\cos(\frac{\pi}{2} - 14\alpha) = -\sin(14\alpha) $

Ответ: $ -\sin(14\alpha) $

4)

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) $, из которой следует $ \sin(x)\cos(x) = \frac{1}{2}\sin(2x) $.

Сначала сгруппируем первые два множителя:

$ \sin\frac{3\alpha}{7}\cos\frac{3\alpha}{7} = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{3\alpha}{7}) = \frac{1}{2}\sin\frac{6\alpha}{7} $

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$ (\sin\frac{3\alpha}{7}\cos\frac{3\alpha}{7})\cos\frac{6\alpha}{7} = (\frac{1}{2}\sin\frac{6\alpha}{7})\cos\frac{6\alpha}{7} = \frac{1}{2}(\sin\frac{6\alpha}{7}\cos\frac{6\alpha}{7}) $

Применим формулу еще раз:

$ \frac{1}{2}(\frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{6\alpha}{7})) = \frac{1}{4}\sin\frac{12\alpha}{7} $

Ответ: $ \frac{1}{4}\sin\frac{12\alpha}{7} $

5)

Преобразуем числитель и знаменатель, выразив их через синусы и косинусы. Пусть $ x = \frac{\alpha}{8} $, тогда $ \frac{\alpha}{4} = 2x $.

Числитель: $ \tg x - \ctg(2x) = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos(2x)}{\sin(2x)} = \frac{\sin x \sin(2x) - \cos x \cos(2x)}{\cos x \sin(2x)} $.

Это выражение равно $ \frac{-(\cos x \cos(2x) - \sin x \sin(2x))}{\cos x \sin(2x)} = \frac{-\cos(x+2x)}{\cos x \sin(2x)} = \frac{-\cos(3x)}{\cos x \sin(2x)} $.

Знаменатель: $ 1 - \tg^2 x = 1 - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\cos(2x)}{\cos^2 x} $.

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$ \frac{\frac{-\cos(3x)}{\cos x \sin(2x)}}{\frac{\cos(2x)}{\cos^2 x}} = \frac{-\cos(3x)\cos^2 x}{\cos x \sin(2x)\cos(2x)} = \frac{-\cos(3x)\cos x}{\sin(2x)\cos(2x)} $.

В знаменателе используем формулу синуса двойного угла: $ \sin(2x)\cos(2x) = \frac{1}{2}\sin(4x) $.

$ \frac{-\cos(3x)\cos x}{\frac{1}{2}\sin(4x)} = \frac{-2\cos(3x)\cos x}{\sin(4x)} $.

Преобразуем произведение косинусов в сумму: $ \cos A \cos B = \frac{1}{2}(\cos(A+B)+\cos(A-B)) $.

$ \frac{-2 \cdot \frac{1}{2}(\cos(3x+x)+\cos(3x-x))}{\sin(4x)} = \frac{-(\cos(4x)+\cos(2x))}{\sin(4x)} $.

Подставим $ x = \frac{\alpha}{8} $, тогда $ 2x = \frac{\alpha}{4} $ и $ 4x = \frac{\alpha}{2} $.

$ \frac{-(\cos(\frac{\alpha}{2}) + \cos(\frac{\alpha}{4}))}{\sin(\frac{\alpha}{2})} $

Ответ: $ -\frac{\cos(\frac{\alpha}{2}) + \cos(\frac{\alpha}{4})}{\sin(\frac{\alpha}{2})} $

6)

Рассмотрим дробь $ \frac{1-\tg^2 3\alpha}{1+\tg^2 3\alpha} $. Используем универсальную тригонометрическую подстановку, а именно формулу $ \cos(2x) = \frac{1-\tg^2 x}{1+\tg^2 x} $.

В нашем случае $ x = 3\alpha $, поэтому:

$ \frac{1-\tg^2 3\alpha}{1+\tg^2 3\alpha} = \cos(2 \cdot 3\alpha) = \cos(6\alpha) $

Подставим это в исходное выражение:

$ \tg(6\alpha) \cdot \cos(6\alpha) = \frac{\sin(6\alpha)}{\cos(6\alpha)} \cdot \cos(6\alpha) $

Сократив $ \cos(6\alpha) $, получим $ \sin(6\alpha) $.

Ответ: $ \sin(6\alpha) $

7)

Рассмотрим второе слагаемое $ \frac{4\tg^2\frac{9\alpha}{2}}{(1+\tg^2\frac{9\alpha}{2})^2} $. Пусть $ x = \frac{9\alpha}{2} $.

Выражение принимает вид $ \frac{4\tg^2 x}{(1+\tg^2 x)^2} $. Мы знаем, что $ \sin(2x) = \frac{2\tg x}{1+\tg^2 x} $.

Возведем эту формулу в квадрат:

$ \sin^2(2x) = (\frac{2\tg x}{1+\tg^2 x})^2 = \frac{4\tg^2 x}{(1+\tg^2 x)^2} $

Таким образом, второе слагаемое равно $ \sin^2(2x) $. Подставим обратно $ x = \frac{9\alpha}{2} $:

$ \sin^2(2 \cdot \frac{9\alpha}{2}) = \sin^2(9\alpha) $.

Исходное выражение становится:

$ \cos^2(9\alpha) + \sin^2(9\alpha) $

Согласно основному тригонометрическому тождеству $ \cos^2 y + \sin^2 y = 1 $.

Ответ: $ 1 $

206. Представьте в виде произведения выражение:

1) $1 + \cos\frac{\alpha}{2};$

2) $1 - \cos10\alpha;$

3) $1 - \sin\frac{2\pi}{9};$

4) $1 + \sin\alpha.$

1) Для преобразования выражения $1 + \cos\frac{\alpha}{2}$ воспользуемся формулой понижения степени для косинуса, которая является следствием формулы косинуса двойного угла: $1 + \cos(2x) = 2\cos^2(x)$.

В нашем случае аргумент у косинуса равен $\frac{\alpha}{2}$. Примем $2x = \frac{\alpha}{2}$, тогда $x = \frac{\alpha}{4}$.

Подставим это в формулу:

$1 + \cos\frac{\alpha}{2} = 2\cos^2\frac{\alpha}{4}$.

Ответ: $2\cos^2\frac{\alpha}{4}$.

2) Для преобразования выражения $1 - \cos(10\alpha)$ воспользуемся другой формулой понижения степени, также следующей из формулы косинуса двойного угла: $1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x)$.

В данном выражении аргумент у косинуса равен $10\alpha$. Примем $2x = 10\alpha$, тогда $x = 5\alpha$.

Подставим в формулу:

$1 - \cos(10\alpha) = 2\sin^2(5\alpha)$.

Ответ: $2\sin^2(5\alpha)$.

3) Для преобразования выражения $1 - \sin\frac{2\pi}{9}$ сначала воспользуемся формулой приведения, чтобы заменить синус на косинус: $\sin(x) = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$.

Применим ее к нашему выражению:

$\sin\frac{2\pi}{9} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{9}) = \cos(\frac{9\pi - 4\pi}{18}) = \cos\frac{5\pi}{18}$.

Теперь исходное выражение имеет вид $1 - \cos\frac{5\pi}{18}$.

Далее, как и в предыдущем пункте, используем формулу $1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x)$.

Примем $2x = \frac{5\pi}{18}$, тогда $x = \frac{5\pi}{36}$.

Получаем:

$1 - \sin\frac{2\pi}{9} = 1 - \cos\frac{5\pi}{18} = 2\sin^2\frac{5\pi}{36}$.

Ответ: $2\sin^2\frac{5\pi}{36}$.

4) Для преобразования выражения $1 + \sin\alpha$ также используем формулу приведения $\sin(x) = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$.

Заменим $\sin\alpha$ на $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.

Исходное выражение примет вид: $1 + \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.

Теперь воспользуемся формулой $1 + \cos(2x) = 2\cos^2(x)$.

Примем $2x = \frac{\pi}{2} - \alpha$, тогда $x = \frac{1}{2}(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$.

Получаем:

$1 + \sin\alpha = 1 + \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = 2\cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2})$.

Ответ: $2\cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2})$.

207. Понизьте степень выражения:

1) $ \cos^2 4x $;

2) $ \sin^2 3x $;

3) $ \sin^2 \left(\frac{x}{2} - 10^\circ\right) $;

4) $ \cos^2 \left(2\alpha - \frac{\pi}{8}\right) $.

Для понижения степени тригонометрических выражений (то есть для перехода от выражений вида $sin^2\alpha$ и $cos^2\alpha$ к выражениям с тригонометрическими функциями в первой степени) используются формулы понижения степени. Они являются следствиями формул косинуса двойного угла $cos(2\alpha)$.

Основные формулы:

• Для синуса в квадрате: $sin^2\alpha = \frac{1 - cos(2\alpha)}{2}$

• Для косинуса в квадрате: $cos^2\alpha = \frac{1 + cos(2\alpha)}{2}$

Применим эти формулы к каждому из заданных выражений.

1) $cos^2 4x$

Используем формулу понижения степени для косинуса: $cos^2\alpha = \frac{1 + cos(2\alpha)}{2}$.

В данном случае аргумент $\alpha = 4x$. Подставим это значение в формулу:

$cos^2 4x = \frac{1 + cos(2 \cdot 4x)}{2} = \frac{1 + cos(8x)}{2}$.

Таким образом, мы избавились от второй степени, понизив ее до первой.

Ответ: $\frac{1 + cos(8x)}{2}$.

2) $sin^2 3x$

Используем формулу понижения степени для синуса: $sin^2\alpha = \frac{1 - cos(2\alpha)}{2}$.

Здесь аргумент $\alpha = 3x$. Подставим это значение в формулу:

$sin^2 3x = \frac{1 - cos(2 \cdot 3x)}{2} = \frac{1 - cos(6x)}{2}$.

Ответ: $\frac{1 - cos(6x)}{2}$.

3) $sin^2(\frac{x}{2} - 10°)$

Применяем ту же формулу понижения степени для синуса: $sin^2\alpha = \frac{1 - cos(2\alpha)}{2}$.

В этом выражении аргумент $\alpha = \frac{x}{2} - 10°$. Подставляем его в формулу:

$sin^2(\frac{x}{2} - 10°) = \frac{1 - cos(2 \cdot (\frac{x}{2} - 10°))}{2}$.

Теперь необходимо упростить аргумент косинуса, умножив его на 2:

$2 \cdot (\frac{x}{2} - 10°) = 2 \cdot \frac{x}{2} - 2 \cdot 10° = x - 20°$.

В результате получаем:

$sin^2(\frac{x}{2} - 10°) = \frac{1 - cos(x - 20°)}{2}$.

Ответ: $\frac{1 - cos(x - 20°)}{2}$.

4) $cos^2(2\alpha - \frac{\pi}{8})$

Применяем формулу понижения степени для косинуса: $cos^2\beta = \frac{1 + cos(2\beta)}{2}$. (Используем $\beta$ для обозначения аргумента, чтобы не путать с $\alpha$ в самом выражении).

В данном случае аргумент $\beta = 2\alpha - \frac{\pi}{8}$. Подставляем его в формулу:

$cos^2(2\alpha - \frac{\pi}{8}) = \frac{1 + cos(2 \cdot (2\alpha - \frac{\pi}{8}))}{2}$.

Упростим аргумент под знаком косинуса:

$2 \cdot (2\alpha - \frac{\pi}{8}) = 2 \cdot 2\alpha - 2 \cdot \frac{\pi}{8} = 4\alpha - \frac{2\pi}{8} = 4\alpha - \frac{\pi}{4}$.

Следовательно, итоговое выражение:

$cos^2(2\alpha - \frac{\pi}{8}) = \frac{1 + cos(4\alpha - \frac{\pi}{4})}{2}$.

Ответ: $\frac{1 + cos(4\alpha - \frac{\pi}{4})}{2}$.

208. Докажите тождество:

1) $\cos 4\alpha + 2\sin^2 2\alpha = 1;$

2) $\text{ctg } 6\alpha (1 - \cos 12\alpha) = \sin 12\alpha;$

3) $\frac{\sin \alpha + \sin \frac{\alpha}{2}}{1 + \cos \alpha + \cos \frac{\alpha}{2}} = \text{tg } \frac{\alpha}{2}.$

1)

Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть. Используем формулу косинуса двойного угла: $cos(2x) = 1 - 2sin^2(x)$.

Пусть $x = 2\alpha$, тогда $2x = 4\alpha$. Подставив это в формулу, получим: $cos(4\alpha) = 1 - 2sin^2(2\alpha)$.

Теперь подставим это выражение в левую часть исходного тождества:

$cos(4\alpha) + 2sin^2(2\alpha) = (1 - 2sin^2(2\alpha)) + 2sin^2(2\alpha)$

Упростим выражение:

$1 - 2sin^2(2\alpha) + 2sin^2(2\alpha) = 1$

Левая часть равна правой части ($1=1$), следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Преобразуем левую часть тождества. Сначала запишем котангенс через синус и косинус: $ctg(6\alpha) = \frac{cos(6\alpha)}{sin(6\alpha)}$.

Далее используем формулу понижения степени, которая является следствием формулы косинуса двойного угла: $1 - cos(2x) = 2sin^2(x)$.

Пусть $x = 6\alpha$, тогда $2x = 12\alpha$. Получаем: $1 - cos(12\alpha) = 2sin^2(6\alpha)$.

Подставим полученные выражения в левую часть тождества:

$ctg(6\alpha)(1 - cos(12\alpha)) = \frac{cos(6\alpha)}{sin(6\alpha)} \cdot 2sin^2(6\alpha)$

Сократим $sin(6\alpha)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{cos(6\alpha)}{sin(6\alpha)} \cdot 2sin^2(6\alpha) = 2cos(6\alpha)sin(6\alpha)$

Теперь воспользуемся формулой синуса двойного угла: $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$.

Пусть $x = 6\alpha$, тогда $2x = 12\alpha$. Получаем:

$2sin(6\alpha)cos(6\alpha) = sin(2 \cdot 6\alpha) = sin(12\alpha)$

Левая часть равна правой части ($sin(12\alpha) = sin(12\alpha)$), следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3)

Для доказательства тождества преобразуем левую часть, используя формулы двойного угла для $\alpha = 2 \cdot \frac{\alpha}{2}$.

Для числителя используем формулу синуса двойного угла $sin(\alpha) = 2sin(\frac{\alpha}{2})cos(\frac{\alpha}{2})$:

$sin(\alpha) + sin(\frac{\alpha}{2}) = 2sin(\frac{\alpha}{2})cos(\frac{\alpha}{2}) + sin(\frac{\alpha}{2})$

Вынесем общий множитель $sin(\frac{\alpha}{2})$ за скобки:

$sin(\frac{\alpha}{2})(2cos(\frac{\alpha}{2}) + 1)$

Для знаменателя используем формулу косинуса двойного угла $cos(\alpha) = 2cos^2(\frac{\alpha}{2}) - 1$ и $1 + cos(\alpha) = 2cos^2(\frac{\alpha}{2})$:

$1 + cos(\alpha) + cos(\frac{\alpha}{2}) = (1 + (2cos^2(\frac{\alpha}{2}) - 1)) + cos(\frac{\alpha}{2}) = 2cos^2(\frac{\alpha}{2}) + cos(\frac{\alpha}{2})$

Вынесем общий множитель $cos(\frac{\alpha}{2})$ за скобки:

$cos(\frac{\alpha}{2})(2cos(\frac{\alpha}{2}) + 1)$

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$\frac{sin(\frac{\alpha}{2})(2cos(\frac{\alpha}{2}) + 1)}{cos(\frac{\alpha}{2})(2cos(\frac{\alpha}{2}) + 1)}$

Сократим общий множитель $(2cos(\frac{\alpha}{2}) + 1)$:

$\frac{sin(\frac{\alpha}{2})}{cos(\frac{\alpha}{2})} = tg(\frac{\alpha}{2})$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.