Страница 43 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

251. Решите уравнение:

1) $\sin 8x + \cos 8x = 0;$

2) $\sqrt{3} \sin 4x - \cos 4x = 0;$

3) $6 \cos \frac{x}{4} - 5 \sin \frac{x}{4} = 0;$

4) $2 \sin^2 \frac{x}{2} + 3 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2} = 0.$

1) $ \sin(8x) + \cos(8x) = 0 $

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Чтобы его решить, разделим обе части уравнения на $ \cos(8x) $. Это возможно, так как если бы $ \cos(8x) = 0 $, то из уравнения следовало бы, что $ \sin(8x) = 0 $. Однако синус и косинус одного и того же угла не могут одновременно равняться нулю, поскольку $ \sin^2(8x) + \cos^2(8x) = 1 $.

$ \frac{\sin(8x)}{\cos(8x)} + \frac{\cos(8x)}{\cos(8x)} = 0 $

$ \tan(8x) + 1 = 0 $

$ \tan(8x) = -1 $

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение:

$ 8x = \arctan(-1) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $

$ 8x = -\frac{\pi}{4} + \pi n $

Выражаем $ x $:

$ x = \frac{1}{8} \left( -\frac{\pi}{4} + \pi n \right) $

$ x = -\frac{\pi}{32} + \frac{\pi n}{8} $

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{32} + \frac{\pi n}{8} $, $ n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \sqrt{3}\sin(4x) - \cos(4x) = 0 $

Это также однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Разделим обе части на $ \cos(4x) $, так как $ \cos(4x) \neq 0 $ по той же причине, что и в предыдущем примере.

$ \sqrt{3}\frac{\sin(4x)}{\cos(4x)} - \frac{\cos(4x)}{\cos(4x)} = 0 $

$ \sqrt{3}\tan(4x) - 1 = 0 $

$ \sqrt{3}\tan(4x) = 1 $

$ \tan(4x) = \frac{1}{\sqrt{3}} $

Решаем уравнение:

$ 4x = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $

$ 4x = \frac{\pi}{6} + \pi n $

Выражаем $ x $:

$ x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4} $, $ n \in \mathbb{Z} $.

3) $ 6\cos\frac{x}{4} - 5\sin\frac{x}{4} = 0 $

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Разделим обе части на $ \cos(\frac{x}{4}) $ ($ \cos(\frac{x}{4}) \neq 0 $).

$ 6\frac{\cos(x/4)}{\cos(x/4)} - 5\frac{\sin(x/4)}{\cos(x/4)} = 0 $

$ 6 - 5\tan(\frac{x}{4}) = 0 $

$ 5\tan(\frac{x}{4}) = 6 $

$ \tan(\frac{x}{4}) = \frac{6}{5} $

Решаем уравнение:

$ \frac{x}{4} = \arctan\left(\frac{6}{5}\right) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $

Выражаем $ x $:

$ x = 4\arctan\left(\frac{6}{5}\right) + 4\pi n $

Ответ: $ x = 4\arctan(\frac{6}{5}) + 4\pi n $, $ n \in \mathbb{Z} $.

4) $ 2\sin^2\frac{x}{2} + 3\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} + \cos^2\frac{x}{2} = 0 $

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Разделим обе части уравнения на $ \cos^2(\frac{x}{2}) $. Это действие правомерно, так как если $ \cos(\frac{x}{2}) = 0 $, то из уравнения следует $ 2\sin^2(\frac{x}{2}) = 0 $, то есть $ \sin(\frac{x}{2}) = 0 $, что невозможно.

$ 2\frac{\sin^2(x/2)}{\cos^2(x/2)} + 3\frac{\sin(x/2)\cos(x/2)}{\cos^2(x/2)} + \frac{\cos^2(x/2)}{\cos^2(x/2)} = 0 $

$ 2\tan^2(\frac{x}{2}) + 3\tan(\frac{x}{2}) + 1 = 0 $

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \tan(\frac{x}{2}) $. Уравнение примет вид:

$ 2t^2 + 3t + 1 = 0 $

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 $.

Корни уравнения:

$ t_1 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1 $

$ t_2 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} $

Теперь вернемся к исходной переменной. Получаем два случая:

1. $ \tan(\frac{x}{2}) = -1 $

$ \frac{x}{2} = \arctan(-1) + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $

$ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n $

2. $ \tan(\frac{x}{2}) = -\frac{1}{2} $

$ \frac{x}{2} = \arctan(-\frac{1}{2}) + \pi k = -\arctan(\frac{1}{2}) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

$ x = -2\arctan(\frac{1}{2}) + 2\pi k $

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n $; $ x = -2\arctan(\frac{1}{2}) + 2\pi k $, где $ n, k \in \mathbb{Z} $.

252. Решите уравнение:

1) $4 \sin^2 \frac{x}{4} - 3 \sin \frac{x}{2} + 2 \cos^2 \frac{x}{4} = 0;$

2) $6 \cos^2 4x + 2 \sin 8x = 5;$

3) $4 \cos^2 5x - 3 \sin 10x = 4;$

4) $\frac{2 \cos x + 3 \sin x}{\sin x - 4 \cos x} = \frac{1}{2};$

5) $1 - \cos 6x - \sin 6x = 0;$

6) $3 \sin 4x + 2 \cos 4x = 3.$

1) $4\sin^2\frac{x}{4} - 3\sin\frac{x}{2} + 2\cos^2\frac{x}{4} = 0$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. В нашем случае $\alpha = \frac{x}{4}$, тогда $\sin\frac{x}{2} = 2\sin\frac{x}{4}\cos\frac{x}{4}$.

$4\sin^2\frac{x}{4} - 3\left(2\sin\frac{x}{4}\cos\frac{x}{4}\right) + 2\cos^2\frac{x}{4} = 0$

$4\sin^2\frac{x}{4} - 6\sin\frac{x}{4}\cos\frac{x}{4} + 2\cos^2\frac{x}{4} = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение. Проверим, является ли $\cos\frac{x}{4} = 0$ решением. Если $\cos\frac{x}{4} = 0$, то $\sin^2\frac{x}{4} = 1$, и уравнение принимает вид $4(1) - 0 + 0 = 4 = 0$, что неверно. Следовательно, $\cos\frac{x}{4} \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2\frac{x}{4}$.

$4\frac{\sin^2(x/4)}{\cos^2(x/4)} - 6\frac{\sin(x/4)\cos(x/4)}{\cos^2(x/4)} + 2\frac{\cos^2(x/4)}{\cos^2(x/4)} = 0$

$4\tan^2\frac{x}{4} - 6\tan\frac{x}{4} + 2 = 0$

Разделим на 2: $2\tan^2\frac{x}{4} - 3\tan\frac{x}{4} + 1 = 0$.

Сделаем замену $t = \tan\frac{x}{4}$. Получим квадратное уравнение: $2t^2 - 3t + 1 = 0$.

Корни этого уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = \frac{1}{2}$.

1. $\tan\frac{x}{4} = 1 \implies \frac{x}{4} = \frac{\pi}{4} + \pi n \implies x = \pi + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2. $\tan\frac{x}{4} = \frac{1}{2} \implies \frac{x}{4} = \arctan\frac{1}{2} + \pi k \implies x = 4\arctan\frac{1}{2} + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = 4\arctan(\frac{1}{2}) + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $6\cos^2 4x + 2\sin 8x = 5$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 8x = 2\sin 4x \cos 4x$ и основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2 4x + \cos^2 4x$.

$6\cos^2 4x + 2(2\sin 4x \cos 4x) = 5(\sin^2 4x + \cos^2 4x)$

$6\cos^2 4x + 4\sin 4x \cos 4x = 5\sin^2 4x + 5\cos^2 4x$

Перенесем все члены в одну сторону:

$5\sin^2 4x - 4\sin 4x \cos 4x - \cos^2 4x = 0$

Это однородное уравнение. Если $\cos 4x = 0$, то $5\sin^2 4x = 0$, что означает $\sin 4x = 0$. Это невозможно, так как $\sin^2 4x + \cos^2 4x = 1$. Значит, $\cos 4x \neq 0$. Разделим уравнение на $\cos^2 4x$.

$5\tan^2 4x - 4\tan 4x - 1 = 0$

Пусть $t = \tan 4x$. Получаем $5t^2 - 4t - 1 = 0$.

Корни уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = -\frac{1}{5}$.

1. $\tan 4x = 1 \implies 4x = \frac{\pi}{4} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.

2. $\tan 4x = -\frac{1}{5} \implies 4x = \arctan(-\frac{1}{5}) + \pi k \implies x = -\frac{1}{4}\arctan\frac{1}{5} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{1}{4}\arctan(\frac{1}{5}) + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.

3) $4\cos^2 5x - 3\sin 10x = 4$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin 10x = 2\sin 5x \cos 5x$ и тождество $1 = \sin^2 5x + \cos^2 5x$.

$4\cos^2 5x - 3(2\sin 5x \cos 5x) = 4(\sin^2 5x + \cos^2 5x)$

$4\cos^2 5x - 6\sin 5x \cos 5x = 4\sin^2 5x + 4\cos^2 5x$

$-6\sin 5x \cos 5x = 4\sin^2 5x$

$4\sin^2 5x + 6\sin 5x \cos 5x = 0$

Вынесем за скобки $2\sin 5x$:

$2\sin 5x (2\sin 5x + 3\cos 5x) = 0$

Получаем два случая:

1. $\sin 5x = 0 \implies 5x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$.

2. $2\sin 5x + 3\cos 5x = 0 \implies 2\tan 5x = -3 \implies \tan 5x = -\frac{3}{2}$.

$5x = \arctan(-\frac{3}{2}) + \pi k \implies x = -\frac{1}{5}\arctan\frac{3}{2} + \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{1}{5}\arctan(\frac{3}{2}) + \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$.

4) $\frac{2\cos x + 3\sin x}{\sin x - 4\cos x} = \frac{1}{2}$

Область допустимых значений: $\sin x - 4\cos x \neq 0$, то есть $\tan x \neq 4$.

Воспользуемся свойством пропорции:

$2(2\cos x + 3\sin x) = 1(\sin x - 4\cos x)$

$4\cos x + 6\sin x = \sin x - 4\cos x$

$5\sin x = -8\cos x$

Разделим обе части на $\cos x$ (он не может быть равен нулю, так как это повлекло бы $\sin x = 0$, что невозможно):

$5\tan x = -8 \implies \tan x = -\frac{8}{5}$.

Это значение не противоречит ОДЗ.

$x = \arctan(-\frac{8}{5}) + \pi n = -\arctan\frac{8}{5} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\arctan(\frac{8}{5}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

5) $1 - \cos 6x - \sin 6x = 0$

Перепишем уравнение в виде $1 - \cos 6x = \sin 6x$.

Применим формулу понижения степени $1 - \cos(2\alpha) = 2\sin^2\alpha$ и синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$ для $\alpha=3x$.

$2\sin^2 3x = 2\sin 3x \cos 3x$

$2\sin^2 3x - 2\sin 3x \cos 3x = 0$

Вынесем за скобки $2\sin 3x$:

$2\sin 3x (\sin 3x - \cos 3x) = 0$

Получаем два случая:

1. $\sin 3x = 0 \implies 3x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

2. $\sin 3x - \cos 3x = 0 \implies \sin 3x = \cos 3x \implies \tan 3x = 1$.

$3x = \frac{\pi}{4} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

6) $3\sin 4x + 2\cos 4x = 3$

Используем универсальную тригонометрическую подстановку. Пусть $t = \tan(2x)$. Тогда $\sin 4x = \frac{2t}{1+t^2}$ и $\cos 4x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$.

Эта подстановка не учитывает случай, когда $2x = \pi + 2\pi k$, то есть $4x = 2\pi + 4\pi k$, а точнее, когда $\cos(2x)$ не определен, то есть $4x = \pi + 2\pi k$. Проверим этот случай: если $4x = \pi + 2\pi m$, то $\cos 4x = -1$ и $\sin 4x = 0$. Уравнение примет вид $3(0) + 2(-1) = 3$, то есть $-2 = 3$, что неверно. Значит, этот случай не дает решений.

Подставляем выражения для синуса и косинуса в уравнение:

$3\left(\frac{2t}{1+t^2}\right) + 2\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right) = 3$

$6t + 2(1-t^2) = 3(1+t^2)$

$6t + 2 - 2t^2 = 3 + 3t^2$

$5t^2 - 6t + 1 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = \frac{1}{5}$.

1. $\tan(2x) = 1 \implies 2x = \frac{\pi}{4} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

2. $\tan(2x) = \frac{1}{5} \implies 2x = \arctan\frac{1}{5} + \pi k \implies x = \frac{1}{2}\arctan\frac{1}{5} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{1}{2}\arctan(\frac{1}{5}) + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

253. Решите уравнение:

1) $4\sin^2 2x - 1 = \cos 2x \cos 6x;$

2) $\sin 2x - 5(\sin x + \cos x) + 5 = 0;$

3) $\sqrt{5 - 4\operatorname{tg} x} = 2 - \operatorname{tg} x;$

4) $\sqrt{\cos 2x} = -\cos x.$

1) $4\sin^2{2x} - 1 = \cos{2x}\cos{6x}$
Преобразуем левую и правую части уравнения, используя тригонометрические формулы.
Для левой части используем формулу основного тригонометрического тождества $ \sin^2{\alpha} = 1 - \cos^2{\alpha} $:
$4(1-\cos^2{2x}) - 1 = 4 - 4\cos^2{2x} - 1 = 3 - 4\cos^2{2x}$.
Для правой части используем формулу косинуса тройного угла $ \cos{3\alpha} = 4\cos^3{\alpha} - 3\cos{\alpha} $. Применим ее для $ \cos{6x} $, где $ \alpha = 2x $:
$ \cos{6x} = 4\cos^3{2x} - 3\cos{2x} $.
Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:
$3 - 4\cos^2{2x} = \cos{2x}(4\cos^3{2x} - 3\cos{2x})$
$3 - 4\cos^2{2x} = 4\cos^4{2x} - 3\cos^2{2x}$
Перенесем все члены в правую часть:
$4\cos^4{2x} + \cos^2{2x} - 3 = 0$
Сделаем замену $ t = \cos^2{2x} $. Поскольку $ -1 \le \cos{2x} \le 1 $, то $ 0 \le \cos^2{2x} \le 1 $, следовательно $ 0 \le t \le 1 $.
Получаем квадратное уравнение: $ 4t^2 + t - 3 = 0 $.
Найдем его корни через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.
$t_1 = \frac{-1 - 7}{2 \cdot 4} = \frac{-8}{8} = -1$. Этот корень не удовлетворяет условию $ t \ge 0 $.
$t_2 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$. Этот корень удовлетворяет условию $ 0 \le t \le 1 $.
Вернемся к замене:
$\cos^2{2x} = \frac{3}{4}$
Это уравнение распадается на два:
$ \cos{2x} = \frac{\sqrt{3}}{2} $ или $ \cos{2x} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Решения первого уравнения: $ 2x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in Z $.
Решения второго уравнения: $ 2x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in Z $.
Эти две серии решений можно объединить в одну формулу: $ 2x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi m, m \in Z $.
Разделим на 2, чтобы найти $ x $:
$x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{\pi m}{2}, m \in Z$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z$.

2) $\sin{2x} - 5(\sin{x} + \cos{x}) + 5 = 0$
Введем замену $ t = \sin{x} + \cos{x} $.
Чтобы выразить $ \sin{2x} $ через $ t $, возведем замену в квадрат:
$t^2 = (\sin{x} + \cos{x})^2 = \sin^2{x} + 2\sin{x}\cos{x} + \cos^2{x}$
Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1 $ и формулу синуса двойного угла $ \sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x} $, получаем:
$t^2 = 1 + \sin{2x}$, откуда $ \sin{2x} = t^2 - 1 $.
Подставим выражения для $ \sin{2x} $ и $ \sin{x} + \cos{x} $ в исходное уравнение:
$(t^2 - 1) - 5t + 5 = 0$
$t^2 - 5t + 4 = 0$
Это квадратное уравнение. По теореме Виета, его корни $ t_1 = 1 $ и $ t_2 = 4 $.
Теперь найдем область значений для $ t $. Преобразуем выражение $ t = \sin{x} + \cos{x} $:
$t = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin{x} + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos{x}) = \sqrt{2}(\cos{\frac{\pi}{4}}\sin{x} + \sin{\frac{\pi}{4}}\cos{x}) = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$.
Поскольку $ -1 \le \sin(x + \frac{\pi}{4}) \le 1 $, то $ -\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2} $.
Сравним найденные корни $ t $ с этой областью значений:
$t_1 = 1$: $ -\sqrt{2} \le 1 \le \sqrt{2} $. Корень подходит.
$t_2 = 4$: $ 4 > \sqrt{2} $. Корень не подходит.
Осталось решить уравнение для $ t_1 = 1 $:
$\sin{x} + \cos{x} = 1$
$ \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1 $
$ \sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} $
Это уравнение имеет две серии решений:
1) $ x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x = 2\pi n, n \in Z $.
2) $ x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \frac{2\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in Z $.
Ответ: $x = 2\pi n, x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \text{где } n, k \in Z$.

3) $\sqrt{5 - 4\operatorname{tg}x} = 2 - \operatorname{tg}x$
Это иррациональное уравнение. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется двумя условиями:
1) Выражение под корнем неотрицательно: $ 5 - 4\operatorname{tg}x \ge 0 \implies 4\operatorname{tg}x \le 5 \implies \operatorname{tg}x \le \frac{5}{4} $.
2) Правая часть уравнения неотрицательна, так как она равна значению арифметического квадратного корня: $ 2 - \operatorname{tg}x \ge 0 \implies \operatorname{tg}x \le 2 $.
Объединяя эти два условия, получаем более строгое: $ \operatorname{tg}x \le \frac{5}{4} $. Также необходимо учесть, что $ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z $.
При выполнении этого условия можно возвести обе части уравнения в квадрат:
$ 5 - 4\operatorname{tg}x = (2 - \operatorname{tg}x)^2 $
$ 5 - 4\operatorname{tg}x = 4 - 4\operatorname{tg}x + (\operatorname{tg}x)^2 $
$ 5 = 4 + \operatorname{tg}^2x $
$ \operatorname{tg}^2x = 1 $
Отсюда получаем два возможных значения для тангенса:
$ \operatorname{tg}x = 1 $ или $ \operatorname{tg}x = -1 $.
Проверим, удовлетворяют ли эти значения ОДЗ ($ \operatorname{tg}x \le \frac{5}{4} $):
1) $ \operatorname{tg}x = 1 $. Условие $ 1 \le \frac{5}{4} $ (т.е. $ 1 \le 1.25 $) выполняется. Следовательно, это решение подходит. Из $ \operatorname{tg}x = 1 $ находим $ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z $.
2) $ \operatorname{tg}x = -1 $. Условие $ -1 \le \frac{5}{4} $ выполняется. Следовательно, это решение также подходит. Из $ \operatorname{tg}x = -1 $ находим $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in Z $.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \text{где } n, k \in Z$.

4) $\sqrt{\cos{2x}} = -\cos{x}$
Это иррациональное уравнение. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями:
1) $ \cos{2x} \ge 0 $.
2) $ -\cos{x} \ge 0 \implies \cos{x} \le 0 $.
Рассмотрим первое условие, используя формулу двойного угла: $ \cos{2x} = 2\cos^2{x} - 1 $.
$ 2\cos^2{x} - 1 \ge 0 \implies \cos^2{x} \ge \frac{1}{2} $.
Это означает, что $ \cos{x} \ge \frac{1}{\sqrt{2}} $ или $ \cos{x} \le -\frac{1}{\sqrt{2}} $.
Совмещая это с условием $ \cos{x} \le 0 $, получаем итоговое ограничение для ОДЗ: $ \cos{x} \le -\frac{1}{\sqrt{2}} $.
Теперь, на этой области, возведем обе части уравнения в квадрат:
$ (\sqrt{\cos{2x}})^2 = (-\cos{x})^2 $
$ \cos{2x} = \cos^2{x} $
Снова используем формулу двойного угла:
$ 2\cos^2{x} - 1 = \cos^2{x} $
$ \cos^2{x} = 1 $
Отсюда $ \cos{x} = 1 $ или $ \cos{x} = -1 $.
Проверим найденные решения на соответствие ОДЗ ($ \cos{x} \le -\frac{1}{\sqrt{2}} $):
1) $ \cos{x} = 1 $. Это значение не удовлетворяет условию $ 1 \le -\frac{1}{\sqrt{2}} $. Следовательно, это посторонний корень.
2) $ \cos{x} = -1 $. Это значение удовлетворяет условию $ -1 \le -\frac{1}{\sqrt{2}} $ (так как $ 1 > \frac{1}{\sqrt{2}} $). Следовательно, это решение подходит.
Решим уравнение $ \cos{x} = -1 $:
$ x = \pi + 2\pi n, n \in Z $.
Ответ: $x = \pi + 2\pi n, n \in Z$.

254. Найдите все корни уравнения $\sqrt{3} \cos^2 x + \sin x \cos x = 0$, удовлетворяющие неравенству $-1 < x < 2$.

Для решения задачи сначала найдем все корни уравнения $\sqrt{3} \cos^2 x + \sin x \cos x = 0$, а затем отберем те из них, которые удовлетворяют неравенству $-1 < x < 2$.

Решим уравнение. Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x (\sqrt{3} \cos x + \sin x) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем совокупность двух уравнений:

1) $\cos x = 0$

2) $\sqrt{3} \cos x + \sin x = 0$

Решим первое уравнение: $\cos x = 0$.

Корни этого уравнения имеют вид: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Решим второе уравнение: $\sqrt{3} \cos x + \sin x = 0$.

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Заметим, что если $\cos x = 0$, то из уравнения следует, что и $\sin x = 0$. Но $\cos x$ и $\sin x$ не могут быть равны нулю одновременно, так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, в этом уравнении $\cos x \neq 0$, и мы можем разделить обе его части на $\cos x$:

$\frac{\sqrt{3} \cos x}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x} = 0$

$\sqrt{3} + \tan x = 0$

$\tan x = -\sqrt{3}$

Корни этого уравнения имеют вид: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, все решения исходного уравнения задаются двумя сериями корней: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ и $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

Теперь произведем отбор корней, принадлежащих интервалу $(-1, 2)$. Для оценки будем использовать приближенное значение $\pi \approx 3,14$.

Рассмотрим первую серию корней: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Подставим различные целые значения $n$ и проверим выполнение неравенства $-1 < x < 2$.

• При $n = 0$, $x = \frac{\pi}{2} \approx \frac{3,14}{2} = 1,57$. Неравенство $-1 < 1,57 < 2$ выполняется. Значит, $x = \frac{\pi}{2}$ — подходящий корень.
• При $n = 1$, $x = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2} \approx 4,71$. Это значение больше 2, поэтому корень не подходит.
• При $n = -1$, $x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2} \approx -1,57$. Это значение меньше -1, поэтому корень не подходит.

Из первой серии корней подходит только $x = \frac{\pi}{2}$.

Рассмотрим вторую серию корней: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$.

Подставим различные целые значения $k$ и проверим выполнение неравенства $-1 < x < 2$.

• При $k = 0$, $x = -\frac{\pi}{3} \approx -\frac{3,14}{3} \approx -1,047$. Это значение меньше -1, поэтому корень не подходит.
• При $k = 1$, $x = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3} \approx \frac{2 \cdot 3,14}{3} \approx 2,093$. Это значение больше 2, поэтому корень не подходит.

При других целых значениях $n$ и $k$ корни будут еще дальше от заданного интервала.

Следовательно, единственный корень уравнения, удовлетворяющий заданному неравенству, это $x = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$

255. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения $\sin \frac{x}{3} + \cos \frac{x}{3} = \frac{1}{\sin \frac{x}{3}}$.

Исходное уравнение: $$ \sin\frac{x}{3} + \cos\frac{x}{3} = \frac{1}{\sin\frac{x}{3}} $$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ)
Знаменатель дроби не может быть равен нулю, следовательно: $$ \sin\frac{x}{3} \neq 0 $$ Это означает, что: $$ \frac{x}{3} \neq \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $$ $$ x \neq 3\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $$

2. Преобразуем уравнение
Умножим обе части уравнения на $ \sin\frac{x}{3} $, так как из ОДЗ мы знаем, что он не равен нулю: $$ \sin\frac{x}{3} \left( \sin\frac{x}{3} + \cos\frac{x}{3} \right) = 1 $$ Раскроем скобки: $$ \sin^2\frac{x}{3} + \sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3} = 1 $$ Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $, чтобы заменить 1 в правой части: $$ \sin^2\frac{x}{3} + \sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3} = \sin^2\frac{x}{3} + \cos^2\frac{x}{3} $$ Сократим $ \sin^2\frac{x}{3} $ в обеих частях уравнения: $$ \sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3} = \cos^2\frac{x}{3} $$ Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $ \cos\frac{x}{3} $ за скобки: $$ \cos^2\frac{x}{3} - \sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3} = 0 $$ $$ \cos\frac{x}{3} \left( \cos\frac{x}{3} - \sin\frac{x}{3} \right) = 0 $$

3. Решим полученное уравнение
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $ \cos\frac{x}{3} = 0 $
Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является: $$ \frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $$ Умножив на 3, получаем первую серию корней: $$ x = \frac{3\pi}{2} + 3\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $$ (Эти корни удовлетворяют ОДЗ, так как если $ \cos\frac{x}{3}=0 $, то $ \sin\frac{x}{3} = \pm 1 \neq 0 $).

Случай 2: $ \cos\frac{x}{3} - \sin\frac{x}{3} = 0 $
$$ \cos\frac{x}{3} = \sin\frac{x}{3} $$ Разделим обе части на $ \cos\frac{x}{3} $ (мы можем это сделать, так как если $ \cos\frac{x}{3}=0 $, то и $ \sin\frac{x}{3}=0 $, что невозможно одновременно): $$ \tan\frac{x}{3} = 1 $$ Решением этого уравнения является: $$ \frac{x}{3} = \frac{\pi}{4} + \pi m, \text{ где } m \in \mathbb{Z} $$ Умножив на 3, получаем вторую серию корней: $$ x = \frac{3\pi}{4} + 3\pi m, \text{ где } m \in \mathbb{Z} $$ (Эти корни также удовлетворяют ОДЗ).

4. Найдем наибольший отрицательный корень
Теперь нам нужно найти наибольший отрицательный корень среди всех решений.

Для первой серии $ x = \frac{3\pi}{2} + 3\pi k $:
Найдем целые $ k $, для которых $ x < 0 $: $$ \frac{3\pi}{2} + 3\pi k < 0 \implies 1 + 2k < 0 \implies 2k < -1 \implies k < -0.5 $$ Наибольшее целое $ k $, удовлетворяющее этому условию, — это $ k = -1 $. Подставим $ k = -1 $ в формулу для корней: $$ x = \frac{3\pi}{2} + 3\pi(-1) = \frac{3\pi}{2} - 3\pi = -\frac{3\pi}{2} $$

Для второй серии $ x = \frac{3\pi}{4} + 3\pi m $:
Найдем целые $ m $, для которых $ x < 0 $: $$ \frac{3\pi}{4} + 3\pi m < 0 \implies 1 + 4m < 0 \implies 4m < -1 \implies m < -0.25 $$ Наибольшее целое $ m $, удовлетворяющее этому условию, — это $ m = -1 $. Подставим $ m = -1 $ в формулу для корней: $$ x = \frac{3\pi}{4} + 3\pi(-1) = \frac{3\pi}{4} - 3\pi = \frac{3\pi - 12\pi}{4} = -\frac{9\pi}{4} $$

5. Сравнение корней
Мы получили два отрицательных корня: $ -\frac{3\pi}{2} $ и $ -\frac{9\pi}{4} $. Чтобы найти наибольший из них, сравним их. $$ -\frac{3\pi}{2} = -\frac{6\pi}{4} $$ Так как $ -6 > -9 $, то $ -\frac{6\pi}{4} > -\frac{9\pi}{4} $. Следовательно, наибольшим отрицательным корнем уравнения является $ -\frac{3\pi}{2} $.

Ответ: $ -\frac{3\pi}{2} $

256. При каких значениях $a$ имеет корни уравнение $\sin^2 x - (2a + 1)\sin x + 4a - 2 = 0?$

Данное уравнение является квадратным относительно $\sin x$. Сделаем замену $t = \sin x$. Поскольку область значений функции синус от $-1$ до $1$ включительно, то для существования корней исходного уравнения необходимо, чтобы хотя бы один корень полученного квадратного уравнения принадлежал отрезку $[-1; 1]$.

После замены получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 - (2a + 1)t + 4a - 2 = 0$

Найдем дискриминант $D$ этого уравнения:

$D = (-(2a + 1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4a - 2) = (2a + 1)^2 - 4(4a - 2) = 4a^2 + 4a + 1 - 16a + 8 = 4a^2 - 12a + 9 = (2a - 3)^2$

Поскольку $D = (2a - 3)^2 \ge 0$ при любых действительных значениях $a$, квадратное уравнение всегда имеет действительные корни. Найдем эти корни:

$t_{1,2} = \frac{2a + 1 \pm \sqrt{(2a - 3)^2}}{2} = \frac{2a + 1 \pm (2a - 3)}{2}$

Вычислим каждый корень отдельно:

$t_1 = \frac{2a + 1 + (2a - 3)}{2} = \frac{4a - 2}{2} = 2a - 1$

$t_2 = \frac{2a + 1 - (2a - 3)}{2} = \frac{2a + 1 - 2a + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Теперь вернемся к замене $t = \sin x$. Исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$\sin x = 2a - 1$

$\sin x = 2$

Уравнение $\sin x = 2$ не имеет решений, так как $2 \notin [-1; 1]$.

Следовательно, исходное уравнение будет иметь корни только в том случае, если имеет корни уравнение $\sin x = 2a - 1$. Это возможно, когда значение $2a - 1$ находится в пределах области значений функции синус, то есть:

$-1 \le 2a - 1 \le 1$

Решим это двойное неравенство, прибавив $1$ ко всем частям:

$-1 + 1 \le 2a \le 1 + 1$

$0 \le 2a \le 2$

Разделим все части на $2$:

$0 \le a \le 1$

Таким образом, исходное уравнение имеет корни при значениях $a$, принадлежащих отрезку $[0; 1]$.

Ответ: $a \in [0; 1]$