Страница 44 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

257. Решите уравнение:

1) $ \cos 3x + \cos 5x = 0 $;

2) $ \sin 4x + \sin 6x = 0 $;

3) $ \cos 4x - \cos 3x = 0 $;

4) $ \sin x - \sin 6x = 0 $;

5) $ \sin 2x + \sin 6x = 2 \cos 2x $;

6) $ \cot^3 x + \cot^2 x - 4 \cot x - 4 = 0 $;

7) $ 2 \sin x \cos x - \sqrt{3} \sin x + 2 \cos x - \sqrt{3} = 0 $;

8) $ (1 - \cos x) \tan x + \cos x - 1 = 0 $.

1) $\cos3x + \cos5x = 0$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой суммы косинусов: $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$2\cos\frac{3x+5x}{2}\cos\frac{5x-3x}{2} = 0$

$2\cos(4x)\cos(x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два случая:

1. $\cos(4x) = 0$

$4x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$

2. $\cos(x) = 0$

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Эти две серии решений не пересекаются.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}$, $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin4x + \sin6x = 0$

Используем формулу суммы синусов: $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$2\sin\frac{4x+6x}{2}\cos\frac{6x-4x}{2} = 0$

$2\sin(5x)\cos(x) = 0$

Получаем два случая:

1. $\sin(5x) = 0$

$5x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi k}{5}$, где $k \in \mathbb{Z}$

2. $\cos(x) = 0$

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi k}{5}$, $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

3) $\cos4x - \cos3x = 0$

Перепишем уравнение в виде $\cos4x = \cos3x$.

Равенство косинусов $\cos A = \cos B$ выполняется, если $A = \pm B + 2\pi k$.

1. $4x = 3x + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

2. $4x = -3x + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$7x = 2\pi n$

$x = \frac{2\pi n}{7}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Заметим, что первая серия решений ($x = 2\pi k$) является подмножеством второй серии ($x = \frac{2\pi n}{7}$) при $n=7k$. Следовательно, достаточно указать только вторую серию.

Ответ: $x = \frac{2\pi k}{7}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4) $\sin x - \sin 6x = 0$

Перепишем уравнение в виде $\sin x = \sin 6x$.

Равенство синусов $\sin A = \sin B$ выполняется, если $A = B + 2\pi k$ или $A = \pi - B + 2\pi k$.

1. $x = 6x + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$-5x = 2\pi k$

$x = -\frac{2\pi k}{5}$ или $x = \frac{2\pi k}{5}$, так как $k$ — любое целое число.

2. $x = \pi - 6x + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$7x = \pi + 2\pi n$

$x = \frac{\pi(1+2n)}{7}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{2\pi k}{5}$, $x = \frac{\pi(1+2n)}{7}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

5) $\sin2x + \sin6x = 2\cos2x$

Применим формулу суммы синусов к левой части уравнения:

$2\sin\frac{2x+6x}{2}\cos\frac{6x-2x}{2} = 2\cos2x$

$2\sin(4x)\cos(2x) = 2\cos2x$

$2\sin(4x)\cos(2x) - 2\cos(2x) = 0$

$2\cos(2x)(\sin(4x) - 1) = 0$

Получаем два случая:

1. $\cos(2x) = 0$

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

2. $\sin(4x) - 1 = 0 \Rightarrow \sin(4x) = 1$

$4x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

6) $\text{ctg}^3 x + \text{ctg}^2 x - 4\text{ctg} x - 4 = 0$

Сделаем замену $y = \text{ctg} x$. Уравнение примет вид:

$y^3 + y^2 - 4y - 4 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(y^3 + y^2) - (4y + 4) = 0$

$y^2(y+1) - 4(y+1) = 0$

$(y^2-4)(y+1) = 0$

$(y-2)(y+2)(y+1) = 0$

Корни этого уравнения: $y_1=2$, $y_2=-2$, $y_3=-1$.

Выполним обратную замену:

1. $\text{ctg} x = 2 \Rightarrow x = \text{arcctg}(2) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

2. $\text{ctg} x = -2 \Rightarrow x = \text{arcctg}(-2) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

3. $\text{ctg} x = -1 \Rightarrow x = \frac{3\pi}{4} + \pi m$ или $x = -\frac{\pi}{4} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \text{arcctg}(2) + \pi k$, $x = \text{arcctg}(-2) + \pi n$, $x = -\frac{\pi}{4} + \pi m$, где $k, n, m \in \mathbb{Z}$.

7) $2\sin x \cos x - \sqrt{3}\sin x + 2\cos x - \sqrt{3} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(2\sin x \cos x + 2\cos x) - (\sqrt{3}\sin x + \sqrt{3}) = 0$

$2\cos x(\sin x + 1) - \sqrt{3}(\sin x + 1) = 0$

$(2\cos x - \sqrt{3})(\sin x + 1) = 0$

Получаем два случая:

1. $2\cos x - \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

2. $\sin x + 1 = 0 \Rightarrow \sin x = -1$

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

8) $(1 - \cos x)\text{tg} x + \cos x - 1 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Вынесем общий множитель $(1 - \cos x)$ за скобки (предварительно изменив знак у последних двух слагаемых):

$(1 - \cos x)\text{tg} x - (1 - \cos x) = 0$

$(1 - \cos x)(\text{tg} x - 1) = 0$

Получаем два случая:

1. $1 - \cos x = 0 \Rightarrow \cos x = 1$

$x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Эти корни удовлетворяют ОДЗ.

2. $\text{tg} x - 1 = 0 \Rightarrow \text{tg} x = 1$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$. Эти корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = 2\pi n$, $x = \frac{\pi}{4} + \pi m$, где $n, m \in \mathbb{Z}$.

258. Решите уравнение:

1) $ \sin 2x - \cos 5x = 0; $

2) $ \cos \left( \frac{\pi}{4} - x \right) + \sin \left( \frac{\pi}{4} - x \right) = 1; $

3) $ \cos 9x - \cos 5x = \sqrt{3} \sin 2x; $

4) $ \sin x + \sin 5x = \sin 3x - \sin 9x. $

1) $\sin 2x - \cos 5x = 0$

Перенесем $\cos 5x$ в правую часть уравнения:

$\sin 2x = \cos 5x$

Используем формулу приведения $\cos \alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$:

$\sin 2x = \sin(\frac{\pi}{2} - 5x)$

Равенство синусов $\sin A = \sin B$ выполняется в двух случаях:

$A = B + 2\pi n$ или $A = \pi - B + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим первый случай:

$2x = \frac{\pi}{2} - 5x + 2\pi n$

$7x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

$x = \frac{\pi}{14} + \frac{2\pi n}{7}, n \in \mathbb{Z}$

Рассмотрим второй случай:

$2x = \pi - (\frac{\pi}{2} - 5x) + 2\pi k$

$2x = \pi - \frac{\pi}{2} + 5x + 2\pi k$

$2x - 5x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

$-3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

$x = -\frac{\pi}{6} - \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{14} + \frac{2\pi n}{7}, x = -\frac{\pi}{6} - \frac{2\pi k}{3}, n, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos(\frac{\pi}{4} - x) + \sin(\frac{\pi}{4} - x) = 1$

Это уравнение вида $a\cos t + b\sin t = c$. Используем метод введения вспомогательного угла. Умножим и разделим левую часть на $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$:

$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos(\frac{\pi}{4} - x) + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin(\frac{\pi}{4} - x)) = 1$

Заметим, что $\frac{1}{\sqrt{2}} = \cos\frac{\pi}{4}$ и $\frac{1}{\sqrt{2}} = \sin\frac{\pi}{4}$. Подставим эти значения:

$\sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}\cos(\frac{\pi}{4} - x) + \sin\frac{\pi}{4}\sin(\frac{\pi}{4} - x)) = 1$

Применим формулу косинуса разности $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$:

$\sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{4} - (\frac{\pi}{4} - x)) = 1$

$\sqrt{2}\cos(x) = 1$

$\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Решения этого уравнения:

$x = \pm \arccos(\frac{1}{\sqrt{2}}) + 2\pi n$

$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) $\cos 9x - \cos 5x = \sqrt{3} \sin 2x$

Применим к левой части формулу разности косинусов $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$-2\sin(\frac{9x+5x}{2})\sin(\frac{9x-5x}{2}) = \sqrt{3}\sin 2x$

$-2\sin(7x)\sin(2x) = \sqrt{3}\sin 2x$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$-2\sin(7x)\sin(2x) - \sqrt{3}\sin 2x = 0$

Вынесем общий множитель $\sin 2x$ за скобки:

$\sin 2x(-2\sin 7x - \sqrt{3}) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

1) $\sin 2x = 0$

$2x = \pi n$

$x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$

2) $-2\sin 7x - \sqrt{3} = 0$

$\sin 7x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$7x = (-1)^k \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi k$

$7x = (-1)^k (-\frac{\pi}{3}) + \pi k$

$7x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k$

$x = \frac{(-1)^{k+1}\pi}{21} + \frac{\pi k}{7}, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}, x = \frac{(-1)^{k+1}\pi}{21} + \frac{\pi k}{7}, n, k \in \mathbb{Z}$.

4) $\sin x + \sin 5x = \sin 3x - \sin 9x$

Перегруппируем слагаемые и применим формулы суммы и разности синусов:

$\sin 5x + \sin x = -(\sin 9x - \sin 3x)$

Используем формулы $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$ и $\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$2\sin(\frac{5x+x}{2})\cos(\frac{5x-x}{2}) = -2\cos(\frac{9x+3x}{2})\sin(\frac{9x-3x}{2})$

$2\sin 3x \cos 2x = -2\cos 6x \sin 3x$

Перенесем все в левую часть:

$2\sin 3x \cos 2x + 2\cos 6x \sin 3x = 0$

Вынесем общий множитель $2\sin 3x$:

$2\sin 3x (\cos 2x + \cos 6x) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю.

1) $\sin 3x = 0$

$3x = \pi n$

$x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$

2) $\cos 2x + \cos 6x = 0$

Применим формулу суммы косинусов $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$2\cos(\frac{2x+6x}{2})\cos(\frac{6x-2x}{2}) = 0$

$2\cos 4x \cos 2x = 0$

Это дает еще два случая:

2a) $\cos 4x = 0$

$4x = \frac{\pi}{2} + \pi k$

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$

2b) $\cos 2x = 0$

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi m$

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi n}{3}, x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}, n, k, m \in \mathbb{Z}$.

259. Решите уравнение:

1) $\sin 2x + 2\sin^2 3x = 1$;

2) $1 + \cos 6x = \sqrt{3} \cos 3x$;

3) $\cos^2 x + \cos^2 5x = 1$;

4) $\sin^2 2x + \sin^2 6x = \sin^2 3x + \sin^2 5x.$

1) $\sin 2x + 2\sin^2 3x = 1$

Используем формулу понижения степени $2\sin^2 \alpha = 1 - \cos 2\alpha$. Для $\alpha = 3x$ получаем $2\sin^2 3x = 1 - \cos 6x$.

Подставим это в исходное уравнение:

$\sin 2x + (1 - \cos 6x) = 1$

$\sin 2x - \cos 6x = 0$

$\sin 2x = \cos 6x$

Используем формулу приведения $\sin \alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$:

$\cos(\frac{\pi}{2} - 2x) = \cos 6x$

Равенство $\cos A = \cos B$ выполняется, если $A = \pm B + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Случай 1:

$\frac{\pi}{2} - 2x = 6x + 2\pi n$

$8x = \frac{\pi}{2} - 2\pi n$

$x = \frac{\pi}{16} - \frac{\pi n}{4}$

Поскольку $n$ — любое целое число, мы можем заменить $-n$ на $k$, где $k \in \mathbb{Z}$:

$x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}$

Случай 2:

$\frac{\pi}{2} - 2x = -6x + 2\pi n$

$4x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$

$x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}$, $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

2) $1 + \cos 6x = \sqrt{3} \cos 3x$

Используем формулу косинуса двойного угла $1 + \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha$. В нашем случае $2\alpha = 6x$, значит $\alpha=3x$.

Уравнение принимает вид:

$2\cos^2 3x = \sqrt{3} \cos 3x$

Перенесем все члены в одну сторону:

$2\cos^2 3x - \sqrt{3} \cos 3x = 0$

Вынесем общий множитель $\cos 3x$ за скобки:

$\cos 3x (2\cos 3x - \sqrt{3}) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

Случай 1:

$\cos 3x = 0$

$3x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$

Случай 2:

$2\cos 3x - \sqrt{3} = 0$

$\cos 3x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$3x = \pm \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$3x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$x = \pm \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, $x = \pm \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

3) $\cos^2 x + \cos^2 5x = 1$

Используем формулу понижения степени $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$.

Подставим в уравнение:

$\frac{1 + \cos 2x}{2} + \frac{1 + \cos 10x}{2} = 1$

Умножим обе части на 2:

$1 + \cos 2x + 1 + \cos 10x = 2$

$\cos 10x + \cos 2x = 0$

Используем формулу суммы косинусов $\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$:

$2\cos\frac{10x+2x}{2}\cos\frac{10x-2x}{2} = 0$

$2\cos 6x \cos 4x = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

Случай 1:

$\cos 6x = 0$

$6x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6}$

Случай 2:

$\cos 4x = 0$

$4x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6}$, $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

4) $\sin^2 2x + \sin^2 6x = \sin^2 3x + \sin^2 5x$

Перегруппируем слагаемые:

$\sin^2 6x - \sin^2 5x = \sin^2 3x - \sin^2 2x$

Используем формулу разности квадратов синусов $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A-B)\sin(A+B)$.

Для левой части: $\sin(6x-5x)\sin(6x+5x) = \sin x \sin 11x$

Для правой части: $\sin(3x-2x)\sin(3x+2x) = \sin x \sin 5x$

Уравнение принимает вид:

$\sin x \sin 11x = \sin x \sin 5x$

$\sin x \sin 11x - \sin x \sin 5x = 0$

Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:

$\sin x (\sin 11x - \sin 5x) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

Случай 1: $\sin x = 0$

$x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $\sin 11x - \sin 5x = 0$

Используем формулу разности синусов $\sin A - \sin B = 2\sin\frac{A-B}{2}\cos\frac{A+B}{2}$:

$2\sin\frac{11x-5x}{2}\cos\frac{11x+5x}{2} = 0$

$2\sin 3x \cos 8x = 0$

Отсюда получаем еще два случая:

2.1: $\sin 3x = 0 \implies 3x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2.2: $\cos 8x = 0 \implies 8x = \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi m}{8}$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Заметим, что серия решений $x = \pi n$ является частным случаем серии $x = \frac{\pi k}{3}$ (при $k=3n$). Поэтому достаточно оставить только решения из случаев 2.1 и 2.2.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{3}$, $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi m}{8}$, где $k, m \in \mathbb{Z}$.

260. Решите уравнение:

1) $ \cos x - \sin x = \sqrt{2} \sin 7x $

2) $ \sqrt{2}(\cos 4x - \sin 4x) = \cos 8x $

3) $ \sin x + \sqrt{3} \cos x = 2\sin 2x $

4) $ \sin 5x \sin x = \cos 4x $

5) $ \cos 6x \cos 4x = \sin x \sin 3x $

6) $ \sin 12x = 2 \cos\left(\frac{\pi}{2} - 4x\right) $

1)Исходное уравнение: $ \cos x - \sin x = \sqrt{2} \sin 7x $.
Преобразуем левую часть уравнения, используя метод вспомогательного угла. Умножим и разделим левую часть на $ \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} $:$ \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x \right) = \sqrt{2} \sin 7x $
Зная, что $ \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} $ и $ \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} $, получаем:$ \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} \cos x - \sin \frac{\pi}{4} \sin x \right) = \sqrt{2} \sin 7x $
Применяем формулу косинуса суммы $ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $:$ \sqrt{2} \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \sin 7x $
$ \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \sin 7x $
Используем формулу приведения $ \sin \alpha = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) $:$ \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 7x\right) $
Равенство косинусов $ \cos A = \cos B $ выполняется, если $ A = \pm B + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $. Рассмотрим два случая:
а) $ x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} - 7x + 2\pi n $
$ 8x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n $
$ 8x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n $
$ x = \frac{\pi}{32} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z} $.
б) $ x + \frac{\pi}{4} = -\left(\frac{\pi}{2} - 7x\right) + 2\pi k $
$ x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 7x + 2\pi k $
$ -6x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} + 2\pi k $
$ -6x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k $
$ x = -\frac{\pi}{8} - \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = \frac{\pi}{32} + \frac{\pi n}{4}, x = -\frac{\pi}{8} - \frac{\pi k}{3} $, где $ n, k \in \mathbb{Z} $.

2)Исходное уравнение: $ \sqrt{2}(\cos 4x - \sin 4x) = \cos 8x $.
Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $. В нашем случае $ \cos 8x = \cos(2 \cdot 4x) = \cos^2 4x - \sin^2 4x $.$ \cos^2 4x - \sin^2 4x = (\cos 4x - \sin 4x)(\cos 4x + \sin 4x) $.
Подставим это в исходное уравнение:$ \sqrt{2}(\cos 4x - \sin 4x) = (\cos 4x - \sin 4x)(\cos 4x + \sin 4x) $
Перенесем все в одну сторону и вынесем общий множитель $ (\cos 4x - \sin 4x) $:$ (\cos 4x - \sin 4x) \left[ \sqrt{2} - (\cos 4x + \sin 4x) \right] = 0 $
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:
а) $ \cos 4x - \sin 4x = 0 $
$ \cos 4x = \sin 4x $
Разделим обе части на $ \cos 4x $ (учитывая, что если $ \cos 4x = 0 $, то и $ \sin 4x = 0 $, что невозможно):$ \tan 4x = 1 $
$ 4x = \frac{\pi}{4} + \pi n $
$ x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z} $.
б) $ \sqrt{2} - (\cos 4x + \sin 4x) = 0 $
$ \cos 4x + \sin 4x = \sqrt{2} $
Используем метод вспомогательного угла. Умножим и разделим левую часть на $ \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2} $:$ \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 4x + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 4x \right) = \sqrt{2} $
$ \cos\left(4x - \frac{\pi}{4}\right) = 1 $
$ 4x - \frac{\pi}{4} = 2\pi k $
$ 4x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k $
$ x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $.
Заметим, что вторая серия решений $ x = \frac{\pi}{16} + \frac{2\pi k}{4} $ является подмножеством первой серии $ x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4} $ (при четных $ n $). Поэтому общим решением является первая серия.
Ответ: $ x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z} $.

3)Исходное уравнение: $ \sin x + \sqrt{3} \cos x = 2\sin 2x $.
Преобразуем левую часть с помощью метода вспомогательного угла. Умножим и разделим на $ \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2 $:$ 2 \left( \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right) = 2\sin 2x $
Зная, что $ \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $ и $ \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $, получаем:$ 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} \sin x + \sin \frac{\pi}{3} \cos x \right) = 2\sin 2x $
Применяем формулу синуса суммы $ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta $:$ 2 \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 2\sin 2x $
$ \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \sin 2x $
Равенство синусов $ \sin A = \sin B $ выполняется, если $ A = B + 2\pi n $ или $ A = \pi - B + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Рассмотрим два случая:
а) $ x + \frac{\pi}{3} = 2x + 2\pi n $
$ -x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n $
$ x = \frac{\pi}{3} - 2\pi n $ (или $ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k $), $ n, k \in \mathbb{Z} $.
б) $ x + \frac{\pi}{3} = \pi - 2x + 2\pi k $
$ 3x = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi k $
$ 3x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k $
$ x = \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, x = \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3} $, где $ n, k \in \mathbb{Z} $.

4)Исходное уравнение: $ \sin 5x \sin x = \cos 4x $.
Используем формулу преобразования произведения в сумму: $ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)) $.$ \frac{1}{2}(\cos(5x-x) - \cos(5x+x)) = \cos 4x $
$ \frac{1}{2}(\cos 4x - \cos 6x) = \cos 4x $
$ \cos 4x - \cos 6x = 2\cos 4x $
$ -\cos 6x = \cos 4x $
$ \cos 6x + \cos 4x = 0 $
Используем формулу преобразования суммы в произведение: $ \cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.$ 2\cos\frac{6x+4x}{2}\cos\frac{6x-4x}{2} = 0 $
$ 2\cos 5x \cos x = 0 $
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.
а) $ \cos 5x = 0 $
$ 5x = \frac{\pi}{2} + \pi n $
$ x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z} $.
б) $ \cos x = 0 $
$ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Вторая серия решений является подмножеством первой. Например, при $ n=2 $, $ x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi}{5} = \frac{5\pi}{10} = \frac{\pi}{2} $. Следовательно, достаточно указать только первую серию решений.
Ответ: $ x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z} $.

5)Исходное уравнение: $ \cos 6x \cos 4x = \sin x \sin 3x $.
Используем формулы преобразования произведений в суммы:
$ \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)) $
$ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)) $
Применяем их к обеим частям уравнения:
$ \frac{1}{2}(\cos(6x-4x) + \cos(6x+4x)) = \frac{1}{2}(\cos(x-3x) - \cos(x+3x)) $
$ \frac{1}{2}(\cos 2x + \cos 10x) = \frac{1}{2}(\cos(-2x) - \cos 4x) $
Так как $ \cos(-2x) = \cos 2x $, умножаем обе части на 2:$ \cos 2x + \cos 10x = \cos 2x - \cos 4x $
$ \cos 10x = -\cos 4x $
$ \cos 10x + \cos 4x = 0 $
Используем формулу суммы косинусов:$ 2\cos\frac{10x+4x}{2}\cos\frac{10x-4x}{2} = 0 $
$ 2\cos 7x \cos 3x = 0 $
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.
а) $ \cos 7x = 0 $
$ 7x = \frac{\pi}{2} + \pi n $
$ x = \frac{\pi}{14} + \frac{\pi n}{7}, n \in \mathbb{Z} $.
б) $ \cos 3x = 0 $
$ 3x = \frac{\pi}{2} + \pi k $
$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = \frac{\pi}{14} + \frac{\pi n}{7}, x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3} $, где $ n, k \in \mathbb{Z} $.

6)Исходное уравнение: $ \sin 12x = 2\cos\left(\frac{\pi}{2} - 4x\right) $.
Используем формулу приведения $ \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin \alpha $:$ \sin 12x = 2\sin 4x $
Применим формулу синуса тройного угла $ \sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha $ для $ \sin 12x = \sin(3 \cdot 4x) $:$ 3\sin 4x - 4\sin^3 4x = 2\sin 4x $
$ \sin 4x - 4\sin^3 4x = 0 $
Вынесем $ \sin 4x $ за скобки:$ \sin 4x (1 - 4\sin^2 4x) = 0 $
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.
а) $ \sin 4x = 0 $
$ 4x = \pi n $
$ x = \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z} $.
б) $ 1 - 4\sin^2 4x = 0 $
$ \sin^2 4x = \frac{1}{4} $
$ \sin 4x = \pm \frac{1}{2} $.
Это можно решить, преобразовав $ \sin^2 4x $ по формуле понижения степени $ \sin^2\alpha = \frac{1-\cos 2\alpha}{2} $:$ \frac{1-\cos(2 \cdot 4x)}{2} = \frac{1}{4} $
$ 1 - \cos 8x = \frac{1}{2} $
$ \cos 8x = \frac{1}{2} $
$ 8x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k $
$ x = \pm \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = \frac{\pi n}{4}, x = \pm \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{4} $, где $ n, k \in \mathbb{Z} $.

261. Решите уравнение:

1) $ \frac{\sin x + \sin 3x}{\cos x + \cos 3x} = 0; $

2) $ \frac{\sin 2x}{1 + \sin x} = -2\cos x. $

1) Решим уравнение $\frac{\sin x + \sin 3x}{\cos x + \cos 3x} = 0$.
Данное уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} \sin x + \sin 3x = 0 \\ \cos x + \cos 3x \neq 0 \end{cases}$
Применим формулы суммы синусов и суммы косинусов:
$\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$
$\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$
Преобразуем числитель и знаменатель:
$\sin x + \sin 3x = 2\sin\frac{x+3x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} = 2\sin(2x)\cos(x)$
$\cos x + \cos 3x = 2\cos\frac{x+3x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} = 2\cos(2x)\cos(x)$
Система принимает вид:
$\begin{cases} 2\sin(2x)\cos(x) = 0 \\ 2\cos(2x)\cos(x) \neq 0 \end{cases}$
Из второго неравенства системы следует, что $\cos(2x) \neq 0$ и $\cos(x) \neq 0$.
Учитывая, что $\cos(x) \neq 0$, первое уравнение $2\sin(2x)\cos(x) = 0$ упрощается до $\sin(2x) = 0$.
Решим уравнение $\sin(2x) = 0$:
$2x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$
Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные решения условиям $\cos(x) \neq 0$ и $\cos(2x) \neq 0$.
1. Проверим условие $\cos(x) \neq 0$.
Подставим $x = \frac{\pi k}{2}$: $\cos(\frac{\pi k}{2}) \neq 0$.
Если $k$ — нечетное число ($k=2n+1$), то $\cos(\frac{\pi (2n+1)}{2}) = 0$. Эти значения необходимо исключить.
Следовательно, $k$ должно быть четным числом. Пусть $k = 2n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Тогда решениями будут $x = \frac{\pi (2n)}{2} = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.
2. Проверим условие $\cos(2x) \neq 0$ для найденных корней $x = \pi n$.
$\cos(2(\pi n)) = \cos(2\pi n) = 1$. Так как $1 \neq 0$, это условие выполняется для всех $x = \pi n$.
Таким образом, решениями исходного уравнения являются $x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $\frac{\sin 2x}{1 + \sin x} = -2\cos x$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю:
$1 + \sin x \neq 0 \implies \sin x \neq -1 \implies x \neq -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.
Преобразуем уравнение. Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:
$\frac{2\sin x \cos x}{1 + \sin x} = -2\cos x$
Перенесем все члены в левую часть:
$\frac{2\sin x \cos x}{1 + \sin x} + 2\cos x = 0$
Вынесем общий множитель $2\cos x$ за скобки:
$2\cos x \left( \frac{\sin x}{1 + \sin x} + 1 \right) = 0$
Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
$2\cos x \left( \frac{\sin x + 1 + \sin x}{1 + \sin x} \right) = 0$
$2\cos x \left( \frac{1 + 2\sin x}{1 + \sin x} \right) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Это приводит к двум случаям:
а) $\cos x = 0$
б) $\frac{1 + 2\sin x}{1 + \sin x} = 0$, что равносильно $1 + 2\sin x = 0$.
Рассмотрим каждый случай отдельно, учитывая ОДЗ.
а) $\cos x = 0$
Решения этого уравнения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.
Проверим эти решения по ОДЗ ($\sin x \neq -1$).
Если $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$ (n - четное, $n=2m$), то $\sin x = 1$. Это удовлетворяет ОДЗ.
Если $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi m$ (n - нечетное, $n=2m+1$), то $\sin x = -1$. Это не удовлетворяет ОДЗ.
Следовательно, из этого случая подходят только решения $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$.
б) $1 + 2\sin x = 0$
$\sin x = -\frac{1}{2}$
Так как $-\frac{1}{2} \neq -1$, все решения этого уравнения входят в ОДЗ.
Решениями являются:
$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi l, \quad l \in \mathbb{Z}$
$x = \pi - (-\frac{\pi}{6}) + 2\pi l = \frac{7\pi}{6} + 2\pi l, \quad l \in \mathbb{Z}$
Объединим все найденные решения.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m; \quad x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi l; \quad x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi l, \quad m, l \in \mathbb{Z}$.

262. Сколько корней уравнения $\operatorname{ctg} 5x \cos x + \sin x - \sqrt{2} \cos 4x = 0$ принадлежат промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{6}]$?

Исходное уравнение: $ \text{ctg}(5x) \cos(x) + \sin(x) - \sqrt{2}\cos(4x) = 0 $. Требуется найти количество корней этого уравнения на промежутке $ \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{6}\right] $.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Функция котангенса $ \text{ctg}(5x) $ определена, если ее аргумент не является кратным $ \pi $. Это значит, что $ \sin(5x) \neq 0 $, откуда $ 5x \neq \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $. Следовательно, ОДЗ: $ x \neq \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z} $.

2. Преобразуем уравнение. Заменим $ \text{ctg}(5x) $ на $ \frac{\cos(5x)}{\sin(5x)} $:
$ \frac{\cos(5x)}{\sin(5x)} \cos(x) + \sin(x) - \sqrt{2}\cos(4x) = 0 $
Умножим обе части уравнения на $ \sin(5x) $, учитывая, что $ \sin(5x) \neq 0 $ по ОДЗ:
$ \cos(5x)\cos(x) + \sin(5x)\sin(x) - \sqrt{2}\cos(4x)\sin(5x) = 0 $

Применим формулу косинуса разности $ \cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta) $ к первым двум слагаемым:
$ \cos(5x - x) - \sqrt{2}\cos(4x)\sin(5x) = 0 $
$ \cos(4x) - \sqrt{2}\cos(4x)\sin(5x) = 0 $

Вынесем общий множитель $ \cos(4x) $ за скобки:
$ \cos(4x)(1 - \sqrt{2}\sin(5x)) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом существует. Это приводит к двум случаям:
1) $ \cos(4x) = 0 $
2) $ 1 - \sqrt{2}\sin(5x) = 0 $

3. Решим каждое уравнение и отберем корни, принадлежащие заданному промежутку.

Решение для $ \cos(4x) = 0 $
$ 4x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, \quad n \in \mathbb{Z} $
Проверим, что эти корни удовлетворяют ОДЗ. Если $ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4} $, то $ 5x = \frac{5\pi}{8} + \frac{5\pi n}{4} $. $ \sin(5x) $ в этом случае никогда не обращается в ноль.
Отберем корни на промежутке $ \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{6}\right] $:
$ -\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4} \le \frac{\pi}{6} $
Разделив на $ \pi $, получим: $ -\frac{1}{2} \le \frac{1}{8} + \frac{n}{4} \le \frac{1}{6} $.
Умножим на 24: $ -12 \le 3 + 6n \le 4 $.
Вычтем 3: $ -15 \le 6n \le 1 $.
Разделим на 6: $ -2.5 \le n \le \frac{1}{6} $.
Целые значения $ n $, удовлетворяющие этому неравенству: $ n = -2, -1, 0 $.
При $ n = -2: x = \frac{\pi}{8} - \frac{2\pi}{4} = -\frac{3\pi}{8} $.
При $ n = -1: x = \frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{8} $.
При $ n = 0: x = \frac{\pi}{8} $.
Эта серия дает 3 корня.

Решение для $ 1 - \sqrt{2}\sin(5x) = 0 $
$ \sin(5x) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $
Поскольку $ \sin(5x) \neq 0 $, ОДЗ выполнено автоматически.
Решения этого уравнения имеют две серии:
а) $ 5x = \frac{\pi}{4} + 2\pi m \implies x = \frac{\pi}{20} + \frac{2\pi m}{5}, \quad m \in \mathbb{Z} $
б) $ 5x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi m \implies x = \frac{3\pi}{20} + \frac{2\pi m}{5}, \quad m \in \mathbb{Z} $

Отберем корни для серии (а) $ x = \frac{\pi}{20} + \frac{2\pi m}{5} $ на промежутке $ \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{6}\right] $:
$ -\frac{1}{2} \le \frac{1}{20} + \frac{2m}{5} \le \frac{1}{6} $. Умножим на 60: $ -30 \le 3 + 24m \le 10 $.
$ -33 \le 24m \le 7 \implies -1.375 \le m \le 0.29... $
Целые значения $ m $: $ m = -1, 0 $.
При $ m = -1: x = \frac{\pi}{20} - \frac{2\pi}{5} = -\frac{7\pi}{20} $.
При $ m = 0: x = \frac{\pi}{20} $.
Эта серия дает 2 корня.

Отберем корни для серии (б) $ x = \frac{3\pi}{20} + \frac{2\pi m}{5} $ на промежутке $ \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{6}\right] $:
$ -\frac{1}{2} \le \frac{3}{20} + \frac{2m}{5} \le \frac{1}{6} $. Умножим на 60: $ -30 \le 9 + 24m \le 10 $.
$ -39 \le 24m \le 1 \implies -1.625 \le m \le 0.04... $
Целые значения $ m $: $ m = -1, 0 $.
При $ m = -1: x = \frac{3\pi}{20} - \frac{2\pi}{5} = -\frac{5\pi}{20} = -\frac{\pi}{4} $.
При $ m = 0: x = \frac{3\pi}{20} $.
Эта серия дает 2 корня.

Все найденные корни ($-\frac{3\pi}{8}, -\frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{8}, -\frac{7\pi}{20}, \frac{\pi}{20}, -\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{20}$) различны.
Суммируя количество корней из всех серий, получаем общее количество корней на заданном промежутке: $ 3 + 2 + 2 = 7 $.

Ответ: 7