Номер 261, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

261. Решите уравнение:

1) $ \frac{\sin x + \sin 3x}{\cos x + \cos 3x} = 0; $

2) $ \frac{\sin 2x}{1 + \sin x} = -2\cos x. $

1) Решим уравнение $\frac{\sin x + \sin 3x}{\cos x + \cos 3x} = 0$.
Данное уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} \sin x + \sin 3x = 0 \\ \cos x + \cos 3x \neq 0 \end{cases}$
Применим формулы суммы синусов и суммы косинусов:
$\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$
$\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$
Преобразуем числитель и знаменатель:
$\sin x + \sin 3x = 2\sin\frac{x+3x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} = 2\sin(2x)\cos(x)$
$\cos x + \cos 3x = 2\cos\frac{x+3x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} = 2\cos(2x)\cos(x)$
Система принимает вид:
$\begin{cases} 2\sin(2x)\cos(x) = 0 \\ 2\cos(2x)\cos(x) \neq 0 \end{cases}$
Из второго неравенства системы следует, что $\cos(2x) \neq 0$ и $\cos(x) \neq 0$.
Учитывая, что $\cos(x) \neq 0$, первое уравнение $2\sin(2x)\cos(x) = 0$ упрощается до $\sin(2x) = 0$.
Решим уравнение $\sin(2x) = 0$:
$2x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$
Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные решения условиям $\cos(x) \neq 0$ и $\cos(2x) \neq 0$.
1. Проверим условие $\cos(x) \neq 0$.
Подставим $x = \frac{\pi k}{2}$: $\cos(\frac{\pi k}{2}) \neq 0$.
Если $k$ — нечетное число ($k=2n+1$), то $\cos(\frac{\pi (2n+1)}{2}) = 0$. Эти значения необходимо исключить.
Следовательно, $k$ должно быть четным числом. Пусть $k = 2n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Тогда решениями будут $x = \frac{\pi (2n)}{2} = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.
2. Проверим условие $\cos(2x) \neq 0$ для найденных корней $x = \pi n$.
$\cos(2(\pi n)) = \cos(2\pi n) = 1$. Так как $1 \neq 0$, это условие выполняется для всех $x = \pi n$.
Таким образом, решениями исходного уравнения являются $x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $\frac{\sin 2x}{1 + \sin x} = -2\cos x$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю:
$1 + \sin x \neq 0 \implies \sin x \neq -1 \implies x \neq -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.
Преобразуем уравнение. Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:
$\frac{2\sin x \cos x}{1 + \sin x} = -2\cos x$
Перенесем все члены в левую часть:
$\frac{2\sin x \cos x}{1 + \sin x} + 2\cos x = 0$
Вынесем общий множитель $2\cos x$ за скобки:
$2\cos x \left( \frac{\sin x}{1 + \sin x} + 1 \right) = 0$
Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
$2\cos x \left( \frac{\sin x + 1 + \sin x}{1 + \sin x} \right) = 0$
$2\cos x \left( \frac{1 + 2\sin x}{1 + \sin x} \right) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Это приводит к двум случаям:
а) $\cos x = 0$
б) $\frac{1 + 2\sin x}{1 + \sin x} = 0$, что равносильно $1 + 2\sin x = 0$.
Рассмотрим каждый случай отдельно, учитывая ОДЗ.
а) $\cos x = 0$
Решения этого уравнения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.
Проверим эти решения по ОДЗ ($\sin x \neq -1$).
Если $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$ (n - четное, $n=2m$), то $\sin x = 1$. Это удовлетворяет ОДЗ.
Если $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi m$ (n - нечетное, $n=2m+1$), то $\sin x = -1$. Это не удовлетворяет ОДЗ.
Следовательно, из этого случая подходят только решения $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$.
б) $1 + 2\sin x = 0$
$\sin x = -\frac{1}{2}$
Так как $-\frac{1}{2} \neq -1$, все решения этого уравнения входят в ОДЗ.
Решениями являются:
$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi l, \quad l \in \mathbb{Z}$
$x = \pi - (-\frac{\pi}{6}) + 2\pi l = \frac{7\pi}{6} + 2\pi l, \quad l \in \mathbb{Z}$
Объединим все найденные решения.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m; \quad x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi l; \quad x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi l, \quad m, l \in \mathbb{Z}$.