Номер 255, страница 43 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

255. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения $\sin \frac{x}{3} + \cos \frac{x}{3} = \frac{1}{\sin \frac{x}{3}}$.

Исходное уравнение: $$ \sin\frac{x}{3} + \cos\frac{x}{3} = \frac{1}{\sin\frac{x}{3}} $$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ)
Знаменатель дроби не может быть равен нулю, следовательно: $$ \sin\frac{x}{3} \neq 0 $$ Это означает, что: $$ \frac{x}{3} \neq \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $$ $$ x \neq 3\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $$

2. Преобразуем уравнение
Умножим обе части уравнения на $ \sin\frac{x}{3} $, так как из ОДЗ мы знаем, что он не равен нулю: $$ \sin\frac{x}{3} \left( \sin\frac{x}{3} + \cos\frac{x}{3} \right) = 1 $$ Раскроем скобки: $$ \sin^2\frac{x}{3} + \sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3} = 1 $$ Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $, чтобы заменить 1 в правой части: $$ \sin^2\frac{x}{3} + \sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3} = \sin^2\frac{x}{3} + \cos^2\frac{x}{3} $$ Сократим $ \sin^2\frac{x}{3} $ в обеих частях уравнения: $$ \sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3} = \cos^2\frac{x}{3} $$ Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $ \cos\frac{x}{3} $ за скобки: $$ \cos^2\frac{x}{3} - \sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3} = 0 $$ $$ \cos\frac{x}{3} \left( \cos\frac{x}{3} - \sin\frac{x}{3} \right) = 0 $$

3. Решим полученное уравнение
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $ \cos\frac{x}{3} = 0 $
Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является: $$ \frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $$ Умножив на 3, получаем первую серию корней: $$ x = \frac{3\pi}{2} + 3\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $$ (Эти корни удовлетворяют ОДЗ, так как если $ \cos\frac{x}{3}=0 $, то $ \sin\frac{x}{3} = \pm 1 \neq 0 $).

Случай 2: $ \cos\frac{x}{3} - \sin\frac{x}{3} = 0 $
$$ \cos\frac{x}{3} = \sin\frac{x}{3} $$ Разделим обе части на $ \cos\frac{x}{3} $ (мы можем это сделать, так как если $ \cos\frac{x}{3}=0 $, то и $ \sin\frac{x}{3}=0 $, что невозможно одновременно): $$ \tan\frac{x}{3} = 1 $$ Решением этого уравнения является: $$ \frac{x}{3} = \frac{\pi}{4} + \pi m, \text{ где } m \in \mathbb{Z} $$ Умножив на 3, получаем вторую серию корней: $$ x = \frac{3\pi}{4} + 3\pi m, \text{ где } m \in \mathbb{Z} $$ (Эти корни также удовлетворяют ОДЗ).

4. Найдем наибольший отрицательный корень
Теперь нам нужно найти наибольший отрицательный корень среди всех решений.

Для первой серии $ x = \frac{3\pi}{2} + 3\pi k $:
Найдем целые $ k $, для которых $ x < 0 $: $$ \frac{3\pi}{2} + 3\pi k < 0 \implies 1 + 2k < 0 \implies 2k < -1 \implies k < -0.5 $$ Наибольшее целое $ k $, удовлетворяющее этому условию, — это $ k = -1 $. Подставим $ k = -1 $ в формулу для корней: $$ x = \frac{3\pi}{2} + 3\pi(-1) = \frac{3\pi}{2} - 3\pi = -\frac{3\pi}{2} $$

Для второй серии $ x = \frac{3\pi}{4} + 3\pi m $:
Найдем целые $ m $, для которых $ x < 0 $: $$ \frac{3\pi}{4} + 3\pi m < 0 \implies 1 + 4m < 0 \implies 4m < -1 \implies m < -0.25 $$ Наибольшее целое $ m $, удовлетворяющее этому условию, — это $ m = -1 $. Подставим $ m = -1 $ в формулу для корней: $$ x = \frac{3\pi}{4} + 3\pi(-1) = \frac{3\pi}{4} - 3\pi = \frac{3\pi - 12\pi}{4} = -\frac{9\pi}{4} $$

5. Сравнение корней
Мы получили два отрицательных корня: $ -\frac{3\pi}{2} $ и $ -\frac{9\pi}{4} $. Чтобы найти наибольший из них, сравним их. $$ -\frac{3\pi}{2} = -\frac{6\pi}{4} $$ Так как $ -6 > -9 $, то $ -\frac{6\pi}{4} > -\frac{9\pi}{4} $. Следовательно, наибольшим отрицательным корнем уравнения является $ -\frac{3\pi}{2} $.

Ответ: $ -\frac{3\pi}{2} $