Номер 250, страница 42 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

250. Решите уравнение:

1) $2\cos^2 \frac{4x}{3} + 11\sin \frac{4x}{3} - 7 = 0;$

2) $3\cos8x - \cos4x + 1 = 0;$

3) $2\cos^2 4x + 14\sin^2 2x - 11 = 0;$

4) $3\mathrm{tg}^2 \frac{x}{4} - 4\mathrm{ctg} \frac{x}{4} = 1;$

5) $\mathrm{tg}^4 5x + 4\mathrm{tg}^2 5x - 5 = 0;$

6) $\frac{1}{\cos^2 3x} - 7\mathrm{tg} 3x + 11 = 0;$

7) $4\mathrm{ctg}^2 2x - \frac{3}{\sin 2x} + 3 = 0;$

8) $4\cos^2 7x + 6\mathrm{tg}^2 7x - 5 = 0.$

1) $2\cos^2\frac{4x}{3} + 11\sin\frac{4x}{3} - 7 = 0$

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$, чтобы привести уравнение к одной функции.

$2(1 - \sin^2\frac{4x}{3}) + 11\sin\frac{4x}{3} - 7 = 0$

$2 - 2\sin^2\frac{4x}{3} + 11\sin\frac{4x}{3} - 7 = 0$

$-2\sin^2\frac{4x}{3} + 11\sin\frac{4x}{3} - 5 = 0$

Умножим на -1 для удобства: $2\sin^2\frac{4x}{3} - 11\sin\frac{4x}{3} + 5 = 0$.

Сделаем замену $t = \sin\frac{4x}{3}$, где $|t| \le 1$.

$2t^2 - 11t + 5 = 0$

Находим корни квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 121 - 40 = 81$.

$t_1 = \frac{11 - \sqrt{81}}{4} = \frac{11 - 9}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

$t_2 = \frac{11 + \sqrt{81}}{4} = \frac{11 + 9}{4} = \frac{20}{4} = 5$.

Корень $t_2 = 5$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$, так как синус не может быть больше 1.

Возвращаемся к замене с $t_1 = \frac{1}{2}$:

$\sin\frac{4x}{3} = \frac{1}{2}$

$\frac{4x}{3} = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$\frac{4x}{3} = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{3}{4} \left( (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k \right) = (-1)^k \frac{\pi}{8} + \frac{3\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{8} + \frac{3\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.

2) $3\cos8x - \cos4x + 1 = 0$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$. В данном случае $\cos(8x) = \cos(2 \cdot 4x) = 2\cos^2(4x) - 1$.

$3(2\cos^2(4x) - 1) - \cos4x + 1 = 0$

$6\cos^2(4x) - 3 - \cos4x + 1 = 0$

$6\cos^2(4x) - \cos4x - 2 = 0$

Сделаем замену $t = \cos4x$, где $|t| \le 1$.

$6t^2 - t - 2 = 0$

Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 1 + 48 = 49$.

$t_1 = \frac{1 - \sqrt{49}}{12} = \frac{1 - 7}{12} = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2}$.

$t_2 = \frac{1 + \sqrt{49}}{12} = \frac{1 + 7}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.

Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Возвращаемся к замене, получаем два уравнения:

а) $\cos4x = -\frac{1}{2}$

$4x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

$4x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$

б) $\cos4x = \frac{2}{3}$

$4x = \pm \arccos(\frac{2}{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{1}{4} \arccos(\frac{2}{3}) + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \frac{1}{4} \arccos(\frac{2}{3}) + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

3) $2\cos^2 4x + 14\sin^2 2x - 11 = 0$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x)$.

$2(1 - 2\sin^2(2x))^2 + 14\sin^2(2x) - 11 = 0$

Сделаем замену $t = \sin^2(2x)$, где $0 \le t \le 1$.

$2(1 - 2t)^2 + 14t - 11 = 0$

$2(1 - 4t + 4t^2) + 14t - 11 = 0$

$2 - 8t + 8t^2 + 14t - 11 = 0$

$8t^2 + 6t - 9 = 0$

Дискриминант $D = 6^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-9) = 36 + 288 = 324 = 18^2$.

$t_1 = \frac{-6 - 18}{16} = \frac{-24}{16} = -\frac{3}{2}$ (не удовлетворяет условию $t \ge 0$).

$t_2 = \frac{-6 + 18}{16} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$.

Возвращаемся к замене: $\sin^2(2x) = \frac{3}{4}$.

Используем формулу понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$.

$\frac{1 - \cos(4x)}{2} = \frac{3}{4}$

$1 - \cos(4x) = \frac{3}{2} \implies \cos(4x) = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$

$4x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

4) $3\tan\frac{x}{4} - 4\cot\frac{x}{4} = 1$

Используем тождество $\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha}$. Область допустимых значений (ОДЗ): $\sin\frac{x}{4} \ne 0$ и $\cos\frac{x}{4} \ne 0$.

$3\tan\frac{x}{4} - \frac{4}{\tan\frac{x}{4}} - 1 = 0$

Сделаем замену $t = \tan\frac{x}{4}$.

$3t - \frac{4}{t} - 1 = 0$. Домножим на $t \ne 0$: $3t^2 - t - 4 = 0$.

Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49$.

$t_1 = \frac{1 - 7}{6} = -1$.

$t_2 = \frac{1 + 7}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.

Возвращаемся к замене:

а) $\tan\frac{x}{4} = -1 \implies \frac{x}{4} = -\frac{\pi}{4} + \pi k \implies x = -\pi + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\tan\frac{x}{4} = \frac{4}{3} \implies \frac{x}{4} = \arctan(\frac{4}{3}) + \pi n \implies x = 4\arctan(\frac{4}{3}) + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\pi + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = 4\arctan(\frac{4}{3}) + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

5) $\tan^4 5x + 4\tan^2 5x - 5 = 0$

Сделаем замену $t = \tan^2 5x$, где $t \ge 0$.

$t^2 + 4t - 5 = 0$

По теореме Виета, корни $t_1 = -5$ и $t_2 = 1$.

Корень $t_1 = -5$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Возвращаемся к замене: $\tan^2 5x = 1 \implies \tan 5x = \pm 1$.

Это соответствует углам, которые можно записать в виде одной серии решений:

$5x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi k}{10}, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi k}{10}, k \in \mathbb{Z}$.

6) $\frac{1}{\cos^2 3x} - 7\tan 3x + 11 = 0$

Используем тождество $\frac{1}{\cos^2\alpha} = 1 + \tan^2\alpha$. ОДЗ: $\cos 3x \ne 0$.

$(1 + \tan^2 3x) - 7\tan 3x + 11 = 0$

$\tan^2 3x - 7\tan 3x + 12 = 0$

Сделаем замену $t = \tan 3x$.

$t^2 - 7t + 12 = 0$

По теореме Виета, корни $t_1 = 3$ и $t_2 = 4$.

Возвращаемся к замене:

а) $\tan 3x = 3 \implies 3x = \arctan(3) + \pi k \implies x = \frac{1}{3}\arctan(3) + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\tan 3x = 4 \implies 3x = \arctan(4) + \pi n \implies x = \frac{1}{3}\arctan(4) + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{1}{3}\arctan(3) + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{1}{3}\arctan(4) + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

7) $4\cot^2 2x - \frac{3}{\sin 2x} + 3 = 0$

Запишем $\cot^2 2x = \frac{\cos^2 2x}{\sin^2 2x}$. ОДЗ: $\sin 2x \ne 0$.

$4\frac{\cos^2 2x}{\sin^2 2x} - \frac{3}{\sin 2x} + 3 = 0$

Домножим на $\sin^2 2x$: $4\cos^2 2x - 3\sin 2x + 3\sin^2 2x = 0$.

Заменим $\cos^2 2x = 1 - \sin^2 2x$.

$4(1 - \sin^2 2x) - 3\sin 2x + 3\sin^2 2x = 0$

$4 - 4\sin^2 2x - 3\sin 2x + 3\sin^2 2x = 0$

$-\sin^2 2x - 3\sin 2x + 4 = 0 \implies \sin^2 2x + 3\sin 2x - 4 = 0$.

Сделаем замену $t = \sin 2x$, где $|t| \le 1$.

$t^2 + 3t - 4 = 0$

По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -4$.

Корень $t_2 = -4$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$.

Возвращаемся к замене: $\sin 2x = 1$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($\sin 2x \ne 0$).

$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

8) $4\cos^2 7x + 6\tan^2 7x - 5 = 0$

Используем тождество $\tan^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{1-\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}$. ОДЗ: $\cos 7x \ne 0$.

$4\cos^2 7x + 6\frac{1-\cos^2 7x}{\cos^2 7x} - 5 = 0$

Сделаем замену $t = \cos^2 7x$, где $0 < t \le 1$.

$4t + \frac{6(1-t)}{t} - 5 = 0$. Домножим на $t$:

$4t^2 + 6(1-t) - 5t = 0 \implies 4t^2 - 11t + 6 = 0$.

Дискриминант $D = (-11)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 6 = 121 - 96 = 25$.

$t_1 = \frac{11 - 5}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

$t_2 = \frac{11 + 5}{8} = \frac{16}{8} = 2$ (не удовлетворяет условию $t \le 1$).

Возвращаемся к замене: $\cos^2 7x = \frac{3}{4} \implies \cos 7x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решения для $\cos 7x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ это $7x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$.

Решения для $\cos 7x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ это $7x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$.

Эти две серии можно объединить в одну: $7x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

$x = \pm \frac{\pi}{42} + \frac{\pi k}{7}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{42} + \frac{\pi k}{7}, k \in \mathbb{Z}$.