Номер 246, страница 42 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

246. Найдите область значений функции:

1) $y = 4\arcsin x + \frac{\pi}{3}$

2) $y = 2 - 5 \text{arcctg } 3x$

1) $y = 4\arcsin x + \frac{\pi}{3}$

Чтобы найти область значений функции, необходимо определить, какие значения может принимать $y$. Мы будем исходить из области значений стандартной функции $\arcsin x$.

Область значений функции арксинус $E(\arcsin x)$ — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Запишем это в виде двойного неравенства:
$-\frac{\pi}{2} \le \arcsin x \le \frac{\pi}{2}$

Теперь выполним последовательные преобразования, чтобы получить выражение для $y$.

1. Умножим все части неравенства на 4:
$4 \cdot (-\frac{\pi}{2}) \le 4\arcsin x \le 4 \cdot \frac{\pi}{2}$
$-2\pi \le 4\arcsin x \le 2\pi$

2. Прибавим ко всем частям неравенства $\frac{\pi}{3}$:
$-2\pi + \frac{\pi}{3} \le 4\arcsin x + \frac{\pi}{3} \le 2\pi + \frac{\pi}{3}$

3. Упростим выражения в левой и правой частях:
$-\frac{6\pi}{3} + \frac{\pi}{3} \le y \le \frac{6\pi}{3} + \frac{\pi}{3}$
$-\frac{5\pi}{3} \le y \le \frac{7\pi}{3}$

Следовательно, область значений данной функции — это отрезок $[-\frac{5\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}]$.

Ответ: $E(y) = [-\frac{5\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}]$.

2) $y = 2 - 5 \operatorname{arcctg} 3x$

Аналогично первому пункту, найдем область значений, исходя из области значений стандартной функции $\operatorname{arcctg} u$.

Область значений функции арккотангенс $E(\operatorname{arcctg} u)$ — это интервал $(0; \pi)$. Аргумент $3x$ может принимать любые действительные значения, поэтому область значений для $\operatorname{arcctg} 3x$ такая же.

Запишем это в виде строгого двойного неравенства:
$0 < \operatorname{arcctg} 3x < \pi$

Выполним последовательные преобразования.

1. Умножим все части неравенства на -5. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$-5 \cdot 0 > -5 \operatorname{arcctg} 3x > -5 \cdot \pi$
$0 > -5 \operatorname{arcctg} 3x > -5\pi$

Запишем это неравенство в более привычном виде (от меньшего к большему):
$-5\pi < -5 \operatorname{arcctg} 3x < 0$

2. Прибавим ко всем частям неравенства 2:
$2 - 5\pi < 2 - 5 \operatorname{arcctg} 3x < 2 + 0$
$2 - 5\pi < y < 2$

Следовательно, область значений данной функции — это интервал $(2 - 5\pi; 2)$.

Ответ: $E(y) = (2 - 5\pi; 2)$.