Номер 240, страница 41 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

240. Сколько корней уравнения $tg2x = \sqrt{3}$ принадлежат промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$?

Для ответа на вопрос необходимо сначала найти общее решение тригонометрического уравнения, а затем определить, сколько из этих решений попадает в указанный промежуток.

Решим уравнение $\tg(2x) = \sqrt{3}$.

Аргумент тангенса $2x$ можно выразить через арктангенс:

$2x = \operatorname{arctg}(\sqrt{3}) + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Поскольку $\operatorname{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$, получаем:

$2x = \frac{\pi}{3} + \pi k$

Разделив обе части на 2, найдем общее решение для $x$:

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}$

Теперь найдем все корни, принадлежащие промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$. Для этого решим двойное неравенство относительно $k$:

$-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2} \le \pi$

Вычтем $\frac{\pi}{6}$ из всех частей неравенства:

$-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi k}{2} \le \pi - \frac{\pi}{6}$

$-\frac{3\pi}{6} - \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi k}{2} \le \frac{6\pi}{6} - \frac{\pi}{6}$

$-\frac{4\pi}{6} \le \frac{\pi k}{2} \le \frac{5\pi}{6}$

$-\frac{2\pi}{3} \le \frac{\pi k}{2} \le \frac{5\pi}{6}$

Умножим все части на $\frac{2}{\pi}$:

$-\frac{2\pi}{3} \cdot \frac{2}{\pi} \le k \le \frac{5\pi}{6} \cdot \frac{2}{\pi}$

$-\frac{4}{3} \le k \le \frac{5}{3}$

В числовом виде это примерно $-1.33 \le k \le 1.67$.

Поскольку $k$ должно быть целым числом, возможны следующие значения: $k = -1, 0, 1$.

Для каждого из этих значений $k$ найдем соответствующий корень $x$:

• При $k = -1$: $x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi - 3\pi}{6} = -\frac{2\pi}{6} = -\frac{\pi}{3}$.
• При $k = 0$: $x = \frac{\pi}{6} + 0 = \frac{\pi}{6}$.
• При $k = 1$: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi + 3\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$.

Все три найденных корня ($-\frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{6}$, $\frac{2\pi}{3}$) принадлежат промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$. Таким образом, уравнение имеет 3 корня на данном промежутке.

Ответ: 3