Номер 242, страница 41 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

242. Найдите значение выражения:

1) $ \arccos 0 + \arcsin 1 + \text{arctg} \sqrt{3} + \text{arcctg} (-\sqrt{3}); $

2) $ 5 \arccos 1 - 6 \arcsin (-1) + 3 \text{arctg} 1 + 2 \arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right). $

1) Найдем значение выражения $arccos(0) + arcsin(1) + arctg(\sqrt{3}) + arcctg(-\sqrt{3})$.

Для этого вычислим значение каждого слагаемого по отдельности, используя определения обратных тригонометрических функций и их основные свойства.

Значение $arccos(0)$ — это угол из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен 0. Таким углом является $\frac{\pi}{2}$.

Значение $arcsin(1)$ — это угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен 1. Таким углом является $\frac{\pi}{2}$.

Значение $arctg(\sqrt{3})$ — это угол из промежутка $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $\sqrt{3}$. Таким углом является $\frac{\pi}{3}$.

Значение $arcctg(-\sqrt{3})$ — это угол из промежутка $(0; \pi)$, котангенс которого равен $-\sqrt{3}$. Используем свойство $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$. Получаем: $arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - arcctg(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Теперь сложим полученные значения:

$\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{6}$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$\frac{6\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} = \frac{6\pi + 2\pi + 5\pi}{6} = \frac{13\pi}{6}$

Ответ: $\frac{13\pi}{6}$.

2) Найдем значение выражения $5arccos(1) - 6arcsin(-1) + 3arctg(1) + 2arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Вычислим значение каждого члена выражения по отдельности.

Значение $arccos(1)$ — это угол из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен 1. Таким углом является 0. Следовательно, $5arccos(1) = 5 \cdot 0 = 0$.

Значение $arcsin(-1)$ — это угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен -1. Таким углом является $-\frac{\pi}{2}$. Следовательно, $-6arcsin(-1) = -6 \cdot (-\frac{\pi}{2}) = 3\pi$.

Значение $arctg(1)$ — это угол из промежутка $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен 1. Таким углом является $\frac{\pi}{4}$. Следовательно, $3arctg(1) = 3 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Значение $arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})$ — это угол из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Используем свойство $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$. Получаем: $arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. Следовательно, $2arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2 \cdot \frac{5\pi}{6} = \frac{10\pi}{6} = \frac{5\pi}{3}$.

Теперь сложим полученные значения:

$0 + 3\pi + \frac{3\pi}{4} + \frac{5\pi}{3}$

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$\frac{3\pi \cdot 12}{12} + \frac{3\pi \cdot 3}{12} + \frac{5\pi \cdot 4}{12} = \frac{36\pi}{12} + \frac{9\pi}{12} + \frac{20\pi}{12} = \frac{36\pi + 9\pi + 20\pi}{12} = \frac{65\pi}{12}$

Ответ: $\frac{65\pi}{12}$.