Номер 243, страница 41 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

243. Вычислите:

1) $ \text{tg} \left( \arccos \frac{1}{2} \right); $

2) $ \cos \left( 2 \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} \right); $

3) $ \sin \left( \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \text{arctg} \, 1 \right); $

4) $ \text{tg} \left( \text{arctg} \sqrt{3} - \text{arctg} \frac{1}{\sqrt{3}} + \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} \right). $

1) $\text{tg}(\text{arccos}\frac{1}{2})$

Сначала вычислим значение выражения в скобках. По определению, $\text{arccos}\frac{1}{2}$ — это угол из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен $\frac{1}{2}$. Таким углом является $\frac{\pi}{3}$.

Итак, $\text{arccos}\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$.

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$\text{tg}(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

2) $\text{cos}(2\text{arccos}\frac{\sqrt{3}}{2})$

Сначала найдем значение $\text{arccos}\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это угол из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Таким углом является $\frac{\pi}{6}$.

Подставим это значение в выражение:

$\text{cos}(2 \cdot \frac{\pi}{6}) = \text{cos}(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

Другой способ: можно использовать формулу косинуса двойного угла $\text{cos}(2\alpha) = 2\text{cos}^2\alpha - 1$.
Пусть $\alpha = \text{arccos}\frac{\sqrt{3}}{2}$, тогда $\text{cos}\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\text{cos}(2\text{arccos}\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2\text{cos}^2(\text{arccos}\frac{\sqrt{3}}{2}) - 1 = 2 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - 1 = 2 \cdot \frac{3}{4} - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

3) $\text{sin}(\text{arcsin}\frac{\sqrt{2}}{2} + 2\text{arctg}1)$

Найдем значения обратных тригонометрических функций:

$\text{arcsin}\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$, так как $\text{sin}\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и угол $\frac{\pi}{4}$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

$\text{arctg}1 = \frac{\pi}{4}$, так как $\text{tg}\frac{\pi}{4} = 1$ и угол $\frac{\pi}{4}$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Подставим найденные значения в исходное выражение:

$\text{sin}(\frac{\pi}{4} + 2 \cdot \frac{\pi}{4}) = \text{sin}(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}) = \text{sin}(\frac{3\pi}{4})$.

Используя формулу приведения, получаем: $\text{sin}(\frac{3\pi}{4}) = \text{sin}(\pi - \frac{\pi}{4}) = \text{sin}(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

4) $\text{tg}(\text{arctg}\sqrt{3} - \text{arctg}\frac{1}{\sqrt{3}} + \text{arccos}\frac{\sqrt{3}}{2})$

Найдем значения каждого слагаемого в скобках:

$\text{arctg}\sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$

$\text{arctg}\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6}$

$\text{arccos}\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$

Подставим эти значения в выражение:

$\text{tg}(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6}) = \text{tg}(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$