Номер 247, страница 42 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

247. Решите уравнение:

1) $\arcsin x = -\frac{\pi}{6}$;

2) $\arccos (x + 3) = \frac{2\pi}{3}$;

3) $\operatorname{arctg} (2x - 1) = \frac{\pi}{4}$.

1)
Дано уравнение $\arcsin x = -\frac{\pi}{6}$.
По определению арксинуса, если $\arcsin a = b$, то $\sin b = a$, при этом значение $b$ должно находиться в пределах $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
В данном случае $b = -\frac{\pi}{6}$, что удовлетворяет условию $-\frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{2}$.
Следовательно, мы можем найти $x$, взяв синус от обеих частей уравнения:
$x = \sin(-\frac{\pi}{6})$.
Поскольку синус является нечетной функцией ($\sin(-y) = -\sin(y)$), получаем:
$x = -\sin(\frac{\pi}{6})$.
Известно, что $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
Таким образом, $x = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

2)
Дано уравнение $\arccos(x + 3) = \frac{2\pi}{3}$.
По определению арккосинуса, если $\arccos a = b$, то $\cos b = a$, при этом значение $b$ должно находиться в пределах $[0; \pi]$.
В данном случае $b = \frac{2\pi}{3}$, что удовлетворяет условию $0 \le \frac{2\pi}{3} \le \pi$.
Следовательно, мы можем найти выражение $x+3$, взяв косинус от обеих частей уравнения:
$x + 3 = \cos(\frac{2\pi}{3})$.
Вычислим значение косинуса:
$\cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.
Подставим это значение обратно в уравнение:
$x + 3 = -\frac{1}{2}$.
Теперь решим для $x$:
$x = -\frac{1}{2} - 3 = -0,5 - 3 = -3,5$.
Ответ: $-3,5$.

3)
Дано уравнение $\operatorname{arctg}(2x - 1) = \frac{\pi}{4}$.
По определению арктангенса, если $\operatorname{arctg} a = b$, то $\operatorname{tg} b = a$, при этом значение $b$ должно находиться в пределах $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
В данном случае $b = \frac{\pi}{4}$, что удовлетворяет условию $-\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2}$.
Следовательно, мы можем найти выражение $2x-1$, взяв тангенс от обеих частей уравнения:
$2x - 1 = \operatorname{tg}(\frac{\pi}{4})$.
Известно, что $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$.
Подставим это значение обратно в уравнение:
$2x - 1 = 1$.
Теперь решим для $x$:
$2x = 1 + 1$
$2x = 2$
$x = 1$.
Ответ: $1$.