Номер 252, страница 43 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

252. Решите уравнение:

1) $4 \sin^2 \frac{x}{4} - 3 \sin \frac{x}{2} + 2 \cos^2 \frac{x}{4} = 0;$

2) $6 \cos^2 4x + 2 \sin 8x = 5;$

3) $4 \cos^2 5x - 3 \sin 10x = 4;$

4) $\frac{2 \cos x + 3 \sin x}{\sin x - 4 \cos x} = \frac{1}{2};$

5) $1 - \cos 6x - \sin 6x = 0;$

6) $3 \sin 4x + 2 \cos 4x = 3.$

1) $4\sin^2\frac{x}{4} - 3\sin\frac{x}{2} + 2\cos^2\frac{x}{4} = 0$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. В нашем случае $\alpha = \frac{x}{4}$, тогда $\sin\frac{x}{2} = 2\sin\frac{x}{4}\cos\frac{x}{4}$.

$4\sin^2\frac{x}{4} - 3\left(2\sin\frac{x}{4}\cos\frac{x}{4}\right) + 2\cos^2\frac{x}{4} = 0$

$4\sin^2\frac{x}{4} - 6\sin\frac{x}{4}\cos\frac{x}{4} + 2\cos^2\frac{x}{4} = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение. Проверим, является ли $\cos\frac{x}{4} = 0$ решением. Если $\cos\frac{x}{4} = 0$, то $\sin^2\frac{x}{4} = 1$, и уравнение принимает вид $4(1) - 0 + 0 = 4 = 0$, что неверно. Следовательно, $\cos\frac{x}{4} \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2\frac{x}{4}$.

$4\frac{\sin^2(x/4)}{\cos^2(x/4)} - 6\frac{\sin(x/4)\cos(x/4)}{\cos^2(x/4)} + 2\frac{\cos^2(x/4)}{\cos^2(x/4)} = 0$

$4\tan^2\frac{x}{4} - 6\tan\frac{x}{4} + 2 = 0$

Разделим на 2: $2\tan^2\frac{x}{4} - 3\tan\frac{x}{4} + 1 = 0$.

Сделаем замену $t = \tan\frac{x}{4}$. Получим квадратное уравнение: $2t^2 - 3t + 1 = 0$.

Корни этого уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = \frac{1}{2}$.

1. $\tan\frac{x}{4} = 1 \implies \frac{x}{4} = \frac{\pi}{4} + \pi n \implies x = \pi + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2. $\tan\frac{x}{4} = \frac{1}{2} \implies \frac{x}{4} = \arctan\frac{1}{2} + \pi k \implies x = 4\arctan\frac{1}{2} + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = 4\arctan(\frac{1}{2}) + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $6\cos^2 4x + 2\sin 8x = 5$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 8x = 2\sin 4x \cos 4x$ и основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2 4x + \cos^2 4x$.

$6\cos^2 4x + 2(2\sin 4x \cos 4x) = 5(\sin^2 4x + \cos^2 4x)$

$6\cos^2 4x + 4\sin 4x \cos 4x = 5\sin^2 4x + 5\cos^2 4x$

Перенесем все члены в одну сторону:

$5\sin^2 4x - 4\sin 4x \cos 4x - \cos^2 4x = 0$

Это однородное уравнение. Если $\cos 4x = 0$, то $5\sin^2 4x = 0$, что означает $\sin 4x = 0$. Это невозможно, так как $\sin^2 4x + \cos^2 4x = 1$. Значит, $\cos 4x \neq 0$. Разделим уравнение на $\cos^2 4x$.

$5\tan^2 4x - 4\tan 4x - 1 = 0$

Пусть $t = \tan 4x$. Получаем $5t^2 - 4t - 1 = 0$.

Корни уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = -\frac{1}{5}$.

1. $\tan 4x = 1 \implies 4x = \frac{\pi}{4} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.

2. $\tan 4x = -\frac{1}{5} \implies 4x = \arctan(-\frac{1}{5}) + \pi k \implies x = -\frac{1}{4}\arctan\frac{1}{5} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{1}{4}\arctan(\frac{1}{5}) + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.

3) $4\cos^2 5x - 3\sin 10x = 4$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin 10x = 2\sin 5x \cos 5x$ и тождество $1 = \sin^2 5x + \cos^2 5x$.

$4\cos^2 5x - 3(2\sin 5x \cos 5x) = 4(\sin^2 5x + \cos^2 5x)$

$4\cos^2 5x - 6\sin 5x \cos 5x = 4\sin^2 5x + 4\cos^2 5x$

$-6\sin 5x \cos 5x = 4\sin^2 5x$

$4\sin^2 5x + 6\sin 5x \cos 5x = 0$

Вынесем за скобки $2\sin 5x$:

$2\sin 5x (2\sin 5x + 3\cos 5x) = 0$

Получаем два случая:

1. $\sin 5x = 0 \implies 5x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$.

2. $2\sin 5x + 3\cos 5x = 0 \implies 2\tan 5x = -3 \implies \tan 5x = -\frac{3}{2}$.

$5x = \arctan(-\frac{3}{2}) + \pi k \implies x = -\frac{1}{5}\arctan\frac{3}{2} + \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{1}{5}\arctan(\frac{3}{2}) + \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$.

4) $\frac{2\cos x + 3\sin x}{\sin x - 4\cos x} = \frac{1}{2}$

Область допустимых значений: $\sin x - 4\cos x \neq 0$, то есть $\tan x \neq 4$.

Воспользуемся свойством пропорции:

$2(2\cos x + 3\sin x) = 1(\sin x - 4\cos x)$

$4\cos x + 6\sin x = \sin x - 4\cos x$

$5\sin x = -8\cos x$

Разделим обе части на $\cos x$ (он не может быть равен нулю, так как это повлекло бы $\sin x = 0$, что невозможно):

$5\tan x = -8 \implies \tan x = -\frac{8}{5}$.

Это значение не противоречит ОДЗ.

$x = \arctan(-\frac{8}{5}) + \pi n = -\arctan\frac{8}{5} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\arctan(\frac{8}{5}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

5) $1 - \cos 6x - \sin 6x = 0$

Перепишем уравнение в виде $1 - \cos 6x = \sin 6x$.

Применим формулу понижения степени $1 - \cos(2\alpha) = 2\sin^2\alpha$ и синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$ для $\alpha=3x$.

$2\sin^2 3x = 2\sin 3x \cos 3x$

$2\sin^2 3x - 2\sin 3x \cos 3x = 0$

Вынесем за скобки $2\sin 3x$:

$2\sin 3x (\sin 3x - \cos 3x) = 0$

Получаем два случая:

1. $\sin 3x = 0 \implies 3x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

2. $\sin 3x - \cos 3x = 0 \implies \sin 3x = \cos 3x \implies \tan 3x = 1$.

$3x = \frac{\pi}{4} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

6) $3\sin 4x + 2\cos 4x = 3$

Используем универсальную тригонометрическую подстановку. Пусть $t = \tan(2x)$. Тогда $\sin 4x = \frac{2t}{1+t^2}$ и $\cos 4x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$.

Эта подстановка не учитывает случай, когда $2x = \pi + 2\pi k$, то есть $4x = 2\pi + 4\pi k$, а точнее, когда $\cos(2x)$ не определен, то есть $4x = \pi + 2\pi k$. Проверим этот случай: если $4x = \pi + 2\pi m$, то $\cos 4x = -1$ и $\sin 4x = 0$. Уравнение примет вид $3(0) + 2(-1) = 3$, то есть $-2 = 3$, что неверно. Значит, этот случай не дает решений.

Подставляем выражения для синуса и косинуса в уравнение:

$3\left(\frac{2t}{1+t^2}\right) + 2\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right) = 3$

$6t + 2(1-t^2) = 3(1+t^2)$

$6t + 2 - 2t^2 = 3 + 3t^2$

$5t^2 - 6t + 1 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = \frac{1}{5}$.

1. $\tan(2x) = 1 \implies 2x = \frac{\pi}{4} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

2. $\tan(2x) = \frac{1}{5} \implies 2x = \arctan\frac{1}{5} + \pi k \implies x = \frac{1}{2}\arctan\frac{1}{5} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{1}{2}\arctan(\frac{1}{5}) + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.