gdz.top
Номер 256, страница 43 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рябинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-097749-4
Популярные ГДЗ в 10 классе
Упражнения. Вариант 1. Тригонометрические уравнения, сводящиеся к алгебраическим - номер 256, страница 43.
№255
№256 (с. 43)
Условие. №256 (с. 43)
256. При каких значениях $a$ имеет корни уравнение $\sin^2 x - (2a + 1)\sin x + 4a - 2 = 0?$
Решение. №256 (с. 43)
Данное уравнение является квадратным относительно $\sin x$. Сделаем замену $t = \sin x$. Поскольку область значений функции синус от $-1$ до $1$ включительно, то для существования корней исходного уравнения необходимо, чтобы хотя бы один корень полученного квадратного уравнения принадлежал отрезку $[-1; 1]$.
После замены получаем квадратное уравнение относительно $t$:
$t^2 - (2a + 1)t + 4a - 2 = 0$
Найдем дискриминант $D$ этого уравнения:
$D = (-(2a + 1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4a - 2) = (2a + 1)^2 - 4(4a - 2) = 4a^2 + 4a + 1 - 16a + 8 = 4a^2 - 12a + 9 = (2a - 3)^2$
Поскольку $D = (2a - 3)^2 \ge 0$ при любых действительных значениях $a$, квадратное уравнение всегда имеет действительные корни. Найдем эти корни:
$t_{1,2} = \frac{2a + 1 \pm \sqrt{(2a - 3)^2}}{2} = \frac{2a + 1 \pm (2a - 3)}{2}$
Вычислим каждый корень отдельно:
$t_1 = \frac{2a + 1 + (2a - 3)}{2} = \frac{4a - 2}{2} = 2a - 1$
$t_2 = \frac{2a + 1 - (2a - 3)}{2} = \frac{2a + 1 - 2a + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Теперь вернемся к замене $t = \sin x$. Исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
$\sin x = 2a - 1$
$\sin x = 2$
Уравнение $\sin x = 2$ не имеет решений, так как $2 \notin [-1; 1]$.
Следовательно, исходное уравнение будет иметь корни только в том случае, если имеет корни уравнение $\sin x = 2a - 1$. Это возможно, когда значение $2a - 1$ находится в пределах области значений функции синус, то есть:
$-1 \le 2a - 1 \le 1$
Решим это двойное неравенство, прибавив $1$ ко всем частям:
$-1 + 1 \le 2a \le 1 + 1$
$0 \le 2a \le 2$
Разделим все части на $2$:
$0 \le a \le 1$
Таким образом, исходное уравнение имеет корни при значениях $a$, принадлежащих отрезку $[0; 1]$.
Ответ: $a \in [0; 1]$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 256 расположенного на странице 43 к дидактическим материалам серии алгоритм успеха 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №256 (с. 43), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рябинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.