Номер 263, страница 45 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

263. Решите неравенство:

1) $ \sin x \le \frac{1}{2} $;

2) $ \cos x \ge \frac{\sqrt{3}}{2} $;

3) $ \operatorname{tg} x > -1 $;

4) $ \operatorname{ctg} x \le \sqrt{3} $.

1) Решим неравенство $ \sin x \le \frac{1}{2} $.
Для начала решим соответствующее уравнение $ \sin x = \frac{1}{2} $.
Корни этого уравнения: $ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n $ и $ x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Отметим эти точки на единичной окружности. Неравенству $ \sin x \le \frac{1}{2} $ соответствуют точки на окружности, ординаты которых (координата y) не превышают $ \frac{1}{2} $. Это нижняя часть окружности, ограниченная точками, соответствующими углам $ \frac{\pi}{6} $ и $ \frac{5\pi}{6} $.
Двигаясь по окружности против часовой стрелки, нужная нам дуга начинается в точке $ \frac{5\pi}{6} $ и заканчивается в точке $ \frac{\pi}{6} $ следующего оборота, т.е. $ \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6} $.
Таким образом, решение можно записать в виде двойного неравенства: $ \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \le x \le \frac{13\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Для более компактной записи можно использовать отрицательный угол: $ \frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{7\pi}{6} $. Тогда решение будет $ -\frac{7\pi}{6} + 2\pi n \le x \le \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x \in [-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n; \frac{\pi}{6} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z} $.

2) Решим неравенство $ \cos x \ge \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Сначала решим уравнение $ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Корни этого уравнения: $ x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
На единичной окружности этим корням соответствуют точки с абсциссой (координатой x) $ \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Неравенству $ \cos x \ge \frac{\sqrt{3}}{2} $ соответствуют точки на окружности, абсциссы которых больше или равны $ \frac{\sqrt{3}}{2} $. Это дуга окружности, расположенная правее вертикальной прямой $ x = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Эта дуга заключена между углами $ -\frac{\pi}{6} $ и $ \frac{\pi}{6} $.
Следовательно, решение неравенства, учитывая периодичность функции косинус, можно записать в виде: $ -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \le x \le \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x \in [-\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{\pi}{6} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z} $.

3) Решим неравенство $ \operatorname{tg} x > -1 $.
Область определения тангенса: $ x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $. Период функции $ \pi $.
Решим уравнение $ \operatorname{tg} x = -1 $. Корень уравнения $ x = \operatorname{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4} $. Общее решение: $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Рассмотрим решение на одном периоде, например, на интервале $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $. На этом интервале функция $ \operatorname{tg} x $ возрастает.
Следовательно, неравенство $ \operatorname{tg} x > -1 $ выполняется для $ x $, больших, чем $ -\frac{\pi}{4} $, и до конца интервала (до асимптоты).
Таким образом, на одном периоде решение: $ -\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2} $.
Учитывая периодичность, общее решение: $ -\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x \in (-\frac{\pi}{4} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n), n \in \mathbb{Z} $.

4) Решим неравенство $ \operatorname{ctg} x \le \sqrt{3} $.
Область определения котангенса: $ x \ne \pi n, n \in \mathbb{Z} $. Период функции $ \pi $.
Решим уравнение $ \operatorname{ctg} x = \sqrt{3} $. Корень уравнения $ x = \operatorname{arcctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6} $. Общее решение: $ x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Рассмотрим решение на одном периоде, например, на интервале $ (0; \pi) $. На этом интервале функция $ \operatorname{ctg} x $ убывает.
Следовательно, неравенство $ \operatorname{ctg} x \le \sqrt{3} $ выполняется для $ x $, больших или равных $ \frac{\pi}{6} $, и до конца интервала (до асимптоты).
Таким образом, на одном периоде решение: $ \frac{\pi}{6} \le x < \pi $.
Учитывая периодичность, общее решение: $ \frac{\pi}{6} + \pi n \le x < \pi + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x \in [\frac{\pi}{6} + \pi n; \pi + \pi n), n \in \mathbb{Z} $.