Номер 266, страница 45 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

266. Решите неравенство:

1) $2\sin^2 3x > \frac{1}{2};$

2) $\sin 2x \cos\frac{x}{3} + \sin\frac{x}{3}\cos 2x \le \frac{\sqrt{2}}{2}.$

1)

Исходное неравенство: $2\sin^2 3x > \frac{1}{2}$.

Разделим обе части неравенства на 2:

$\sin^2 3x > \frac{1}{4}$

Для решения этого неравенства воспользуемся формулой понижения степени: $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$. В нашем случае $\alpha = 3x$.

$\frac{1 - \cos(2 \cdot 3x)}{2} > \frac{1}{4}$

$\frac{1 - \cos 6x}{2} > \frac{1}{4}$

Умножим обе части на 2:

$1 - \cos 6x > \frac{1}{2}$

Выразим $\cos 6x$:

$-\cos 6x > \frac{1}{2} - 1$

$-\cos 6x > -\frac{1}{2}$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$\cos 6x < \frac{1}{2}$

Введем замену переменной: пусть $t = 6x$. Неравенство примет вид:

$\cos t < \frac{1}{2}$

Решим это неравенство с помощью единичной окружности. Значения $t$, для которых $\cos t = \frac{1}{2}$, равны $t = \frac{\pi}{3}$ и $t = -\frac{\pi}{3}$ (или $t = \frac{5\pi}{3}$). Косинус меньше $\frac{1}{2}$ на дуге между этими точками.

Таким образом, решение для $t$ имеет вид:

$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь вернемся к переменной $x$, подставив $t = 6x$:

$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < 6x < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$

Разделим все части двойного неравенства на 6:

$\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{6} < x < \frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi n}{6}$

$\frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3} < x < \frac{5\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}; \frac{5\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}), n \in \mathbb{Z}$.

2)

Исходное неравенство: $\sin 2x \cos \frac{x}{3} + \sin \frac{x}{3} \cos 2x \le \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Левая часть неравенства представляет собой формулу синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.

В нашем случае $\alpha = 2x$ и $\beta = \frac{x}{3}$. Применим эту формулу:

$\sin(2x + \frac{x}{3}) \le \frac{\sqrt{2}}{2}$

Упростим выражение в аргументе синуса:

$2x + \frac{x}{3} = \frac{6x}{3} + \frac{x}{3} = \frac{7x}{3}$

Неравенство принимает вид:

$\sin(\frac{7x}{3}) \le \frac{\sqrt{2}}{2}$

Введем замену переменной: пусть $t = \frac{7x}{3}$. Неравенство примет вид:

$\sin t \le \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решим это неравенство с помощью единичной окружности. Значения $t$, для которых $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$, равны $t = \frac{\pi}{4}$ и $t = \frac{3\pi}{4}$. Синус меньше или равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на дуге, начинающейся в точке $\frac{3\pi}{4}$ и заканчивающейся в точке $\frac{\pi}{4}$ (при движении в положительном направлении).

Таким образом, решение для $t$ имеет вид:

$\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \le t \le 2\pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, что можно записать как $\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \le t \le \frac{9\pi}{4} + 2\pi n$.
Более удобная форма записи этого интервала: $-\frac{5\pi}{4} + 2\pi n \le t \le \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Вернемся к переменной $x$, подставив $t = \frac{7x}{3}$:

$-\frac{5\pi}{4} + 2\pi n \le \frac{7x}{3} \le \frac{\pi}{4} + 2\pi n$

Чтобы найти $x$, умножим все части двойного неравенства на $\frac{3}{7}$:

$\frac{3}{7}(-\frac{5\pi}{4} + 2\pi n) \le x \le \frac{3}{7}(\frac{\pi}{4} + 2\pi n)$

$-\frac{15\pi}{28} + \frac{6\pi n}{7} \le x \le \frac{3\pi}{28} + \frac{6\pi n}{7}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [-\frac{15\pi}{28} + \frac{6\pi n}{7}; \frac{3\pi}{28} + \frac{6\pi n}{7}], n \in \mathbb{Z}$.