Номер 273, страница 48 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

273. Найдите производную функции:

1) $y = 2x - 1;$

2) $y = \frac{4 - x}{6};$

3) $y = -8;$

4) $y = x^8;$

5) $y = \frac{1}{x^7};$

6) $y = x^{1,4};$

7) $y = x^{-2,3};$

8) $y = \sqrt[5]{x};$

9) $y = \sqrt[7]{x^5};$

10) $y = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}.$

Для нахождения производных будем использовать основные правила дифференцирования, в частности, формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, а также правила дифференцирования суммы, разности и произведения функции на константу.

1) Дана функция $y = 2x - 1$.
Производная суммы/разности равна сумме/разности производных: $y' = (2x - 1)' = (2x)' - (1)'$.
Производная от $kx$ равна $k$, а производная константы равна 0.
Следовательно, $y' = 2 - 0 = 2$.
Ответ: $y' = 2$.

2) Дана функция $y = \frac{4 - x}{6}$.
Представим функцию в виде разности двух дробей: $y = \frac{4}{6} - \frac{x}{6} = \frac{2}{3} - \frac{1}{6}x$.
Находим производную: $y' = (\frac{2}{3} - \frac{1}{6}x)' = (\frac{2}{3})' - (\frac{1}{6}x)' = 0 - \frac{1}{6} = -\frac{1}{6}$.
Ответ: $y' = -\frac{1}{6}$.

3) Дана функция $y = -8$.
Это константа, производная любой константы равна нулю.
$y' = (-8)' = 0$.
Ответ: $y' = 0$.

4) Дана функция $y = x^8$.
Используем формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, где $n=8$.
$y' = (x^8)' = 8x^{8-1} = 8x^7$.
Ответ: $y' = 8x^7$.

5) Дана функция $y = \frac{1}{x^7}$.
Представим функцию в виде степени с отрицательным показателем: $y = x^{-7}$.
Применим формулу $(x^n)' = nx^{n-1}$, где $n=-7$.
$y' = (x^{-7})' = -7x^{-7-1} = -7x^{-8} = -\frac{7}{x^8}$.
Ответ: $y' = -7x^{-8}$.

6) Дана функция $y = x^{1,4}$.
Используем формулу $(x^n)' = nx^{n-1}$, где $n=1,4$.
$y' = (x^{1,4})' = 1,4x^{1,4-1} = 1,4x^{0,4}$.
Ответ: $y' = 1,4x^{0,4}$.

7) Дана функция $y = x^{-2,3}$.
Используем формулу $(x^n)' = nx^{n-1}$, где $n=-2,3$.
$y' = (x^{-2,3})' = -2,3x^{-2,3-1} = -2,3x^{-3,3}$.
Ответ: $y' = -2,3x^{-3,3}$.

8) Дана функция $y = \sqrt[5]{x}$.
Представим корень в виде степени с дробным показателем: $y = x^{\frac{1}{5}}$.
Применим формулу $(x^n)' = nx^{n-1}$, где $n=\frac{1}{5}$.
$y' = (x^{\frac{1}{5}})' = \frac{1}{5}x^{\frac{1}{5}-1} = \frac{1}{5}x^{-\frac{4}{5}} = \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}$.
Ответ: $y' = \frac{1}{5}x^{-\frac{4}{5}}$.

9) Дана функция $y = \sqrt[7]{x^5}$.
Представим корень в виде степени с дробным показателем: $y = x^{\frac{5}{7}}$.
Применим формулу $(x^n)' = nx^{n-1}$, где $n=\frac{5}{7}$.
$y' = (x^{\frac{5}{7}})' = \frac{5}{7}x^{\frac{5}{7}-1} = \frac{5}{7}x^{-\frac{2}{7}} = \frac{5}{7\sqrt[7]{x^2}}$.
Ответ: $y' = \frac{5}{7}x^{-\frac{2}{7}}$.

10) Дана функция $y = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$.
Представим функцию в виде степени с отрицательным дробным показателем: $y = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = x^{-\frac{2}{3}}$.
Применим формулу $(x^n)' = nx^{n-1}$, где $n=-\frac{2}{3}$.
$y' = (x^{-\frac{2}{3}})' = -\frac{2}{3}x^{-\frac{2}{3}-1} = -\frac{2}{3}x^{-\frac{5}{3}} = -\frac{2}{3\sqrt[3]{x^5}}$.
Ответ: $y' = -\frac{2}{3}x^{-\frac{5}{3}}$.