Номер 279, страница 49 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

279. Касательная к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет угловой коэффициент $k$. Найдите $x_0$, если:

1) $f(x) = x^5, k = \frac{1}{125}$;

2) $f(x) = \sqrt[6]{x}, k = \frac{1}{6}$;

3) $f(x) = \cos x, k = -\frac{1}{2}$.

Угловой коэффициент $k$ касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$. Для нахождения $x_0$ необходимо найти производную $f'(x)$, приравнять её к заданному значению $k$ и решить полученное уравнение.

1) Дана функция $f(x) = x^5$ и угловой коэффициент $k = \frac{1}{125}$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^5)' = 5x^4$.

Теперь составим и решим уравнение $f'(x_0) = k$:

$5x_0^4 = \frac{1}{125}$

Разделим обе части на 5:

$x_0^4 = \frac{1}{125 \cdot 5} = \frac{1}{625}$

Так как $625 = 5^4$, уравнение принимает вид:

$x_0^4 = (\frac{1}{5})^4$

Это уравнение имеет два действительных корня:

$x_0 = \frac{1}{5}$ и $x_0 = -\frac{1}{5}$.

Ответ: $x_0 = \pm\frac{1}{5}$.

2) Дана функция $f(x) = \sqrt[6]{x}$ и угловой коэффициент $k = \frac{1}{6}$.

Представим функцию в виде степени для удобства дифференцирования: $f(x) = x^{\frac{1}{6}}$.

Найдем производную функции (при $x > 0$):

$f'(x) = (x^{\frac{1}{6}})' = \frac{1}{6}x^{\frac{1}{6}-1} = \frac{1}{6}x^{-\frac{5}{6}} = \frac{1}{6\sqrt[6]{x^5}}$.

Составим и решим уравнение $f'(x_0) = k$:

$\frac{1}{6\sqrt[6]{x_0^5}} = \frac{1}{6}$

Из равенства дробей следует равенство их знаменателей:

$6\sqrt[6]{x_0^5} = 6$

$\sqrt[6]{x_0^5} = 1$

Возведем обе части уравнения в шестую степень:

$x_0^5 = 1^6$

$x_0^5 = 1$

Отсюда получаем единственный действительный корень $x_0 = 1$.

Ответ: $x_0 = 1$.

3) Дана функция $f(x) = \cos x$ и угловой коэффициент $k = -\frac{1}{2}$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

Составим и решим уравнение $f'(x_0) = k$:

$-\sin x_0 = -\frac{1}{2}$

$\sin x_0 = \frac{1}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его общее решение имеет вид:

$x_0 = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Так как $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$, то получаем:

$x_0 = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x_0 = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.