Номер 285, страница 50 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

285. Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$:

1) $f(x) = \cos^4 3x$, $x_0 = \frac{\pi}{9}$;

2) $f(x) = \sqrt{4x^2 - 5x}$, $x_0 = -1$.

1) $f(x) = \cos^4 3x, x_0 = \frac{\pi}{9}$

Угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции в точке с абсциссой $x_0$, равен значению производной этой функции в данной точке, то есть $k = f'(x_0)$.

Сначала найдём производную функции $f(x) = \cos^4 3x$. Это сложная функция, поэтому для нахождения её производной воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом): $(u(v(x)))' = u'(v(x)) \cdot v'(x)$.

Пусть $u = \cos 3x$, тогда $f(u) = u^4$. Производная $f'(u) = 4u^3$.

Производная от $u(x) = \cos 3x$ также находится по цепному правилу:$u'(x) = (\cos 3x)' = -\sin(3x) \cdot (3x)' = -3\sin 3x$.

Теперь соберём всё вместе:

$f'(x) = 4(\cos 3x)^3 \cdot (-3\sin 3x) = -12\cos^3 3x \sin 3x$.

Далее вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{9}$:

$k = f'(\frac{\pi}{9}) = -12\cos^3(3 \cdot \frac{\pi}{9})\sin(3 \cdot \frac{\pi}{9}) = -12\cos^3(\frac{\pi}{3})\sin(\frac{\pi}{3})$.

Мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим эти значения в выражение:

$k = -12 \cdot (\frac{1}{2})^3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -12 \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{12\sqrt{3}}{16} = -\frac{3\sqrt{3}}{4}$.

Ответ: $-\frac{3\sqrt{3}}{4}$.

2) $f(x) = \sqrt{4x^2 - 5x}, x_0 = -1$

Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Найдём производную функции $f(x) = \sqrt{4x^2 - 5x}$. Используем правило дифференцирования сложной функции, где $(\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u'$.

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{4x^2 - 5x}} \cdot (4x^2 - 5x)'$.

Найдём производную подкоренного выражения:

$(4x^2 - 5x)' = 4 \cdot 2x - 5 = 8x - 5$.

Тогда производная всей функции равна:

$f'(x) = \frac{8x - 5}{2\sqrt{4x^2 - 5x}}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$:

$k = f'(-1) = \frac{8(-1) - 5}{2\sqrt{4(-1)^2 - 5(-1)}} = \frac{-8 - 5}{2\sqrt{4(1) + 5}} = \frac{-13}{2\sqrt{9}}$.

$k = \frac{-13}{2 \cdot 3} = -\frac{13}{6}$.

Ответ: $-\frac{13}{6}$.