Номер 282, страница 49 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

282. Найдите производную функции:

1) $y = (x^3 - 2)(x^2 + 1)$;

2) $y = \sqrt{x}(3x^2 + 2)$;

3) $y = (\sqrt{x} + 1)(3 - 2\sqrt{x})$;

4) $y = (x^2 - 3x + 1)(x^4 - 3x + 2)$;

5) $y = x^2 \cos x$;

6) $y = 3x \operatorname{tg} x$.

1) Для нахождения производной функции $y = (x^3 - 2)(x^2 + 1)$ воспользуемся правилом производной произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u = x^3 - 2$ и $v = x^2 + 1$.

Найдем производные этих функций:

$u' = (x^3 - 2)' = 3x^2$

$v' = (x^2 + 1)' = 2x$

Теперь подставим найденные производные в формулу:

$y' = u'v + uv' = (3x^2)(x^2 + 1) + (x^3 - 2)(2x)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$y' = 3x^4 + 3x^2 + 2x^4 - 4x = 5x^4 + 3x^2 - 4x$

Ответ: $y' = 5x^4 + 3x^2 - 4x$

2) Для функции $y = \sqrt{x}(3x^2 + 2)$ также используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u = \sqrt{x} = x^{1/2}$ и $v = 3x^2 + 2$.

Найдем их производные:

$u' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$v' = (3x^2 + 2)' = 6x$

Подставляем в формулу:

$y' = u'v + uv' = (\frac{1}{2\sqrt{x}})(3x^2 + 2) + (\sqrt{x})(6x)$

Упростим полученное выражение:

$y' = \frac{3x^2}{2\sqrt{x}} + \frac{2}{2\sqrt{x}} + 6x\sqrt{x} = \frac{3}{2}x^{3/2} + \frac{1}{\sqrt{x}} + 6x^{3/2}$

$y' = (\frac{3}{2} + 6)x^{3/2} + \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{15}{2}x^{3/2} + \frac{1}{\sqrt{x}}$

Ответ: $y' = \frac{15}{2}x^{3/2} + \frac{1}{\sqrt{x}}$

3) Для функции $y = (\sqrt{x} + 1)(3 - 2\sqrt{x})$ сначала упростим выражение, раскрыв скобки.

$y = \sqrt{x} \cdot 3 - \sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x} + 1 \cdot 3 - 1 \cdot 2\sqrt{x}$

$y = 3\sqrt{x} - 2x + 3 - 2\sqrt{x}$

$y = \sqrt{x} - 2x + 3$

Теперь найдем производную полученной функции, представив $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$:

$y' = (x^{1/2} - 2x + 3)' = (x^{1/2})' - (2x)' + (3)'$

$y' = \frac{1}{2}x^{-1/2} - 2 + 0 = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 2$

Ответ: $y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 2$

4) Для функции $y = (x^2 - 3x + 1)(x^4 - 3x + 2)$ используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u = x^2 - 3x + 1$ и $v = x^4 - 3x + 2$.

Найдем их производные:

$u' = (x^2 - 3x + 1)' = 2x - 3$

$v' = (x^4 - 3x + 2)' = 4x^3 - 3$

Подставляем в формулу:

$y' = (2x - 3)(x^4 - 3x + 2) + (x^2 - 3x + 1)(4x^3 - 3)$

Раскроем скобки:

$y' = (2x^5 - 6x^2 + 4x - 3x^4 + 9x - 6) + (4x^5 - 3x^2 - 12x^4 + 9x + 4x^3 - 3)$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$y' = (2x^5+4x^5) + (-3x^4-12x^4) + 4x^3 + (-6x^2-3x^2) + (4x+9x+9x) + (-6-3)$

$y' = 6x^5 - 15x^4 + 4x^3 - 9x^2 + 22x - 9$

Ответ: $y' = 6x^5 - 15x^4 + 4x^3 - 9x^2 + 22x - 9$

5) Для функции $y = x^2 \cos x$ применяем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u = x^2$ и $v = \cos x$.

Их производные:

$u' = (x^2)' = 2x$

$v' = (\cos x)' = -\sin x$

Подставляем в формулу:

$y' = u'v + uv' = (2x)(\cos x) + (x^2)(-\sin x)$

$y' = 2x \cos x - x^2 \sin x$

Ответ: $y' = 2x \cos x - x^2 \sin x$

6) Для функции $y = 3x \operatorname{tg} x$ вынесем константу 3 за знак производной и применим правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

$y' = 3 \cdot (x \operatorname{tg} x)'$

Пусть $u = x$ и $v = \operatorname{tg} x$.

Их производные:

$u' = (x)' = 1$

$v' = (\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$

Найдем производную произведения $x \operatorname{tg} x$:

$(x \operatorname{tg} x)' = u'v + uv' = (1)(\operatorname{tg} x) + (x)(\frac{1}{\cos^2 x}) = \operatorname{tg} x + \frac{x}{\cos^2 x}$

Теперь умножим результат на 3:

$y' = 3(\operatorname{tg} x + \frac{x}{\cos^2 x}) = 3\operatorname{tg} x + \frac{3x}{\cos^2 x}$

Ответ: $y' = 3\operatorname{tg} x + \frac{3x}{\cos^2 x}$