Номер 283, страница 49 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

283. Найдите производную функции:

1) $y = \frac{3x - 7}{5 - 2x}$;

2) $y = \frac{x^2 + 5x}{x - 3}$;

3) $y = \frac{x - 1}{\sqrt{x}}技术服务，请联系邮箱：support@chatmind.tech$;

4) $y = \frac{\sqrt{x}}{4x - 1}$;

5) $y = \frac{1 - \sin x}{1 + \sin x}$;

6) $y = \frac{3 \cos x}{x^3}$.

1)Для нахождения производной функции $y = \frac{3x-7}{5-2x}$ используется правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
В данном случае, $u = 3x-7$ и $v = 5-2x$.
Найдем производные $u'$ и $v'$:
$u' = (3x-7)' = 3$
$v' = (5-2x)' = -2$
Подставим эти значения в формулу производной частного:
$y' = \frac{3(5-2x) - (3x-7)(-2)}{(5-2x)^2} = \frac{15 - 6x - (-6x + 14)}{(5-2x)^2} = \frac{15 - 6x + 6x - 14}{(5-2x)^2} = \frac{1}{(5-2x)^2}$.
Ответ: $y' = \frac{1}{(5-2x)^2}$.

2)Для нахождения производной функции $y = \frac{x^2+5x}{x-3}$ используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Здесь $u = x^2+5x$ и $v = x-3$.
Найдем производные числителя и знаменателя:
$u' = (x^2+5x)' = 2x+5$
$v' = (x-3)' = 1$
Подставляем в формулу:
$y' = \frac{(2x+5)(x-3) - (x^2+5x)(1)}{(x-3)^2} = \frac{2x^2 - 6x + 5x - 15 - x^2 - 5x}{(x-3)^2} = \frac{x^2 - 6x - 15}{(x-3)^2}$.
Ответ: $y' = \frac{x^2 - 6x - 15}{(x-3)^2}$.

3)Для нахождения производной функции $y = \frac{x-1}{\sqrt{x}}$ используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
В данном случае $u = x-1$ и $v = \sqrt{x} = x^{1/2}$.
Найдем производные:
$u' = (x-1)' = 1$
$v' = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
Подставляем в формулу:
$y' = \frac{1 \cdot \sqrt{x} - (x-1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x})^2} = \frac{\sqrt{x} - \frac{x-1}{2\sqrt{x}}}{x}$.
Чтобы упростить выражение, умножим числитель и знаменатель дроби на $2\sqrt{x}$:
$y' = \frac{(\sqrt{x} - \frac{x-1}{2\sqrt{x}}) \cdot 2\sqrt{x}}{x \cdot 2\sqrt{x}} = \frac{2(\sqrt{x})^2 - (x-1)}{2x\sqrt{x}} = \frac{2x - x + 1}{2x\sqrt{x}} = \frac{x+1}{2x\sqrt{x}}$.
Ответ: $y' = \frac{x+1}{2x\sqrt{x}}$.

4)Для нахождения производной функции $y = \frac{\sqrt{x}}{4x-1}$ используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Здесь $u = \sqrt{x}$ и $v = 4x-1$.
Найдем производные:
$u' = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
$v' = (4x-1)' = 4$
Подставляем в формулу:
$y' = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(4x-1) - \sqrt{x} \cdot 4}{(4x-1)^2} = \frac{\frac{4x-1}{2\sqrt{x}} - 4\sqrt{x}}{(4x-1)^2}$.
Умножим числитель и знаменатель на $2\sqrt{x}$, чтобы избавиться от дроби в числителе:
$y' = \frac{(\frac{4x-1}{2\sqrt{x}} - 4\sqrt{x}) \cdot 2\sqrt{x}}{(4x-1)^2 \cdot 2\sqrt{x}} = \frac{4x-1 - 4\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}(4x-1)^2} = \frac{4x-1 - 8x}{2\sqrt{x}(4x-1)^2} = \frac{-4x-1}{2\sqrt{x}(4x-1)^2}$.
Ответ: $y' = -\frac{4x+1}{2\sqrt{x}(4x-1)^2}$.

5)Для нахождения производной функции $y = \frac{1-\sin x}{1+\sin x}$ используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
В нашем случае $u = 1-\sin x$ и $v = 1+\sin x$.
Найдем производные:
$u' = (1-\sin x)' = -\cos x$
$v' = (1+\sin x)' = \cos x$
Подставляем в формулу:
$y' = \frac{-\cos x(1+\sin x) - (1-\sin x)\cos x}{(1+\sin x)^2} = \frac{-\cos x - \cos x \sin x - \cos x + \cos x \sin x}{(1+\sin x)^2} = \frac{-2\cos x}{(1+\sin x)^2}$.
Ответ: $y' = \frac{-2\cos x}{(1+\sin x)^2}$.

6)Для нахождения производной функции $y = \frac{3\cos x}{x^3}$ используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Здесь $u = 3\cos x$ и $v = x^3$.
Найдем производные:
$u' = (3\cos x)' = -3\sin x$
$v' = (x^3)' = 3x^2$
Подставляем в формулу:
$y' = \frac{-3\sin x \cdot x^3 - 3\cos x \cdot 3x^2}{(x^3)^2} = \frac{-3x^3\sin x - 9x^2\cos x}{x^6}$.
Вынесем общий множитель $-3x^2$ в числителе и сократим дробь:
$y' = \frac{-3x^2(x\sin x + 3\cos x)}{x^6} = \frac{-3(x\sin x + 3\cos x)}{x^4}$.
Ответ: $y' = -\frac{3(x\sin x + 3\cos x)}{x^4}$.