gdz.top
Номер 290, страница 51 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рябинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-097749-4
Популярные ГДЗ в 10 классе
Упражнения. Вариант 1. Уравнение касательной - номер 290, страница 51.
№289
№290 (с. 51)
Условие. №290 (с. 51)
290. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = \frac{x-4}{x^2-2}$ в точке его пересечения с осью абсцисс.
Решение. №290 (с. 51)
Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
1. Нахождение точки касания.
Точка касания — это точка пересечения графика функции с осью абсцисс (осью Ox). В этой точке ордината (значение функции) равна нулю: $f(x) = 0$.
$\frac{x-4}{x^2-2} = 0$
Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
$x - 4 = 0 \implies x_0 = 4$.
Проверим, что знаменатель не обращается в ноль при $x=4$:
$4^2 - 2 = 16 - 2 = 14 \neq 0$.
Следовательно, абсцисса точки касания $x_0 = 4$. Ордината в этой точке $y_0 = f(4) = 0$. Таким образом, точка касания — $(4; 0)$.
2. Нахождение производной функции.
Чтобы найти угловой коэффициент касательной, нужно вычислить значение производной $f'(x)$ в точке $x_0 = 4$.
Воспользуемся правилом дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = \left(\frac{x-4}{x^2-2}\right)' = \frac{(x-4)'(x^2-2) - (x-4)(x^2-2)'}{(x^2-2)^2}$
$f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2-2) - (x-4) \cdot 2x}{(x^2-2)^2} = \frac{x^2 - 2 - 2x^2 + 8x}{(x^2-2)^2} = \frac{-x^2 + 8x - 2}{(x^2-2)^2}$
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 4$:
$f'(4) = \frac{-4^2 + 8(4) - 2}{(4^2-2)^2} = \frac{-16 + 32 - 2}{(16-2)^2} = \frac{14}{14^2} = \frac{1}{14}$.
Угловой коэффициент касательной $k = f'(4) = \frac{1}{14}$.
3. Составление уравнения касательной.
Подставим найденные значения $x_0 = 4$, $f(x_0) = 0$ и $f'(x_0) = \frac{1}{14}$ в общую формулу уравнения касательной:
$y = 0 + \frac{1}{14}(x - 4)$
$y = \frac{1}{14}x - \frac{4}{14}$
$y = \frac{1}{14}x - \frac{2}{7}$
Ответ: $y = \frac{1}{14}x - \frac{2}{7}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 290 расположенного на странице 51 к дидактическим материалам серии алгоритм успеха 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №290 (с. 51), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рябинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.