Номер 294, страница 51 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

294. Найдите уравнение касательной к графику функции $f(x) = \frac{x-3}{4-x}$ в точке с абсциссой $x_0 = 3$. Существуют ли прямые, параллельные найденной касательной, которые также являются касательными к графику данной функции?

1. Найдем уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0 = 3$.

Уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Дана функция $f(x) = \frac{x-3}{4-x}$ и точка $x_0 = 3$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 3$:
$f(3) = \frac{3-3}{4-3} = \frac{0}{1} = 0$.

2. Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = \frac{(x-3)'(4-x) - (x-3)(4-x)'}{(4-x)^2} = \frac{1 \cdot (4-x) - (x-3) \cdot (-1)}{(4-x)^2} = \frac{4-x + x-3}{(4-x)^2} = \frac{1}{(4-x)^2}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 3$. Это значение является угловым коэффициентом $k$ касательной:
$k = f'(3) = \frac{1}{(4-3)^2} = \frac{1}{1^2} = 1$.

4. Подставим найденные значения $x_0=3$, $f(x_0)=0$ и $f'(x_0)=1$ в уравнение касательной:
$y = 0 + 1 \cdot (x - 3)$
$y = x - 3$.
Ответ: $y = x - 3$.

2. Существуют ли прямые, параллельные найденной касательной, которые также являются касательными к графику данной функции?

Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент найденной касательной $k = 1$.
Чтобы найти другие касательные, параллельные данной, нужно найти другие точки $x$, в которых производная функции $f(x)$ также равна 1.
Решим уравнение $f'(x) = 1$:
$\frac{1}{(4-x)^2} = 1$
$(4-x)^2 = 1$
Это уравнение эквивалентно двум уравнениям:
1) $4-x = 1 \implies x = 3$. Это абсцисса исходной точки касания.
2) $4-x = -1 \implies x = 5$. Это абсцисса новой точки, в которой касательная имеет тот же угловой коэффициент.
Поскольку существует еще одна точка ($x=5$), в которой касательная к графику функции имеет угловой коэффициент, равный 1, то существует еще одна касательная, параллельная найденной.
Ответ: Да, существуют.