Номер 297, страница 51 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

297. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = \frac{3x-1}{x+2}$;

2) $f(x) = x + \frac{5}{x}$;

3) $f(x) = \frac{x^2 - 2,5x}{x+2}$.

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции необходимо исследовать знак ее производной. Если производная $f'(x) > 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке. Если $f'(x) < 0$, то функция убывает.

1) $f(x) = \frac{3x-1}{x+2}$

1. Найдем область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x+2 \neq 0$, следовательно, $x \neq -2$. Область определения $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

2. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \left(\frac{3x-1}{x+2}\right)' = \frac{(3x-1)'(x+2) - (3x-1)(x+2)'}{(x+2)^2} = \frac{3(x+2) - (3x-1) \cdot 1}{(x+2)^2} = \frac{3x+6-3x+1}{(x+2)^2} = \frac{7}{(x+2)^2}$.

3. Определим знак производной. Числитель $7 > 0$. Знаменатель $(x+2)^2 > 0$ при всех $x$ из области определения. Следовательно, $f'(x) > 0$ при всех $x \in D(f)$.

4. Так как производная положительна на всей области определения, функция возрастает на каждом из промежутков, входящих в область определения.

Промежутки возрастания: $(-\infty; -2)$ и $(-2; +\infty)$.
Промежутков убывания нет.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -2)$ и $(-2; +\infty)$; промежутков убывания нет.

2) $f(x) = x + \frac{5}{x}$

1. Найдем область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = (x + \frac{5}{x})' = (x)' + (5x^{-1})' = 1 - 5x^{-2} = 1 - \frac{5}{x^2} = \frac{x^2-5}{x^2}$.

3. Найдем критические точки. Приравняем производную к нулю: $f'(x) = 0$.

$\frac{x^2-5}{x^2} = 0 \implies x^2-5 = 0 \implies x^2 = 5 \implies x_1 = -\sqrt{5}, x_2 = \sqrt{5}$.

Производная не существует в точке $x=0$, которая не входит в область определения функции.

4. Критические точки $x = -\sqrt{5}$ и $x = \sqrt{5}$ и точка разрыва $x=0$ разбивают числовую ось на промежутки: $(-\infty; -\sqrt{5})$, $(-\sqrt{5}; 0)$, $(0; \sqrt{5})$ и $(\sqrt{5}; +\infty)$. Определим знак производной на каждом промежутке.

Знак $f'(x) = \frac{x^2-5}{x^2}$ совпадает со знаком числителя $x^2-5$, так как знаменатель $x^2 > 0$ при $x \neq 0$.

• При $x \in (-\infty; -\sqrt{5})$, например $x=-3$: $f'(-3) = \frac{(-3)^2-5}{(-3)^2} = \frac{4}{9} > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (-\sqrt{5}; 0)$, например $x=-1$: $f'(-1) = \frac{(-1)^2-5}{(-1)^2} = -4 < 0$, функция убывает.
• При $x \in (0; \sqrt{5})$, например $x=1$: $f'(1) = \frac{1^2-5}{1^2} = -4 < 0$, функция убывает.
• При $x \in (\sqrt{5}; +\infty)$, например $x=3$: $f'(3) = \frac{3^2-5}{3^2} = \frac{4}{9} > 0$, функция возрастает.

5. Запишем промежутки возрастания и убывания, включая концы промежутков (критические точки), так как функция в них непрерывна.

Промежутки возрастания: $(-\infty; -\sqrt{5}]$ и $[\sqrt{5}; +\infty)$.
Промежутки убывания: $[-\sqrt{5}; 0)$ и $(0; \sqrt{5}]$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -\sqrt{5}]$ и $[\sqrt{5}; +\infty)$; убывает на промежутках $[-\sqrt{5}; 0)$ и $(0; \sqrt{5}]$.

3) $f(x) = \frac{x^2 - 2,5x}{x+2}$

1. Найдем область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x+2 \neq 0$, следовательно, $x \neq -2$. Область определения $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

2. Найдем производную функции по правилу дифференцирования частного:

$f'(x) = \left(\frac{x^2 - 2,5x}{x+2}\right)' = \frac{(x^2 - 2,5x)'(x+2) - (x^2 - 2,5x)(x+2)'}{(x+2)^2} = \frac{(2x - 2,5)(x+2) - (x^2 - 2,5x) \cdot 1}{(x+2)^2}$.

Раскроем скобки в числителе:
$(2x - 2,5)(x+2) = 2x^2 + 4x - 2,5x - 5 = 2x^2 + 1,5x - 5$.
$f'(x) = \frac{2x^2 + 1,5x - 5 - x^2 + 2,5x}{(x+2)^2} = \frac{x^2 + 4x - 5}{(x+2)^2}$.

3. Найдем критические точки. Приравняем производную к нулю: $f'(x) = 0$.

$\frac{x^2 + 4x - 5}{(x+2)^2} = 0 \implies x^2 + 4x - 5 = 0$.

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -4$, $x_1 \cdot x_2 = -5$. Корни: $x_1 = -5$ и $x_2 = 1$.

Производная не существует в точке $x=-2$, которая не входит в область определения функции.

4. Критические точки $x = -5$ и $x = 1$ и точка разрыва $x=-2$ разбивают числовую ось на промежутки: $(-\infty; -5)$, $(-5; -2)$, $(-2; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знак производной на каждом промежутке.

Знак $f'(x) = \frac{x^2 + 4x - 5}{(x+2)^2}$ совпадает со знаком числителя $x^2 + 4x - 5$, так как знаменатель $(x+2)^2 > 0$ при $x \neq -2$. Числитель $x^2 + 4x - 5 = (x+5)(x-1)$ является параболой с ветвями вверх, пересекающей ось Ox в точках -5 и 1. Он положителен вне корней и отрицателен между ними.

• При $x \in (-\infty; -5)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (-5; -2)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (-2; 1)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (1; +\infty)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.

5. Запишем промежутки возрастания и убывания, включая концы промежутков (критические точки), так как функция в них непрерывна.

Промежутки возрастания: $(-\infty; -5]$ и $[1; +\infty)$.
Промежутки убывания: $[-5; -2)$ и $(-2; 1]$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -5]$ и $[1; +\infty)$; убывает на промежутках $[-5; -2)$ и $(-2; 1]$.