Номер 304, страница 53 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Для того чтобы найти промежутки возрастания и убывания, а также точки экстремума функции $f(x) = x^4 + 5x^3 - 11$, необходимо исследовать её производную.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (x^4 + 5x^3 - 11)' = 4x^3 + 15x^2$.

2. Находим критические точки, приравняв производную к нулю:

$4x^3 + 15x^2 = 0$

$x^2(4x + 15) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -15/4 = -3.75$. Это критические точки.

3. Определяем знаки производной на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую ось: $(-\infty; -15/4)$, $(-15/4; 0)$ и $(0; \infty)$.

• При $x \in (-\infty; -15/4)$, например $x = -4$, имеем $f'(-4) = (-4)^2(4(-4) + 15) = 16(-1) = -16 < 0$. Значит, на этом промежутке функция убывает.
• При $x \in (-15/4; 0)$, например $x = -1$, имеем $f'(-1) = (-1)^2(4(-1) + 15) = 1(11) = 11 > 0$. Значит, на этом промежутке функция возрастает.
• При $x \in (0; \infty)$, например $x = 1$, имеем $f'(1) = 1^2(4(1) + 15) = 19 > 0$. Значит, на этом промежутке функция также возрастает.

4. Находим промежутки возрастания и убывания. Функция убывает, где $f'(x) < 0$, и возрастает, где $f'(x) > 0$.

Промежуток убывания: $(-\infty, -15/4]$.

Промежутки возрастания: $[-15/4, 0]$ и $[0, \infty)$, которые можно объединить в один промежуток $[-15/4, \infty)$.

5. Находим точки экстремума. Экстремум достигается в тех критических точках, где производная меняет знак.

В точке $x = -15/4$ знак производной меняется с «-» на «+», следовательно, это точка минимума.

В точке $x = 0$ знак производной не меняется, следовательно, в этой точке экстремума нет.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-15/4, \infty)$, убывает на промежутке $(-\infty, -15/4]$; точка минимума $x_{min} = -15/4$.

Для функции $f(x) = (x+1)^2(x-3)^2$ проведем аналогичное исследование.

1. Находим производную, используя правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = ((x+1)^2)'(x-3)^2 + (x+1)^2((x-3)^2)'$

$f'(x) = 2(x+1)(x-3)^2 + (x+1)^2 \cdot 2(x-3)$

Вынесем общий множитель $2(x+1)(x-3)$ за скобки:

$f'(x) = 2(x+1)(x-3)((x-3) + (x+1)) = 2(x+1)(x-3)(2x-2) = 4(x+1)(x-1)(x-3)$.

2. Находим критические точки, приравняв производную к нулю:

$4(x+1)(x-1)(x-3) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$, $x_3 = 3$. Это критические точки.

3. Определяем знаки производной на интервалах: $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$, $(1; 3)$ и $(3; \infty)$.

• При $x \in (-\infty; -1)$, например $x=-2$, $f'(-2) = 4(-1)(-3)(-5) = -60 < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (-1; 1)$, например $x=0$, $f'(0) = 4(1)(-1)(-3) = 12 > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (1; 3)$, например $x=2$, $f'(2) = 4(3)(1)(-1) = -12 < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (3; \infty)$, например $x=4$, $f'(4) = 4(5)(3)(1) = 60 > 0$. Функция возрастает.

4. Находим промежутки возрастания и убывания.

Промежутки возрастания: $[-1, 1]$ и $[3, \infty)$.

Промежутки убывания: $(-\infty, -1]$ и $[1, 3]$.

5. Находим точки экстремума.

В точке $x = -1$ знак производной меняется с «-» на «+», это точка минимума.

В точке $x = 1$ знак производной меняется с «+» на «-», это точка максимума.

В точке $x = 3$ знак производной меняется с «-» на «+», это точка минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-1, 1]$ и $[3, \infty)$, убывает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, 3]$; точки минимума $x_{min} = -1$, $x_{min} = 3$; точка максимума $x_{max} = 1$.