Номер 310, страница 54 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

310. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f$ на указанном промежутке:

1) $f(x) = \sqrt{8 + 2x - x^2}$, $[-1; 2]$

2) $f(x) = (x + 3)^3 (x - 1)^2$, $[-4; 2]$

3) $f(x) = \sin x + \frac{1}{2} \sin 2x$, $[0; \frac{3\pi}{2}]$

1) $f(x) = \sqrt{8 + 2x - x^2}$ на промежутке $[-1; 2]$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке, необходимо найти ее значения на концах этого отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем выбрать из полученных чисел наибольшее и наименьшее.

1. Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = (\sqrt{8 + 2x - x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{8 + 2x - x^2}} \cdot (8 + 2x - x^2)' = \frac{2 - 2x}{2\sqrt{8 + 2x - x^2}} = \frac{1 - x}{\sqrt{8 + 2x - x^2}}$

2. Найдем критические точки. Это точки, в которых производная равна нулю или не существует.

Производная равна нулю, если числитель равен нулю:
$1 - x = 0 \implies x = 1$.
Эта точка принадлежит промежутку $[-1; 2]$.

Производная не существует, если знаменатель равен нулю:
$8 + 2x - x^2 = 0 \implies x^2 - 2x - 8 = 0$.
Корни этого уравнения $x_1 = -2$ и $x_2 = 4$. Эти точки не лежат внутри интервала $(-1; 2)$, поэтому мы их не рассматриваем как внутренние критические точки.

3. Вычислим значения функции в критической точке $x=1$ и на концах отрезка $x=-1$ и $x=2$.

$f(-1) = \sqrt{8 + 2(-1) - (-1)^2} = \sqrt{8 - 2 - 1} = \sqrt{5}$

$f(1) = \sqrt{8 + 2(1) - 1^2} = \sqrt{8 + 2 - 1} = \sqrt{9} = 3$

$f(2) = \sqrt{8 + 2(2) - 2^2} = \sqrt{8 + 4 - 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

4. Сравним полученные значения: $\sqrt{5}$, $3$ и $2\sqrt{2}$.
Возведем их в квадрат для удобства сравнения: $(\sqrt{5})^2=5$, $3^2=9$, $(2\sqrt{2})^2=8$.
Так как $5 < 8 < 9$, то $\sqrt{5} < 2\sqrt{2} < 3$.
Следовательно, наименьшее значение функции равно $\sqrt{5}$, а наибольшее равно $3$.

Ответ: $\min_{[-1; 2]} f(x) = f(-1) = \sqrt{5}$, $\max_{[-1; 2]} f(x) = f(1) = 3$.

2) $f(x) = (x + 3)^3 (x - 1)^2$ на промежутке $[-4; 2]$

Алгоритм решения такой же: находим производную, приравниваем ее к нулю для поиска критических точек, затем вычисляем значения функции в этих точках и на концах заданного отрезка и сравниваем их.

1. Найдем производную функции, используя правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = ((x+3)^3)' (x-1)^2 + (x+3)^3 ((x-1)^2)'$

$f'(x) = 3(x+3)^2 \cdot 1 \cdot (x-1)^2 + (x+3)^3 \cdot 2(x-1) \cdot 1$

Вынесем общий множитель $(x+3)^2(x-1)$ за скобки:

$f'(x) = (x+3)^2(x-1) [3(x-1) + 2(x+3)]$

$f'(x) = (x+3)^2(x-1) [3x - 3 + 2x + 6]$

$f'(x) = (x+3)^2(x-1)(5x+3)$

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0$.

$(x+3)^2(x-1)(5x+3) = 0$

Отсюда получаем три критические точки: $x_1 = -3$, $x_2 = 1$, $x_3 = -3/5 = -0.6$. Все три точки принадлежат промежутку $[-4; 2]$.

3. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка $x=-4$ и $x=2$.

$f(-4) = (-4+3)^3(-4-1)^2 = (-1)^3(-5)^2 = -1 \cdot 25 = -25$

$f(-3) = (-3+3)^3(-3-1)^2 = 0^3 \cdot (-4)^2 = 0$

$f(-0.6) = (-0.6+3)^3(-0.6-1)^2 = (2.4)^3(-1.6)^2 = 13.824 \cdot 2.56 = 35.38944$

$f(1) = (1+3)^3(1-1)^2 = 4^3 \cdot 0^2 = 0$

$f(2) = (2+3)^3(2-1)^2 = 5^3 \cdot 1^2 = 125$

4. Сравним полученные значения: $-25$, $0$, $35.38944$, $0$, $125$.
Наименьшее из этих значений равно $-25$, а наибольшее равно $125$.

Ответ: $\min_{[-4; 2]} f(x) = f(-4) = -25$, $\max_{[-4; 2]} f(x) = f(2) = 125$.

3) $f(x) = \sin x + \frac{1}{2}\sin 2x$ на промежутке $[0; \frac{3\pi}{2}]$

Действуем по стандартному алгоритму.

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (\sin x + \frac{1}{2}\sin 2x)' = \cos x + \frac{1}{2} \cdot \cos(2x) \cdot 2 = \cos x + \cos 2x$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$, чтобы привести производную к квадратному уравнению относительно $\cos x$:

$f'(x) = \cos x + 2\cos^2 x - 1 = 2\cos^2 x + \cos x - 1$

2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0$

Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$. Получим квадратное уравнение:

$2t^2 + t - 1 = 0$

Решаем его: $t = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4}$.

Получаем два корня: $t_1 = \frac{-1-3}{4} = -1$ и $t_2 = \frac{-1+3}{4} = \frac{1}{2}$.

Возвращаемся к замене:

a) $\cos x = -1$. На промежутке $[0; \frac{3\pi}{2}]$ это уравнение имеет один корень $x = \pi$.

b) $\cos x = \frac{1}{2}$. На промежутке $[0; \frac{3\pi}{2}]$ это уравнение имеет один корень $x = \frac{\pi}{3}$.

Таким образом, критические точки, принадлежащие заданному отрезку, это $x = \frac{\pi}{3}$ и $x = \pi$.

3. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка $x=0$ и $x=\frac{3\pi}{2}$.

$f(0) = \sin 0 + \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 0) = 0 + 0 = 0$

$f(\frac{\pi}{3}) = \sin \frac{\pi}{3} + \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$

$f(\pi) = \sin \pi + \frac{1}{2}\sin(2\pi) = 0 + 0 = 0$

$f(\frac{3\pi}{2}) = \sin \frac{3\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{3\pi}{2}) = -1 + \frac{1}{2}\sin(3\pi) = -1 + 0 = -1$

4. Сравним полученные значения: $0$, $\frac{3\sqrt{3}}{4}$, $0$ и $-1$.
Наибольшее значение $\frac{3\sqrt{3}}{4}$ (т.к. $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $\frac{3\sqrt{3}}{4} \approx 1.3 > 0$), а наименьшее значение $-1$.

Ответ: $\min_{[0; 3\pi/2]} f(x) = f(3\pi/2) = -1$, $\max_{[0; 3\pi/2]} f(x) = f(\pi/3) = \frac{3\sqrt{3}}{4}$.