Номер 315, страница 54 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

315. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^2 - 6|x| + 5$ на промежутке $[-1; 4]$.

Дана функция $f(x) = x^2 - 6|x| + 5$ на промежутке $[-1; 4]$.

Для нахождения экстремумов, сначала упростим вид функции. Так как $x^2 = |x|^2$, то функцию можно переписать как $f(x) = |x|^2 - 6|x| + 5$.

Сделаем замену переменной $t = |x|$. Определим новый промежуток для переменной $t$. Когда $x$ изменяется на промежутке $[-1; 4]$, $|x|$ принимает значения от $0$ (при $x=0$) до $4$ (при $x=4$). Таким образом, $t$ изменяется на отрезке $[0; 4]$.

Наша задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений функции $g(t) = t^2 - 6t + 5$ на отрезке $[0; 4]$.

Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями вверх. Её экстремумы на отрезке находятся либо в вершине параболы (если она попадает в отрезок), либо на концах отрезка. Абсцисса вершины параболы: $t_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$.

Точка $t_v = 3$ принадлежит отрезку $[0; 4]$. Следовательно, для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $g(t)$ на отрезке $[0; 4]$ нужно вычислить её значения в точках $t=0$, $t=3$ и $t=4$.

• $g(0) = 0^2 - 6(0) + 5 = 5$
• $g(3) = 3^2 - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$
• $g(4) = 4^2 - 6(4) + 5 = 16 - 24 + 5 = -3$

Сравнив полученные значения $\{5; -4; -3\}$, мы можем определить наибольшее и наименьшее значения исходной функции.

Наименьшее из вычисленных значений равно -4. Оно достигается при $t=3$. Возвращаясь к исходной переменной, $t = |x| = 3$, что дает $x=3$ или $x=-3$. Из этих двух значений только $x=3$ принадлежит исходному промежутку $[-1; 4]$.
Таким образом, наименьшее значение функции $f(x)$ на промежутке $[-1; 4]$ равно $f(3) = -4$.
Ответ: -4.

Наибольшее из вычисленных значений равно 5. Оно достигается при $t=0$. Возвращаясь к исходной переменной, $t = |x| = 0$, что дает $x=0$. Значение $x=0$ принадлежит исходному промежутку $[-1; 4]$.
Таким образом, наибольшее значение функции $f(x)$ на промежутке $[-1; 4]$ равно $f(0) = 5$.
Ответ: 5.