Страница 54 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

309. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f$ на указанном промежутке:

1) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2$, $[-1; 3]$;

2) $f(x) = 1 - 3x^2 - x^3$, $[-1; 2]$;

3) $f(x) = x^6 + 2x^2 - 3$, $[-2; -1]$;

4) $f(x) = \frac{x^2 + 5}{x - 2}$, $[3; 6]$.

1) Для функции $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2$ на промежутке $[-1; 3]$:
1. Находим производную функции: $f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - x^2)' = x^2 - 2x$.
2. Находим критические точки, решая уравнение $f'(x) = 0$:
$x^2 - 2x = 0$
$x(x - 2) = 0$
Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.
3. Обе критические точки принадлежат указанному промежутку $[-1; 3]$.
4. Вычисляем значения функции в критических точках и на концах промежутка:
$f(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 - (-1)^2 = -\frac{1}{3} - 1 = -\frac{4}{3}$.
$f(0) = \frac{1}{3}(0)^3 - (0)^2 = 0$.
$f(2) = \frac{1}{3}(2)^3 - (2)^2 = \frac{8}{3} - 4 = \frac{8 - 12}{3} = -\frac{4}{3}$.
$f(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - (3)^2 = 9 - 9 = 0$.
5. Сравнивая полученные значения $\{-\frac{4}{3}, 0, -\frac{4}{3}, 0\}$, находим, что наибольшее значение равно 0, а наименьшее равно $-\frac{4}{3}$.
Ответ: наибольшее значение $0$, наименьшее значение $-\frac{4}{3}$.

2) Для функции $f(x) = 1 - 3x^2 - x^3$ на промежутке $[-1; 2]$:
1. Находим производную функции: $f'(x) = (1 - 3x^2 - x^3)' = -6x - 3x^2$.
2. Находим критические точки, решая уравнение $f'(x) = 0$:
$-3x^2 - 6x = 0$
$-3x(x + 2) = 0$
Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.
3. Промежутку $[-1; 2]$ принадлежит только критическая точка $x = 0$. Точка $x=-2$ не принадлежит этому промежутку.
4. Вычисляем значения функции в критической точке $x=0$ и на концах промежутка $x=-1$ и $x=2$:
$f(-1) = 1 - 3(-1)^2 - (-1)^3 = 1 - 3(1) - (-1) = 1 - 3 + 1 = -1$.
$f(0) = 1 - 3(0)^2 - (0)^3 = 1$.
$f(2) = 1 - 3(2)^2 - (2)^3 = 1 - 3(4) - 8 = 1 - 12 - 8 = -19$.
5. Сравнивая полученные значения $\{-1, 1, -19\}$, находим, что наибольшее значение равно 1, а наименьшее равно -19.
Ответ: наибольшее значение $1$, наименьшее значение $-19$.

3) Для функции $f(x) = x^6 + 2x^2 - 3$ на промежутке $[-2; -1]$:
1. Находим производную функции: $f'(x) = (x^6 + 2x^2 - 3)' = 6x^5 + 4x$.
2. Находим критические точки, решая уравнение $f'(x) = 0$:
$6x^5 + 4x = 0$
$2x(3x^4 + 2) = 0$
Так как выражение $3x^4 + 2$ всегда положительно, единственной критической точкой является $x = 0$.
3. Критическая точка $x = 0$ не принадлежит указанному промежутку $[-2; -1]$.
4. Следовательно, наибольшее и наименьшее значения функция достигает на концах промежутка. Вычисляем значения функции в точках $x=-2$ и $x=-1$:
$f(-2) = (-2)^6 + 2(-2)^2 - 3 = 64 + 2(4) - 3 = 64 + 8 - 3 = 69$.
$f(-1) = (-1)^6 + 2(-1)^2 - 3 = 1 + 2(1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$.
5. Сравнивая полученные значения $\{69, 0\}$, находим, что наибольшее значение равно 69, а наименьшее равно 0.
Ответ: наибольшее значение $69$, наименьшее значение $0$.

4) Для функции $f(x) = \frac{x^2 + 5}{x - 2}$ на промежутке $[3; 6]$:
1. Находим производную функции, используя правило дифференцирования частного:
$f'(x) = \frac{(x^2+5)'(x-2) - (x^2+5)(x-2)'}{(x-2)^2} = \frac{2x(x-2) - (x^2+5)(1)}{(x-2)^2} = \frac{2x^2 - 4x - x^2 - 5}{(x-2)^2} = \frac{x^2 - 4x - 5}{(x-2)^2}$.
2. Находим критические точки. Производная равна нулю, когда ее числитель равен нулю:
$x^2 - 4x - 5 = 0$
$(x-5)(x+1) = 0$
Критические точки: $x_1 = 5$ и $x_2 = -1$.
Производная не определена в точке $x=2$, но эта точка не входит в промежуток $[3; 6]$.
3. Промежутку $[3; 6]$ принадлежит только критическая точка $x = 5$.
4. Вычисляем значения функции в критической точке $x=5$ и на концах промежутка $x=3$ и $x=6$:
$f(3) = \frac{3^2 + 5}{3 - 2} = \frac{9+5}{1} = 14$.
$f(5) = \frac{5^2 + 5}{5 - 2} = \frac{25+5}{3} = \frac{30}{3} = 10$.
$f(6) = \frac{6^2 + 5}{6 - 2} = \frac{36+5}{4} = \frac{41}{4} = 10.25$.
5. Сравнивая полученные значения $\{14, 10, 10.25\}$, находим, что наибольшее значение равно 14, а наименьшее равно 10.
Ответ: наибольшее значение $14$, наименьшее значение $10$.

310. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f$ на указанном промежутке:

1) $f(x) = \sqrt{8 + 2x - x^2}$, $[-1; 2]$

2) $f(x) = (x + 3)^3 (x - 1)^2$, $[-4; 2]$

3) $f(x) = \sin x + \frac{1}{2} \sin 2x$, $[0; \frac{3\pi}{2}]$

1) $f(x) = \sqrt{8 + 2x - x^2}$ на промежутке $[-1; 2]$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке, необходимо найти ее значения на концах этого отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем выбрать из полученных чисел наибольшее и наименьшее.

1. Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = (\sqrt{8 + 2x - x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{8 + 2x - x^2}} \cdot (8 + 2x - x^2)' = \frac{2 - 2x}{2\sqrt{8 + 2x - x^2}} = \frac{1 - x}{\sqrt{8 + 2x - x^2}}$

2. Найдем критические точки. Это точки, в которых производная равна нулю или не существует.

Производная равна нулю, если числитель равен нулю:
$1 - x = 0 \implies x = 1$.
Эта точка принадлежит промежутку $[-1; 2]$.

Производная не существует, если знаменатель равен нулю:
$8 + 2x - x^2 = 0 \implies x^2 - 2x - 8 = 0$.
Корни этого уравнения $x_1 = -2$ и $x_2 = 4$. Эти точки не лежат внутри интервала $(-1; 2)$, поэтому мы их не рассматриваем как внутренние критические точки.

3. Вычислим значения функции в критической точке $x=1$ и на концах отрезка $x=-1$ и $x=2$.

$f(-1) = \sqrt{8 + 2(-1) - (-1)^2} = \sqrt{8 - 2 - 1} = \sqrt{5}$

$f(1) = \sqrt{8 + 2(1) - 1^2} = \sqrt{8 + 2 - 1} = \sqrt{9} = 3$

$f(2) = \sqrt{8 + 2(2) - 2^2} = \sqrt{8 + 4 - 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

4. Сравним полученные значения: $\sqrt{5}$, $3$ и $2\sqrt{2}$.
Возведем их в квадрат для удобства сравнения: $(\sqrt{5})^2=5$, $3^2=9$, $(2\sqrt{2})^2=8$.
Так как $5 < 8 < 9$, то $\sqrt{5} < 2\sqrt{2} < 3$.
Следовательно, наименьшее значение функции равно $\sqrt{5}$, а наибольшее равно $3$.

Ответ: $\min_{[-1; 2]} f(x) = f(-1) = \sqrt{5}$, $\max_{[-1; 2]} f(x) = f(1) = 3$.

2) $f(x) = (x + 3)^3 (x - 1)^2$ на промежутке $[-4; 2]$

Алгоритм решения такой же: находим производную, приравниваем ее к нулю для поиска критических точек, затем вычисляем значения функции в этих точках и на концах заданного отрезка и сравниваем их.

1. Найдем производную функции, используя правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = ((x+3)^3)' (x-1)^2 + (x+3)^3 ((x-1)^2)'$

$f'(x) = 3(x+3)^2 \cdot 1 \cdot (x-1)^2 + (x+3)^3 \cdot 2(x-1) \cdot 1$

Вынесем общий множитель $(x+3)^2(x-1)$ за скобки:

$f'(x) = (x+3)^2(x-1) [3(x-1) + 2(x+3)]$

$f'(x) = (x+3)^2(x-1) [3x - 3 + 2x + 6]$

$f'(x) = (x+3)^2(x-1)(5x+3)$

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0$.

$(x+3)^2(x-1)(5x+3) = 0$

Отсюда получаем три критические точки: $x_1 = -3$, $x_2 = 1$, $x_3 = -3/5 = -0.6$. Все три точки принадлежат промежутку $[-4; 2]$.

3. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка $x=-4$ и $x=2$.

$f(-4) = (-4+3)^3(-4-1)^2 = (-1)^3(-5)^2 = -1 \cdot 25 = -25$

$f(-3) = (-3+3)^3(-3-1)^2 = 0^3 \cdot (-4)^2 = 0$

$f(-0.6) = (-0.6+3)^3(-0.6-1)^2 = (2.4)^3(-1.6)^2 = 13.824 \cdot 2.56 = 35.38944$

$f(1) = (1+3)^3(1-1)^2 = 4^3 \cdot 0^2 = 0$

$f(2) = (2+3)^3(2-1)^2 = 5^3 \cdot 1^2 = 125$

4. Сравним полученные значения: $-25$, $0$, $35.38944$, $0$, $125$.
Наименьшее из этих значений равно $-25$, а наибольшее равно $125$.

Ответ: $\min_{[-4; 2]} f(x) = f(-4) = -25$, $\max_{[-4; 2]} f(x) = f(2) = 125$.

3) $f(x) = \sin x + \frac{1}{2}\sin 2x$ на промежутке $[0; \frac{3\pi}{2}]$

Действуем по стандартному алгоритму.

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (\sin x + \frac{1}{2}\sin 2x)' = \cos x + \frac{1}{2} \cdot \cos(2x) \cdot 2 = \cos x + \cos 2x$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$, чтобы привести производную к квадратному уравнению относительно $\cos x$:

$f'(x) = \cos x + 2\cos^2 x - 1 = 2\cos^2 x + \cos x - 1$

2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0$

Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$. Получим квадратное уравнение:

$2t^2 + t - 1 = 0$

Решаем его: $t = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4}$.

Получаем два корня: $t_1 = \frac{-1-3}{4} = -1$ и $t_2 = \frac{-1+3}{4} = \frac{1}{2}$.

Возвращаемся к замене:

a) $\cos x = -1$. На промежутке $[0; \frac{3\pi}{2}]$ это уравнение имеет один корень $x = \pi$.

b) $\cos x = \frac{1}{2}$. На промежутке $[0; \frac{3\pi}{2}]$ это уравнение имеет один корень $x = \frac{\pi}{3}$.

Таким образом, критические точки, принадлежащие заданному отрезку, это $x = \frac{\pi}{3}$ и $x = \pi$.

3. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка $x=0$ и $x=\frac{3\pi}{2}$.

$f(0) = \sin 0 + \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 0) = 0 + 0 = 0$

$f(\frac{\pi}{3}) = \sin \frac{\pi}{3} + \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$

$f(\pi) = \sin \pi + \frac{1}{2}\sin(2\pi) = 0 + 0 = 0$

$f(\frac{3\pi}{2}) = \sin \frac{3\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{3\pi}{2}) = -1 + \frac{1}{2}\sin(3\pi) = -1 + 0 = -1$

4. Сравним полученные значения: $0$, $\frac{3\sqrt{3}}{4}$, $0$ и $-1$.
Наибольшее значение $\frac{3\sqrt{3}}{4}$ (т.к. $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $\frac{3\sqrt{3}}{4} \approx 1.3 > 0$), а наименьшее значение $-1$.

Ответ: $\min_{[0; 3\pi/2]} f(x) = f(3\pi/2) = -1$, $\max_{[0; 3\pi/2]} f(x) = f(\pi/3) = \frac{3\sqrt{3}}{4}$.

311. Представьте число 50 в виде суммы двух положительных чисел так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

Пусть искомые положительные числа равны $x$ и $y$.

По условию задачи, их сумма равна 50, что можно записать в виде уравнения:
$x + y = 50$

Сумма их квадратов, которую необходимо сделать наименьшей, равна:
$S = x^2 + y^2$

Чтобы найти минимум этой суммы, выразим $S$ как функцию одной переменной. Из первого уравнения выразим $y$:
$y = 50 - x$

Теперь подставим это выражение в формулу для $S$:
$S(x) = x^2 + (50 - x)^2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$S(x) = x^2 + (50^2 - 2 \cdot 50 \cdot x + x^2) = x^2 + 2500 - 100x + x^2$
$S(x) = 2x^2 - 100x + 2500$

Полученное выражение является квадратичной функцией от $x$. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($2 > 0$). Следовательно, функция имеет точку минимума.

Наименьшее значение квадратичной функции достигается в её вершине. Абсциссу вершины параболы $ax^2 + bx + c$ находим по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

Для нашей функции $a = 2$, $b = -100$. Вычислим значение $x$, при котором $S$ будет наименьшей:
$x = -\frac{-100}{2 \cdot 2} = \frac{100}{4} = 25$

Таким образом, одно из чисел равно 25.

Найдем второе число, подставив найденное значение $x$ в выражение для $y$:
$y = 50 - x = 50 - 25 = 25$

Оба числа (25 и 25) являются положительными, что удовлетворяет условию задачи. Таким образом, для того чтобы сумма квадратов была наименьшей, число 50 нужно представить в виде суммы двух одинаковых чисел.

Ответ: 50 = 25 + 25.

312. Найдите такое положительное число, что разность между утроенным квадратом этого числа и его удвоенным кубом принимает наибольшее значение.

Пусть искомое положительное число равно $x$. По условию $x > 0$.

Утроенный квадрат этого числа равен $3x^2$.

Удвоенный куб этого числа равен $2x^3$.

Разность между ними представляет собой функцию $f(x)$, которую нам нужно исследовать на предмет нахождения наибольшего значения:

$f(x) = 3x^2 - 2x^3$

Для нахождения точки максимума функции, найдем ее производную:

$f'(x) = (3x^2 - 2x^3)' = 3 \cdot 2x - 2 \cdot 3x^2 = 6x - 6x^2$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$f'(x) = 0$

$6x - 6x^2 = 0$

$6x(1 - x) = 0$

Из этого уравнения получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

Так как по условию задачи требуется найти положительное число, то корень $x_1 = 0$ мы не рассматриваем. Остается точка $x_2 = 1$.

Чтобы определить, является ли точка $x=1$ точкой максимума, воспользуемся второй производной:

$f''(x) = (6x - 6x^2)' = 6 - 12x$

Найдем значение второй производной в точке $x = 1$:

$f''(1) = 6 - 12 \cdot 1 = -6$

Поскольку $f''(1) < 0$, точка $x = 1$ является точкой максимума функции $f(x)$.

Таким образом, разность между утроенным квадратом числа и его удвоенным кубом принимает наибольшее значение при $x=1$.

Ответ: 1

313. Какими должны быть стороны прямоугольника, периметр которого равен 60 см, чтобы его площадь принимала наибольшее значение?

Обозначим стороны прямоугольника как $a$ и $b$.

Периметр прямоугольника $P$ находится по формуле $P = 2(a+b)$. Согласно условию задачи, периметр равен 60 см.

$2(a+b) = 60$

Отсюда можно выразить сумму сторон:

$a+b = 30$

Выразим одну сторону через другую, например, $b$ через $a$:

$b = 30 - a$

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. Нам нужно найти такое значение $a$, при котором площадь $S$ будет максимальной. Подставим в формулу площади выражение для $b$:

$S(a) = a \cdot (30 - a) = 30a - a^2$

Мы получили квадратичную функцию $S(a) = -a^2 + 30a$. Её график — это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $a^2$ отрицательный (равен -1). Максимальное значение такой функции достигается в вершине параболы.

Координата вершины параболы $y = kx^2 + lx + m$ по оси абсцисс вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{l}{2k}$.

Для нашей функции $S(a)$ коэффициенты равны $k = -1$ и $l = 30$. Найдем значение $a$, при котором площадь будет наибольшей:

$a = -\frac{30}{2 \cdot (-1)} = -\frac{30}{-2} = 15$

Таким образом, одна сторона прямоугольника равна 15 см. Теперь найдем вторую сторону:

$b = 30 - a = 30 - 15 = 15$

Получается, что для достижения максимальной площади при заданном периметре прямоугольник должен быть квадратом.

Ответ: стороны прямоугольника должны быть равны 15 см и 15 см.

314. В полукруг радиуса $\sqrt{5}$ см вписан прямоугольник наибольшего периметра. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть полукруг радиуса $R = \sqrt{5}$ см расположен в верхней полуплоскости системы координат, с центром в начале координат (0, 0). Тогда уравнение полуокружности имеет вид $y = \sqrt{R^2 - x^2} = \sqrt{5 - x^2}$, где $y \ge 0$.

Прямоугольник, вписанный в этот полукруг, будет иметь одну сторону на оси Ox. Пусть вершины этого прямоугольника имеют координаты $(-x, 0)$, $(x, 0)$, $(x, y)$ и $(-x, y)$, где $x > 0$ и $y > 0$. Вершины $(x, y)$ и $(-x, y)$ лежат на полуокружности, поэтому их координаты удовлетворяют уравнению $y = \sqrt{5 - x^2}$.

Стороны прямоугольника равны $2x$ и $y$. Периметр прямоугольника $P$ равен:

$P = 2(2x + y)$

Подставим выражение для $y$ через $x$, чтобы получить функцию периметра от одной переменной $x$:

$P(x) = 2(2x + \sqrt{5 - x^2}) = 4x + 2\sqrt{5 - x^2}$

Область определения для $x$ - это $(0, \sqrt{5})$, так как $x$ - это половина длины основания, и $x$ должен быть меньше радиуса.

Чтобы найти наибольшее значение периметра, найдем производную функции $P(x)$ и приравняем ее к нулю:

$P'(x) = (4x + 2\sqrt{5 - x^2})' = 4 + 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{5 - x^2}} \cdot (-2x) = 4 - \frac{2x}{\sqrt{5 - x^2}}$

Найдем критические точки, решив уравнение $P'(x) = 0$:

$4 - \frac{2x}{\sqrt{5 - x^2}} = 0$

$4 = \frac{2x}{\sqrt{5 - x^2}}$

$2\sqrt{5 - x^2} = x$

Возведем обе части уравнения в квадрат (учитывая, что $x>0$):

$4(5 - x^2) = x^2$

$20 - 4x^2 = x^2$

$5x^2 = 20$

$x^2 = 4$

$x = 2$ (так как $x > 0$)

Точка $x=2$ принадлежит области определения $(0, \sqrt{5})$. Проверим, является ли эта точка точкой максимума. Для этого определим знаки производной на интервалах $(0, 2)$ и $(2, \sqrt{5})$.

Возьмем $x=1$ из интервала $(0, 2)$:

$P'(1) = 4 - \frac{2 \cdot 1}{\sqrt{5 - 1^2}} = 4 - \frac{2}{\sqrt{4}} = 4 - 1 = 3 > 0$. На этом интервале функция $P(x)$ возрастает.

Возьмем $x=2,2$ из интервала $(2, \sqrt{5})$. $2,2^2 = 4,84$.

$P'(2,2) = 4 - \frac{2 \cdot 2,2}{\sqrt{5 - 4,84}} = 4 - \frac{4,4}{\sqrt{0,16}} = 4 - \frac{4,4}{0,4} = 4 - 11 = -7 < 0$. На этом интервале функция $P(x)$ убывает.

Так как при переходе через точку $x=2$ производная меняет знак с плюса на минус, то $x=2$ является точкой максимума функции $P(x)$.

Теперь найдем стороны прямоугольника, при которых периметр максимален.

Одна сторона равна $2x = 2 \cdot 2 = 4$ см.

Другая сторона равна $y = \sqrt{5 - x^2} = \sqrt{5 - 2^2} = \sqrt{5 - 4} = \sqrt{1} = 1$ см.

Следовательно, стороны прямоугольника с наибольшим периметром равны 4 см и 1 см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 4 см и 1 см.

315. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^2 - 6|x| + 5$ на промежутке $[-1; 4]$.

Дана функция $f(x) = x^2 - 6|x| + 5$ на промежутке $[-1; 4]$.

Для нахождения экстремумов, сначала упростим вид функции. Так как $x^2 = |x|^2$, то функцию можно переписать как $f(x) = |x|^2 - 6|x| + 5$.

Сделаем замену переменной $t = |x|$. Определим новый промежуток для переменной $t$. Когда $x$ изменяется на промежутке $[-1; 4]$, $|x|$ принимает значения от $0$ (при $x=0$) до $4$ (при $x=4$). Таким образом, $t$ изменяется на отрезке $[0; 4]$.

Наша задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений функции $g(t) = t^2 - 6t + 5$ на отрезке $[0; 4]$.

Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями вверх. Её экстремумы на отрезке находятся либо в вершине параболы (если она попадает в отрезок), либо на концах отрезка. Абсцисса вершины параболы: $t_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$.

Точка $t_v = 3$ принадлежит отрезку $[0; 4]$. Следовательно, для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $g(t)$ на отрезке $[0; 4]$ нужно вычислить её значения в точках $t=0$, $t=3$ и $t=4$.

• $g(0) = 0^2 - 6(0) + 5 = 5$
• $g(3) = 3^2 - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$
• $g(4) = 4^2 - 6(4) + 5 = 16 - 24 + 5 = -3$

Сравнив полученные значения $\{5; -4; -3\}$, мы можем определить наибольшее и наименьшее значения исходной функции.

Наименьшее из вычисленных значений равно -4. Оно достигается при $t=3$. Возвращаясь к исходной переменной, $t = |x| = 3$, что дает $x=3$ или $x=-3$. Из этих двух значений только $x=3$ принадлежит исходному промежутку $[-1; 4]$.
Таким образом, наименьшее значение функции $f(x)$ на промежутке $[-1; 4]$ равно $f(3) = -4$.
Ответ: -4.

Наибольшее из вычисленных значений равно 5. Оно достигается при $t=0$. Возвращаясь к исходной переменной, $t = |x| = 0$, что дает $x=0$. Значение $x=0$ принадлежит исходному промежутку $[-1; 4]$.
Таким образом, наибольшее значение функции $f(x)$ на промежутке $[-1; 4]$ равно $f(0) = 5$.
Ответ: 5.

316. Исследуйте функцию и постройте её график:

1) $f(x) = 3x^2 - x^3;$

2) $f(x) = 4 - 3x^2 - x^4;$

3) $f(x) = (x - 1)^2 (x + 2)^2;$

4) $f(x) = \frac{4x}{x^2 + 4};$

5) $f(x) = \frac{1}{x^2 + 2x - 8};$

6) $f(x) = \frac{x}{x^2 - 4}.$

1) $f(x) = 3x^2 - x^3$

Проведем полное исследование функции.

• 1. Область определения.

  Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

• 2. Четность и нечетность.

  $f(-x) = 3(-x)^2 - (-x)^3 = 3x^2 + x^3$.

  Поскольку $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

• 3. Точки пересечения с осями координат.

  С осью Oy: $x=0 \implies y = f(0) = 3(0)^2 - 0^3 = 0$. Точка (0, 0).

  С осью Ox: $y=0 \implies 3x^2 - x^3 = 0 \implies x^2(3-x) = 0$. Корни $x=0$ и $x=3$. Точки (0, 0) и (3, 0).

• 4. Асимптоты.

  Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна на всей числовой оси.

  Исследуем поведение на бесконечности для нахождения наклонных или горизонтальных асимптот:

  $\lim_{x \to +\infty} (3x^2 - x^3) = -\infty$

  $\lim_{x \to -\infty} (3x^2 - x^3) = +\infty$

  Горизонтальных асимптот нет. Наклонных асимптот вида $y=kx+b$ также нет, так как $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} (3x - x^2) = -\infty$.

• 5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

  Найдем первую производную: $f'(x) = (3x^2 - x^3)' = 6x - 3x^2 = 3x(2-x)$.

  Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $3x(2-x) = 0 \implies x_1=0, x_2=2$.

  Определим знаки производной на интервалах $(-\infty, 0)$, $(0, 2)$ и $(2, +\infty)$:

  • При $x \in (-\infty, 0)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
  • При $x \in (0, 2)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
  • При $x \in (2, +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

  В точке $x=0$ производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, это точка локального минимума. $y_{min} = f(0) = 0$.

  В точке $x=2$ производная меняет знак с "+" на "-", следовательно, это точка локального максимума. $y_{max} = f(2) = 3(2)^2 - 2^3 = 12 - 8 = 4$.

• 6. Промежутки выпуклости/вогнутости и точки перегиба.

  Найдем вторую производную: $f''(x) = (6x - 3x^2)' = 6 - 6x = 6(1-x)$.

  Приравняем вторую производную к нулю: $6(1-x) = 0 \implies x=1$.

  Определим знаки второй производной на интервалах $(-\infty, 1)$ и $(1, +\infty)$:

  • При $x \in (-\infty, 1)$, $f''(x) > 0$, график функции вогнутый (выпуклый вниз).
  • При $x \in (1, +\infty)$, $f''(x) < 0$, график функции выпуклый (выпуклый вверх).

  В точке $x=1$ вторая производная меняет знак, значит, это точка перегиба. $y_{перегиба} = f(1) = 3(1)^2 - 1^3 = 2$. Точка перегиба: (1, 2).

• 7. Построение графика.

  На основе полученных данных (точки пересечения с осями, точки экстремумов, точка перегиба и интервалы монотонности и выпуклости) строим график функции. График представляет собой кубическую параболу, проходящую через начало координат, имеющую локальный минимум в (0,0), локальный максимум в (2,4) и точку перегиба в (1,2).

Ответ: Исследование функции $f(x) = 3x^2 - x^3$ показало: область определения - $(-\infty; +\infty)$; функция общего вида; точки пересечения с осями - (0, 0) и (3, 0); асимптот нет; функция убывает на $(-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$ и возрастает на $(0, 2)$; точка локального минимума - (0, 0), точка локального максимума - (2, 4); график вогнутый на $(-\infty, 1)$ и выпуклый на $(1, +\infty)$; точка перегиба - (1, 2).

2) $f(x) = 4 - 3x^2 - x^4$

Проведем полное исследование функции.

• 1. Область определения.

  Функция является многочленом, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

• 2. Четность и нечетность.

  $f(-x) = 4 - 3(-x)^2 - (-x)^4 = 4 - 3x^2 - x^4 = f(x)$.

  Функция является четной. Ее график симметричен относительно оси Oy.

• 3. Точки пересечения с осями координат.

  С осью Oy: $x=0 \implies y = f(0) = 4$. Точка (0, 4).

  С осью Ox: $y=0 \implies 4 - 3x^2 - x^4 = 0$. Пусть $t=x^2, t \ge 0$. Уравнение примет вид $-t^2 - 3t + 4 = 0$ или $t^2 + 3t - 4 = 0$. Корни $t_1 = 1, t_2 = -4$. Корень $t_2 = -4$ не подходит. Тогда $x^2 = 1 \implies x = \pm 1$. Точки (-1, 0) и (1, 0).

• 4. Асимптоты.

  Вертикальных асимптот нет. $\lim_{x \to \pm\infty} (4 - 3x^2 - x^4) = -\infty$. Горизонтальных и наклонных асимптот нет.

• 5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

  Первая производная: $f'(x) = -6x - 4x^3 = -2x(3 + 2x^2)$.

  Критические точки: $f'(x) = 0 \implies -2x(3 + 2x^2) = 0$. Так как $3+2x^2 > 0$ для любого $x$, то единственная критическая точка $x=0$.

  Знаки производной:

  • При $x \in (-\infty, 0)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
  • При $x \in (0, +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

  В точке $x=0$ производная меняет знак с "+" на "-", следовательно, это точка локального максимума. $y_{max} = f(0) = 4$. Это также и глобальный максимум.

• 6. Промежутки выпуклости/вогнутости и точки перегиба.

  Вторая производная: $f''(x) = (-6x - 4x^3)' = -6 - 12x^2 = -6(1 + 2x^2)$.

  Так как $1+2x^2 > 0$ для любого $x$, то $f''(x)$ всегда отрицательна. График функции всегда выпуклый (выпуклый вверх). Точек перегиба нет.

• 7. Построение графика.

  График симметричен относительно оси Oy, имеет максимум в точке (0, 4), пересекает ось Ox в точках (-1, 0) и (1, 0). График имеет колоколообразную форму, ветви направлены вниз.

Ответ: Исследование функции $f(x) = 4 - 3x^2 - x^4$ показало: область определения - $(-\infty; +\infty)$; функция четная; точки пересечения с осями - (0, 4), (-1, 0), (1, 0); асимптот нет; функция возрастает на $(-\infty, 0)$ и убывает на $(0, +\infty)$; точка глобального максимума - (0, 4); график всегда выпуклый; точек перегиба нет.

3) $f(x) = (x-1)^2(x+2)^2$

Проведем полное исследование функции.

• 1. Область определения.

  $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

• 2. Четность и нечетность.

  $f(x) = ((x-1)(x+2))^2 = (x^2+x-2)^2$.

  $f(-x) = ((-x)^2+(-x)-2)^2 = (x^2-x-2)^2$. Функция общего вида.

• 3. Точки пересечения с осями координат.

  С осью Oy: $x=0 \implies y = f(0) = (-1)^2(2)^2 = 4$. Точка (0, 4).

  С осью Ox: $y=0 \implies (x-1)^2(x+2)^2 = 0 \implies x=1, x=-2$. Точки (-2, 0) и (1, 0). В этих точках график касается оси Ox.

• 4. Асимптоты.

  Вертикальных асимптот нет. $\lim_{x \to \pm\infty} (x^2+x-2)^2 = +\infty$. Горизонтальных и наклонных асимптот нет.

• 5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

  Первая производная: $f'(x) = 2(x^2+x-2)(2x+1) = 2(x+2)(x-1)(2x+1)$.

  Критические точки: $x=-2, x=-1/2, x=1$.

  Знаки производной:

  • $x \in (-\infty, -2)$: $f'(x) < 0$, убывает.
  • $x \in (-2, -1/2)$: $f'(x) > 0$, возрастает.
  • $x \in (-1/2, 1)$: $f'(x) < 0$, убывает.
  • $x \in (1, +\infty)$: $f'(x) > 0$, возрастает.

  $x=-2$ - точка минимума, $y_{min} = f(-2) = 0$.

  $x=-1/2$ - точка максимума, $y_{max} = f(-1/2) = ((-3/2)^2)(3/2)^2 = 81/16 = 5.0625$.

  $x=1$ - точка минимума, $y_{min} = f(1) = 0$.

• 6. Промежутки выпуклости/вогнутости и точки перегиба.

  $f'(x) = 2(2x^3+3x^2-3x-2)$. Вторая производная: $f''(x) = 2(6x^2+6x-3) = 6(2x^2+2x-1)$.

  $f''(x) = 0 \implies 2x^2+2x-1=0$. Корни $x = \frac{-2 \pm \sqrt{4-4(2)(-1)}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}$.

  $x_1 = \frac{-1-\sqrt{3}}{2} \approx -1.37$, $x_2 = \frac{-1+\sqrt{3}}{2} \approx 0.37$.

  Знаки второй производной:

  • $x \in (-\infty, x_1)$: $f''(x)>0$, вогнутая.
  • $x \in (x_1, x_2)$: $f''(x)<0$, выпуклая.
  • $x \in (x_2, +\infty)$: $f''(x)>0$, вогнутая.

  Точки $x_1, x_2$ - абсциссы точек перегиба. Ординаты: $f(x_{1,2}) = (x_{1,2}^2+x_{1,2}-2)^2$. Так как $2x^2+2x-1=0$, то $x^2+x=1/2$. Тогда $f(x_{1,2}) = (1/2-2)^2 = (-3/2)^2 = 9/4 = 2.25$.

  Точки перегиба: $(\frac{-1-\sqrt{3}}{2}, \frac{9}{4})$ и $(\frac{-1+\sqrt{3}}{2}, \frac{9}{4})$.

• 7. Построение графика.

  График имеет форму буквы 'W'. Он касается оси Ox в точках (-2, 0) и (1, 0), имеет локальный максимум в (-0.5, 81/16) и пересекает ось Oy в (0, 4).

Ответ: Исследование функции $f(x) = (x-1)^2(x+2)^2$ показало: область определения - $(-\infty; +\infty)$; функция общего вида; точки пересечения с осями - (-2, 0), (1, 0), (0, 4); асимптот нет; функция убывает на $(-\infty, -2) \cup (-1/2, 1)$ и возрастает на $(-2, -1/2) \cup (1, +\infty)$; точки локального минимума - (-2, 0) и (1, 0), точка локального максимума - (-1/2, 81/16); график вогнутый на $(-\infty, \frac{-1-\sqrt{3}}{2}) \cup (\frac{-1+\sqrt{3}}{2}, +\infty)$ и выпуклый на $(\frac{-1-\sqrt{3}}{2}, \frac{-1+\sqrt{3}}{2})$; точки перегиба - $(\frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}, \frac{9}{4})$.

4) $f(x) = \frac{4x}{x^2 + 4}$

Проведем полное исследование функции.

• 1. Область определения.

  Знаменатель $x^2+4 > 0$ для всех $x$, поэтому $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

• 2. Четность и нечетность.

  $f(-x) = \frac{4(-x)}{(-x)^2 + 4} = -\frac{4x}{x^2 + 4} = -f(x)$.

  Функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

• 3. Точки пересечения с осями координат.

  С осью Oy: $x=0 \implies y = 0$. Точка (0, 0).

  С осью Ox: $y=0 \implies 4x=0 \implies x=0$. Точка (0, 0).

• 4. Асимптоты.

  Вертикальных асимптот нет. Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{4x}{x^2+4} = 0$. Горизонтальная асимптота $y=0$.

• 5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

  Первая производная: $f'(x) = \frac{4(x^2+4) - 4x(2x)}{(x^2+4)^2} = \frac{16-4x^2}{(x^2+4)^2}$.

  Критические точки: $f'(x) = 0 \implies 16-4x^2=0 \implies x^2=4 \implies x=\pm 2$.

  Знаки производной:

  • $x \in (-\infty, -2)$: $f'(x) < 0$, убывает.
  • $x \in (-2, 2)$: $f'(x) > 0$, возрастает.
  • $x \in (2, +\infty)$: $f'(x) < 0$, убывает.

  $x=-2$ - точка минимума, $y_{min} = f(-2) = \frac{-8}{8}=-1$.

  $x=2$ - точка максимума, $y_{max} = f(2) = \frac{8}{8}=1$.

• 6. Промежутки выпуклости/вогнутости и точки перегиба.

  Вторая производная: $f''(x) = \frac{-8x(x^2+4)^2 - (16-4x^2)2(x^2+4)(2x)}{(x^2+4)^4} = \frac{-8x(x^2+4) - 4x(16-4x^2)}{(x^2+4)^3} = \frac{8x(x^2-12)}{(x^2+4)^3}$.

  $f''(x) = 0 \implies x(x^2-12)=0 \implies x=0, x=\pm\sqrt{12}=\pm 2\sqrt{3}$.

  Знаки второй производной:

  • $x \in (-\infty, -2\sqrt{3})$: $f''(x)<0$, выпуклая.
  • $x \in (-2\sqrt{3}, 0)$: $f''(x)>0$, вогнутая.
  • $x \in (0, 2\sqrt{3})$: $f''(x)<0$, выпуклая.
  • $x \in (2\sqrt{3}, +\infty)$: $f''(x)>0$, вогнутая.

  Точки перегиба: (0, 0), $(-2\sqrt{3}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$, $(2\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

• 7. Построение графика.

  График симметричен относительно начала координат, проходит через (0,0), имеет минимум в (-2, -1) и максимум в (2, 1). При $x \to \pm\infty$ график асимптотически приближается к оси Ox.

Ответ: Исследование функции $f(x) = \frac{4x}{x^2+4}$ показало: область определения - $(-\infty; +\infty)$; функция нечетная; точка пересечения с осями - (0, 0); горизонтальная асимптота $y=0$; функция убывает на $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$ и возрастает на $(-2, 2)$; точка локального минимума - (-2, -1), точка локального максимума - (2, 1); точки перегиба - $(0,0)$, $(\pm 2\sqrt{3}, \pm \frac{\sqrt{3}}{2})$.

5) $f(x) = \frac{1}{x^2 + 2x - 8}$

Проведем полное исследование функции.

• 1. Область определения.

  Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2 + 2x - 8 \neq 0 \implies (x+4)(x-2) \neq 0$. $x \neq -4, x \neq 2$.

  $D(f) = (-\infty, -4) \cup (-4, 2) \cup (2, +\infty)$.

• 2. Четность и нечетность.

  $f(-x) = \frac{1}{(-x)^2 + 2(-x) - 8} = \frac{1}{x^2 - 2x - 8}$. Функция общего вида.

• 3. Точки пересечения с осями координат.

  С осью Oy: $x=0 \implies y = f(0) = -1/8$. Точка (0, -1/8).

  С осью Ox: $y=0 \implies 1=0$, решений нет. График не пересекает ось Ox.

• 4. Асимптоты.

  Вертикальные асимптоты: $x=-4$ и $x=2$.

  Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^2+2x-8} = 0$. Горизонтальная асимптота $y=0$.

• 5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

  Первая производная: $f'(x) = -\frac{2x+2}{(x^2+2x-8)^2}$.

  Критические точки: $f'(x)=0 \implies 2x+2=0 \implies x=-1$.

  Знаки производной:

  • $x \in (-\infty, -4) \cup (-4, -1)$: $f'(x) > 0$, возрастает.
  • $x \in (-1, 2) \cup (2, +\infty)$: $f'(x) < 0$, убывает.

  $x=-1$ - точка максимума, $y_{max} = f(-1) = \frac{1}{1-2-8} = -1/9$.

• 6. Промежутки выпуклости/вогнутости и точки перегиба.

  Вторая производная: $f''(x) = \frac{6(x^2+2x+4)}{(x^2+2x-8)^3}$.

  Числитель $6(x^2+2x+4)$ всегда положителен (дискриминант $D<0$). Знак $f''(x)$ зависит от знака знаменателя $(x^2+2x-8)^3$.

  Знаки второй производной:

  • $x \in (-\infty, -4)$: $f''(x)>0$, вогнутая.
  • $x \in (-4, 2)$: $f''(x)<0$, выпуклая.
  • $x \in (2, +\infty)$: $f''(x)>0$, вогнутая.

  Точек перегиба нет.

• 7. Построение графика.

  График состоит из трех ветвей, разделенных вертикальными асимптотами $x=-4$ и $x=2$. Имеется горизонтальная асимптота $y=0$. Между асимптотами график имеет максимум в точке (-1, -1/9).

Ответ: Исследование функции $f(x) = \frac{1}{x^2+2x-8}$ показало: область определения - $(-\infty, -4) \cup (-4, 2) \cup (2, +\infty)$; функция общего вида; точка пересечения с осью Oy - (0, -1/8); вертикальные асимптоты $x=-4, x=2$, горизонтальная асимптота $y=0$; функция возрастает на $(-\infty, -4) \cup (-4, -1)$ и убывает на $(-1, 2) \cup (2, +\infty)$; точка локального максимума - (-1, -1/9); график вогнутый на $(-\infty, -4) \cup (2, +\infty)$ и выпуклый на $(-4, 2)$; точек перегиба нет.

6) $f(x) = \frac{x}{x^2 - 4}$

Проведем полное исследование функции.

• 1. Область определения.

  $x^2 - 4 \neq 0 \implies x \neq \pm 2$.

  $D(f) = (-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty)$.

• 2. Четность и нечетность.

  $f(-x) = \frac{-x}{(-x)^2 - 4} = -\frac{x}{x^2 - 4} = -f(x)$.

  Функция является нечетной. График симметричен относительно начала координат.

• 3. Точки пересечения с осями координат.

  С осью Oy: $x=0 \implies y = 0$. Точка (0, 0).

  С осью Ox: $y=0 \implies x=0$. Точка (0, 0).

• 4. Асимптоты.

  Вертикальные асимптоты: $x=-2$ и $x=2$.

  Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{x^2-4} = 0$. Горизонтальная асимптота $y=0$.

• 5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

  Первая производная: $f'(x) = \frac{1(x^2-4) - x(2x)}{(x^2-4)^2} = \frac{-x^2-4}{(x^2-4)^2} = -\frac{x^2+4}{(x^2-4)^2}$.

  Поскольку $x^2+4 > 0$ и $(x^2-4)^2 > 0$ в области определения, $f'(x)$ всегда отрицательна. Функция убывает на каждом интервале своей области определения. Точек экстремума нет.

• 6. Промежутки выпуклости/вогнутости и точки перегиба.

  Вторая производная: $f''(x) = \frac{2x(x^2+12)}{(x^2-4)^3}$.

  Знак $f''(x)$ определяется знаком выражения $\frac{x}{(x^2-4)^3}$.

  Знаки второй производной:

  • $x \in (-\infty, -2)$: $f''(x)<0$, выпуклая.
  • $x \in (-2, 0)$: $f''(x)>0$, вогнутая.
  • $x \in (0, 2)$: $f''(x)<0$, выпуклая.
  • $x \in (2, +\infty)$: $f''(x)>0$, вогнутая.

  В точке $x=0$ вторая производная меняет знак, значит, это точка перегиба. $y_{перегиба} = f(0) = 0$. Точка перегиба (0, 0).

• 7. Построение графика.

  График состоит из трех ветвей, разделенных вертикальными асимптотами $x=-2$ и $x=2$. Он симметричен относительно начала координат и проходит через точку (0,0), которая является точкой перегиба. График асимптотически приближается к оси Ox при $x \to \pm\infty$.

Ответ: Исследование функции $f(x) = \frac{x}{x^2-4}$ показало: область определения - $(-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty)$; функция нечетная; точка пересечения с осями - (0, 0); вертикальные асимптоты $x=-2, x=2$, горизонтальная асимптота $y=0$; функция всегда убывает на всей области определения; точек экстремума нет; график выпуклый на $(-\infty, -2) \cup (0, 2)$ и вогнутый на $(-2, 0) \cup (2, +\infty)$; точка перегиба - (0, 0).