Страница 60 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

23. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{3x + 2}$;

2) $y = \sqrt{\frac{1}{3}x - 2}$;

3) $y = \sqrt{2 - 3x}$;

4) $y = \sqrt{3x + 2} + 1$;

5) $y = \frac{1}{3}\sqrt{4 - 2x - 2}$;

6) $y = -\frac{1}{3}\sqrt{4x - 6} + 3$.

1) $y = \sqrt{3x+2}$

Это функция вида $y=\sqrt{ax+b}$, график которой является ветвью параболы. Для построения графика выполним следующие шаги:

1. Найдем область определения функции.

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$3x + 2 \ge 0$

$3x \ge -2$

$x \ge -\frac{2}{3}$

Следовательно, область определения функции $D(y) = [-\frac{2}{3}; +\infty)$.

2. Найдем начальную точку графика.

График начинается в точке, где подкоренное выражение равно нулю.

Если $x = -\frac{2}{3}$, то $y = \sqrt{3(-\frac{2}{3}) + 2} = \sqrt{-2+2} = \sqrt{0} = 0$.

Начальная точка графика — $(-\frac{2}{3}, 0)$.

3. Найдем несколько дополнительных точек.

Для более точного построения графика найдем координаты еще нескольких точек, принадлежащих ему:

• При $x = -1/3$: $y = \sqrt{3(-1/3)+2} = \sqrt{-1+2} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(-1/3, 1)$.
• При $x = 2/3$: $y = \sqrt{3(2/3)+2} = \sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(2/3, 2)$.
• При $x = 7/3$: $y = \sqrt{3(7/3)+2} = \sqrt{7+2} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(7/3, 3)$.

Отметим точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией, начиная с точки $(-\frac{2}{3}, 0)$.

Ответ: График функции — это ветвь параболы, которая начинается в точке $(-\frac{2}{3}, 0)$ и направлена вправо и вверх.

2) $y = \sqrt{\frac{1}{3}x - 2}$

Это функция квадратного корня, ее график — ветвь параболы.

1. Найдем область определения функции.

$\frac{1}{3}x - 2 \ge 0$

$\frac{1}{3}x \ge 2$

$x \ge 6$

Область определения: $D(y) = [6; +\infty)$.

2. Найдем начальную точку графика.

При $x = 6$, $y = \sqrt{\frac{1}{3}(6) - 2} = \sqrt{2-2} = \sqrt{0} = 0$.

Начальная точка графика — $(6, 0)$.

3. Найдем несколько дополнительных точек.

• При $x = 9$: $y = \sqrt{\frac{1}{3}(9)-2} = \sqrt{3-2} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(9, 1)$.
• При $x = 18$: $y = \sqrt{\frac{1}{3}(18)-2} = \sqrt{6-2} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(18, 2)$.
• При $x = 33$: $y = \sqrt{\frac{1}{3}(33)-2} = \sqrt{11-2} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(33, 3)$.

График можно получить из графика функции $y = \sqrt{x}$ растяжением от оси OY в 3 раза и сдвигом вправо на 6 единиц.

Ответ: График функции — это ветвь параболы, которая начинается в точке $(6, 0)$ и направлена вправо и вверх.

3) $y = \sqrt{2 - 3x}$

Это функция квадратного корня, ее график — ветвь параболы.

1. Найдем область определения функции.

$2 - 3x \ge 0$

$2 \ge 3x$

$x \le \frac{2}{3}$

Область определения: $D(y) = (-\infty; \frac{2}{3}]$.

2. Найдем начальную точку графика.

При $x = \frac{2}{3}$, $y = \sqrt{2 - 3(\frac{2}{3})} = \sqrt{2-2} = \sqrt{0} = 0$.

Начальная точка графика — $(\frac{2}{3}, 0)$.

3. Найдем несколько дополнительных точек.

• При $x = 1/3$: $y = \sqrt{2 - 3(1/3)} = \sqrt{2-1} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(1/3, 1)$.
• При $x = -2/3$: $y = \sqrt{2 - 3(-2/3)} = \sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(-2/3, 2)$.
• При $x = -7/3$: $y = \sqrt{2 - 3(-7/3)} = \sqrt{2+7} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(-7/3, 3)$.

Так как коэффициент при $x$ отрицательный, ветвь параболы будет направлена влево.

Ответ: График функции — это ветвь параболы, которая начинается в точке $(\frac{2}{3}, 0)$ и направлена влево и вверх.

4) $y = \sqrt{3x+2} + 1$

Это функция квадратного корня, смещенная по вертикали.

1. Найдем область определения функции.

Область определения такая же, как у функции в пункте 1): $3x + 2 \ge 0 \implies x \ge -\frac{2}{3}$.

Область определения: $D(y) = [-\frac{2}{3}; +\infty)$.

2. Найдем начальную точку графика.

При $x = -\frac{2}{3}$, $y = \sqrt{3(-\frac{2}{3}) + 2} + 1 = \sqrt{0} + 1 = 1$.

Начальная точка графика — $(-\frac{2}{3}, 1)$.

3. Построение графика.

Данный график можно получить из графика функции $y = \sqrt{3x+2}$ (из задания 1) сдвигом вверх по оси OY на 1 единицу.

Найдем несколько дополнительных точек:

• При $x = -1/3$: $y = \sqrt{3(-1/3)+2} + 1 = \sqrt{1} + 1 = 2$. Точка $(-1/3, 2)$.
• При $x = 2/3$: $y = \sqrt{3(2/3)+2} + 1 = \sqrt{4} + 1 = 3$. Точка $(2/3, 3)$.
• При $x = 7/3$: $y = \sqrt{3(7/3)+2} + 1 = \sqrt{9} + 1 = 4$. Точка $(7/3, 4)$.

Ответ: График функции — это ветвь параболы, которая начинается в точке $(-\frac{2}{3}, 1)$ и направлена вправо и вверх.

5) $y = \frac{1}{3}\sqrt{4-2x} - 2$

Это преобразованная функция квадратного корня.

1. Найдем область определения функции.

$4 - 2x \ge 0 \implies 4 \ge 2x \implies x \le 2$.

Область определения: $D(y) = (-\infty; 2]$.

2. Найдем начальную точку графика.

При $x = 2$, $y = \frac{1}{3}\sqrt{4-2(2)} - 2 = \frac{1}{3}\sqrt{0} - 2 = -2$.

Начальная точка графика — $(2, -2)$.

3. Найдем несколько дополнительных точек.

• При $x = 0$: $y = \frac{1}{3}\sqrt{4-0} - 2 = \frac{2}{3} - 2 = -\frac{4}{3}$. Точка $(0, -4/3)$.
• При $x = -2.5$: $y = \frac{1}{3}\sqrt{4-2(-2.5)} - 2 = \frac{1}{3}\sqrt{9} - 2 = 1 - 2 = -1$. Точка $(-2.5, -1)$.
• При $x = -6$: $y = \frac{1}{3}\sqrt{4-2(-6)} - 2 = \frac{1}{3}\sqrt{16} - 2 = \frac{4}{3} - 2 = -\frac{2}{3}$. Точка $(-6, -2/3)$.

График направлен влево (т.к. коэффициент при $x$ отрицательный) и вверх (т.к. коэффициент перед корнем положительный).

Ответ: График функции — это ветвь параболы, которая начинается в точке $(2, -2)$ и направлена влево и вверх.

6) $y = -\frac{1}{3}\sqrt{4x-6} + 3$

Это преобразованная функция квадратного корня.

1. Найдем область определения функции.

$4x - 6 \ge 0 \implies 4x \ge 6 \implies x \ge \frac{3}{2}$.

Область определения: $D(y) = [\frac{3}{2}; +\infty)$.

2. Найдем начальную точку графика.

При $x = \frac{3}{2}$, $y = -\frac{1}{3}\sqrt{4(\frac{3}{2})-6} + 3 = -\frac{1}{3}\sqrt{6-6} + 3 = 3$.

Начальная точка графика — $(\frac{3}{2}, 3)$ или $(1.5, 3)$.

3. Найдем несколько дополнительных точек.

Для удобства вычислений можно вынести 4 из-под корня: $y = -\frac{1}{3}\sqrt{4(x-\frac{3}{2})} + 3 = -\frac{2}{3}\sqrt{x-\frac{3}{2}} + 3$.

• При $x = 2.5$ ($x = 5/2$): $y = -\frac{1}{3}\sqrt{4(5/2)-6} + 3 = -\frac{1}{3}\sqrt{4} + 3 = -\frac{2}{3} + 3 = \frac{7}{3}$. Точка $(2.5, 7/3 \approx 2.33)$.
• При $x = 3.75$ ($x=15/4$): $y = -\frac{1}{3}\sqrt{4(15/4)-6} + 3 = -\frac{1}{3}\sqrt{9} + 3 = -1 + 3 = 2$. Точка $(3.75, 2)$.
• При $x = 10.5$ ($x=21/2$): $y = -\frac{1}{3}\sqrt{4(21/2)-6} + 3 = -\frac{1}{3}\sqrt{36} + 3 = -2 + 3 = 1$. Точка $(10.5, 1)$.

График направлен вправо (т.к. коэффициент при $x$ положительный) и вниз (т.к. коэффициент перед корнем отрицательный).

Ответ: График функции — это ветвь параболы, которая начинается в точке $(\frac{3}{2}, 3)$ и направлена вправо и вниз.

24. Какие из функций, графики которых изображены на рисунке 14, являются обратимыми?

Рис. 14

a

$y$, $x$, $0$

б

$y$, $x$, $0$

в

$y$, $x$, $0$, $2$, $-3$, $3$

Функция называется обратимой, если она каждому своему значению ставит в соответствие единственное значение аргумента. Графически это можно проверить с помощью теста горизонтальной прямой: функция является обратимой, если любая горизонтальная прямая пересекает её график не более чем в одной точке.

Проанализируем каждый график:

а) На этом графике изображена парабола. Если провести горизонтальную прямую ниже вершины параболы, она пересечет график в двух точках. Это означает, что разным значениям аргумента ($x_1$ и $x_2$) соответствует одно и то же значение функции. Следовательно, данная функция не является обратимой.
Ответ: функция не является обратимой.

б) На этом графике изображена гипербола. Любая горизонтальная прямая (кроме $y=0$, которая не пересекает график) пересекает каждую из ветвей гиперболы ровно в одной точке. Таким образом, каждому значению функции из её области значений соответствует ровно одно значение аргумента. Следовательно, эта функция является обратимой.
Ответ: функция является обратимой.

в) На этом графике изображена постоянная функция $y=2$ на отрезке $[-3, 3]$. Горизонтальная прямая $y=2$ пересекает график в бесконечном множестве точек (во всех точках отрезка от $x=-3$ до $x=3$). Это означает, что одному значению функции соответствует бесконечное множество значений аргумента. Следовательно, данная функция не является обратимой.
Ответ: функция не является обратимой.

25. Докажите, что данная функция не является обратимой:

1) $y = -x^2 + 2;$

2) $y = \frac{1}{x^2};$

3) $y = 4.$

Функция является обратимой, если она взаимно-однозначна (инъективна), то есть каждому значению $y$ из области значений соответствует ровно одно значение $x$ из области определения. Чтобы доказать, что функция не является обратимой, достаточно найти два различных значения аргумента $x_1$ и $x_2$ ($x_1 \neq x_2$), для которых значения функции равны, то есть $f(x_1) = f(x_2)$.

Рассмотрим данную функцию. Это квадратичная функция, ее график — парабола с ветвями, направленными вниз. Область определения функции — все действительные числа $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Возьмем два различных симметричных относительно нуля значения аргумента, например, $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Найдем соответствующие им значения функции:

$y(1) = -(1)^2 + 2 = -1 + 2 = 1$

$y(-1) = -(-1)^2 + 2 = -1 + 2 = 1$

Поскольку различным значениям аргумента $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$ соответствует одно и то же значение функции $y = 1$, данная функция не является взаимно-однозначной, а значит, и не является обратимой.

Ответ: функция $y = -x^2 + 2$ не является обратимой, так как она не является взаимно-однозначной (например, $y(1) = y(-1) = 1$).

Область определения данной функции: $x \neq 0$, то есть $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Возьмем два различных значения аргумента из области определения, например, $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Найдем значения функции в этих точках:

$y(2) = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$

$y(-2) = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}$

Так как разным значениям аргумента $x=2$ и $x=-2$ соответствует одно и то же значение функции $y = \frac{1}{4}$, функция не является взаимно-однозначной и, следовательно, не является обратимой.

Ответ: функция $y = \frac{1}{x^2}$ не является обратимой, так как она не является взаимно-однозначной (например, $y(2) = y(-2) = \frac{1}{4}$).

Данная функция является постоянной (константой). Область ее определения — все действительные числа $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Для любого значения аргумента $x$ значение функции всегда равно 4. Возьмем любые два различных значения аргумента, например, $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$.

Найдем значения функции в этих точках:

$y(0) = 4$

$y(5) = 4$

Поскольку бесконечному множеству различных значений аргумента $x$ соответствует одно-единственное значение функции $y=4$, функция не является взаимно-однозначной и, следовательно, не является обратимой.

Ответ: функция $y = 4$ не является обратимой, так как она является постоянной и принимает одно и то же значение для всех $x$ из области определения.

26. Какие из функций являются обратимыми:

1) $y = \frac{1}{x}$;

2) $y = x^2, x \in [-3; 3]$;

3) $y = x^2, x \in (-\infty; -1]$;

4) $y = x^2, x \in (-\infty; 1]$?

Функция является обратимой, если она является инъективной (взаимно-однозначной), то есть каждому значению функции соответствует единственное значение аргумента. Достаточным условием обратимости является строгая монотонность функции на всей ее области определения (она должна быть либо строго возрастающей, либо строго убывающей).

1) $y = \frac{1}{x}$

Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; \infty)$.
Чтобы проверить, является ли функция обратимой, проверим ее на инъективность. Предположим, что $f(x_1) = f(x_2)$ для некоторых $x_1, x_2$ из области определения. $\frac{1}{x_1} = \frac{1}{x_2}$ Из этого равенства следует, что $x_1 = x_2$. Это означает, что разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции, следовательно, функция инъективна и обратима на всей своей области определения.
Также можно проанализировать производную: $y' = -\frac{1}{x^2}$. Поскольку $x^2 > 0$ для всех $x \neq 0$, производная $y' < 0$ на всей области определения. Это означает, что функция строго убывает на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; \infty)$, что подтверждает ее инъективность.

Ответ: функция является обратимой.

2) $y = x^2, x \in [-3; 3]$

Функция определена на отрезке $[-3; 3]$. Проверим ее на строгую монотонность на этом отрезке. Производная функции: $y' = 2x$.

• При $x \in [-3; 0)$, производная $y' < 0$, значит, функция строго убывает.
• При $x \in (0; 3]$, производная $y' > 0$, значит, функция строго возрастает.

Поскольку на своей области определения функция сначала убывает, а затем возрастает, она не является строго монотонной и, следовательно, не является обратимой. Например, возьмем два разных значения аргумента из этого отрезка: $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. $y(-2) = (-2)^2 = 4$ $y(2) = 2^2 = 4$ Так как $y(-2) = y(2)$ при $-2 \neq 2$, функция не является инъективной.

Ответ: функция не является обратимой.

3) $y = x^2, x \in (-\infty; -1]$

Функция определена на промежутке $(-\infty; -1]$. Проверим ее на строгую монотонность. Производная функции: $y' = 2x$. Для любого $x$ из области определения $(-\infty; -1]$, значение $x$ отрицательно ($x \le -1$). Следовательно, производная $y' = 2x$ также будет отрицательной ($y' \le -2$). Поскольку производная отрицательна на всей области определения, функция является строго убывающей. Строго монотонная функция является обратимой.

Ответ: функция является обратимой.

4) $y = x^2, x \in (-\infty; 1]$

Функция определена на промежутке $(-\infty; 1]$. Проверим ее на строгую монотонность. Производная функции: $y' = 2x$.

• При $x \in (-\infty; 0)$, производная $y' < 0$, значит, функция строго убывает.
• При $x \in (0; 1]$, производная $y' > 0$, значит, функция строго возрастает.

На своей области определения функция не является строго монотонной, следовательно, она не является обратимой. Например, возьмем два разных значения аргумента из этого промежутка: $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. $y(-1) = (-1)^2 = 1$ $y(1) = 1^2 = 1$ Так как $y(-1) = y(1)$ при $-1 \neq 1$, функция не является инъективной.

Ответ: функция не является обратимой.

27. Найдите функцию, обратную к данной:

1) $y = 5 - 4x$;

2) $y = \frac{6}{1 - x}$;

3) $y = 2 - \sqrt{x - 3}$;

4) $y = x^2, x \in (-\infty; -2]$;

5) $y = \frac{x}{x + 3}$.

Для нахождения функции, обратной к данной $y = f(x)$, необходимо выразить переменную $x$ через $y$, а затем в полученном выражении $x = g(y)$ поменять переменные $x$ и $y$ местами. Важно также определить область определения и область значений для исходной и обратной функций, так как область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной, а область значений обратной — с областью определения исходной.

1) $y = 5 - 4x$

Это линейная функция, ее область определения и область значений — все действительные числа. Выразим $x$ через $y$:

$4x = 5 - y$

$x = \frac{5 - y}{4}$

Теперь поменяем местами $x$ и $y$, чтобы получить обратную функцию:

$y = \frac{5 - x}{4}$

Ответ: $y = \frac{5-x}{4}$.

2) $y = \frac{6}{1 - x}$

Найдем область определения исходной функции. Знаменатель не должен быть равен нулю: $1 - x \neq 0$, следовательно, $x \neq 1$. Выразим $x$ через $y$:

$y(1-x) = 6$

Так как $y$ не может быть равно нулю (иначе $6=0$, что неверно), можем разделить на $y$:

$1 - x = \frac{6}{y}$

$x = 1 - \frac{6}{y}$

Заменяя $x$ на $y$ и $y$ на $x$, получаем обратную функцию:

$y = 1 - \frac{6}{x}$

Ответ: $y = 1 - \frac{6}{x}$.

3) $y = 2 - \sqrt{x - 3}$

Найдем область определения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x - 3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$. Итак, $D(y) = [3, +\infty)$.

Найдем область значений. Так как $\sqrt{x-3} \ge 0$, то $-\sqrt{x-3} \le 0$. Следовательно, $y = 2 - \sqrt{x-3} \le 2$. Итак, $E(y) = (-\infty, 2]$.

Выразим $x$ через $y$:

$\sqrt{x - 3} = 2 - y$

Поскольку левая часть (арифметический корень) неотрицательна, то и правая должна быть неотрицательна: $2 - y \ge 0$, то есть $y \le 2$, что соответствует найденной области значений.

Возведем обе части в квадрат:

$x - 3 = (2 - y)^2$

$x = (2 - y)^2 + 3$

Меняем $x$ и $y$ местами:

$y = (2 - x)^2 + 3$

Область определения обратной функции — это область значений исходной: $x \in (-\infty, 2]$.

Ответ: $y = (2 - x)^2 + 3$, при $x \in (-\infty, 2]$.

4) $y = x^2, x \in (-\infty, -2]$

Область определения дана: $D(y) = (-\infty, -2]$.

На этом интервале функция $y = x^2$ строго убывает. Найдем область значений. При $x = -2$, $y = (-2)^2 = 4$. Поскольку $x$ уходит в $-\infty$, $y$ уходит в $+\infty$. Таким образом, $E(y) = [4, +\infty)$.

Выразим $x$ через $y$:

$x^2 = y$

$x = \pm \sqrt{y}$

Поскольку по условию $x \in (-\infty, -2]$, то есть $x$ — отрицательное число, мы выбираем знак минус:

$x = -\sqrt{y}$

Меняем $x$ и $y$ местами:

$y = -\sqrt{x}$

Область определения обратной функции — это область значений исходной: $x \in [4, +\infty)$.

Ответ: $y = -\sqrt{x}$, при $x \in [4, +\infty)$.

5) $y = \frac{x}{x + 3}$

Найдем область определения: $x+3 \neq 0$, то есть $x \neq -3$. Выразим $x$ через $y$:

$y(x + 3) = x$

$yx + 3y = x$

$3y = x - yx$

$3y = x(1 - y)$

Если $1 - y \neq 0$, то есть $y \neq 1$, то $x = \frac{3y}{1 - y}$. Таким образом, область значений исходной функции $E(y) = (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$.

Меняем $x$ и $y$ местами:

$y = \frac{3x}{1 - x}$

Ответ: $y = \frac{3x}{1 - x}$.