Страница 64 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

40. Найдите множество решений неравенства:

1) $ \frac{x^2 - 5x}{x^2 - 25} \ge 0; $

2) $ \frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - x - 2} \ge 0. $

1)

Решим неравенство $\frac{x^2 - 5x}{x^2 - 25} \ge 0$.

Сначала разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $x^2 - 5x = x(x - 5)$.

Знаменатель: $x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$ (формула разности квадратов).

Неравенство принимает вид: $\frac{x(x - 5)}{(x - 5)(x + 5)} \ge 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не может быть равен нулю.

$(x - 5)(x + 5) \ne 0$, откуда получаем $x \ne 5$ и $x \ne -5$.

При условии $x \ne 5$ мы можем сократить дробь на общий множитель $(x - 5)$:

$\frac{x}{x + 5} \ge 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $x = 0$.

Нуль знаменателя: $x + 5 = 0 \implies x = -5$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Точка $x=0$ будет "закрашенной" (включенной), так как неравенство нестрогое ($\ge$). Точка $x=-5$ будет "выколотой" (не включенной), так как она обращает знаменатель в ноль.

Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -5)$, $(-5; 0]$ и $[0; +\infty)$. Определим знак выражения $\frac{x}{x + 5}$ на каждом из них:

• При $x \in (-\infty; -5)$ (например, $x=-6$): $\frac{-6}{-6+5} = \frac{-6}{-1} = 6 > 0$. Интервал подходит.
• При $x \in (-5; 0)$ (например, $x=-1$): $\frac{-1}{-1+5} = -\frac{1}{4} < 0$. Интервал не подходит.
• При $x \in (0; +\infty)$ (например, $x=1$): $\frac{1}{1+5} = \frac{1}{6} > 0$. Интервал подходит.

Таким образом, решение неравенства $\frac{x}{x + 5} \ge 0$ есть объединение промежутков $(-\infty; -5) \cup [0; +\infty)$.

Теперь необходимо учесть ОДЗ, а именно $x \ne 5$. Точка $5$ попадает в промежуток $[0; +\infty)$, поэтому ее нужно исключить. Для этого разобьем этот промежуток на два: $[0; 5)$ и $(5; +\infty)$.

Итоговое множество решений: $(-\infty; -5) \cup [0; 5) \cup (5; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup [0; 5) \cup (5; +\infty)$.

2)

Решим неравенство $\frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - x - 2} \ge 0$.

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель является полным квадратом: $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$.

Для разложения знаменателя $x^2 - x - 2$ найдем его корни, решив уравнение $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а их произведение равно -2. Легко подобрать корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Таким образом, $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$.

Неравенство принимает вид: $\frac{(x - 2)^2}{(x - 2)(x + 1)} \ge 0$.

Найдем ОДЗ: знаменатель не равен нулю.

$(x - 2)(x + 1) \ne 0$, откуда $x \ne 2$ и $x \ne -1$.

При условии $x \ne 2$ мы можем сократить дробь на $(x - 2)$:

$\frac{x - 2}{x + 1} \ge 0$.

Решим полученное неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $x - 2 = 0 \implies x = 2$.

Нуль знаменателя: $x + 1 = 0 \implies x = -1$.

Отметим точки на числовой прямой. Точка $x=-1$ выколота (из знаменателя). Точка $x=2$ также выколота, так как по ОДЗ $x \ne 2$.

Определим знаки выражения $\frac{x - 2}{x + 1}$ в интервалах $(-\infty; -1)$, $(-1; 2)$ и $(2; +\infty)$.

• При $x \in (-\infty; -1)$ (например, $x=-3$): $\frac{-3-2}{-3+1} = \frac{-5}{-2} > 0$. Интервал подходит.
• При $x \in (-1; 2)$ (например, $x=0$): $\frac{0-2}{0+1} = -2 < 0$. Интервал не подходит.
• При $x \in (2; +\infty)$ (например, $x=3$): $\frac{3-2}{3+1} = \frac{1}{4} > 0$. Интервал подходит.

Объединяя подходящие интервалы, получаем решение: $(-\infty; -1) \cup (2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (2; +\infty)$.

41. Решите неравенство:

1) $\frac{x^2 + 2x - 3}{|x - 5|} \ge 0;$

2) $\frac{|x - 3|}{x^2 - 5x - 36} \ge 0;$

3) $\frac{x^2 - 7x + 12}{|x + 3|(x - 2)} \le 0.$

1) $ \frac{x^2 + 2x - 3}{|x-5|} \ge 0 $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $|x-5| \neq 0$, откуда следует, что $x \neq 5$.

Выражение в знаменателе, $|x-5|$, является модулем, который всегда неотрицателен. Так как мы исключили случай $x=5$, знаменатель $|x-5|$ всегда строго положителен для любого $x$ из ОДЗ.

Поскольку знаменатель дроби всегда положителен, знак всей дроби определяется знаком числителя. Таким образом, исходное неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 + 2x - 3 \ge 0 \\ x \neq 5 \end{cases} $

Решим квадратное неравенство $x^2 + 2x - 3 \ge 0$. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна -2, а их произведение равно -3. Корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$.

Графиком функции $y = x^2 + 2x - 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции неотрицательны (больше или равны нулю) на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Следовательно, решение неравенства $x^2 + 2x - 3 \ge 0$ есть $x \in (-\infty, -3] \cup [1, \infty)$.

Теперь необходимо учесть ОДЗ, то есть исключить $x=5$ из найденного множества решений. Точка $x=5$ входит в промежуток $[1, \infty)$, поэтому мы должны "выколоть" ее.

Окончательное решение: $x \in (-\infty, -3] \cup [1, 5) \cup (5, \infty)$.

Ответ: $(-\infty, -3] \cup [1, 5) \cup (5, \infty)$.

2) $ \frac{|x-3|}{x^2 - 5x - 36} \ge 0 $

Найдем ОДЗ: знаменатель $x^2 - 5x - 36 \neq 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 5x - 36 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, произведение равно -36. Корни: $x_1 = 9$ и $x_2 = -4$. Значит, ОДЗ: $x \neq 9$ и $x \neq -4$.

Числитель дроби $|x-3|$ всегда неотрицателен, т.е. $|x-3| \ge 0$.

Неравенство выполняется в двух случаях:

Случай 1: Дробь равна нулю. Это происходит, когда числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. $|x-3|=0 \implies x=3$. Проверим, удовлетворяет ли это значение ОДЗ. При $x=3$ знаменатель равен $3^2 - 5(3) - 36 = 9 - 15 - 36 = -42 \neq 0$. Значит, $x=3$ является решением неравенства.

Случай 2: Дробь строго больше нуля. Так как числитель $|x-3|$ положителен (при $x \neq 3$), для того чтобы дробь была положительной, знаменатель также должен быть строго положителен: $x^2 - 5x - 36 > 0$. Корни мы уже нашли: -4 и 9. Графиком является парабола с ветвями вверх, поэтому она положительна вне интервала между корнями. Решение этого неравенства: $x \in (-\infty, -4) \cup (9, \infty)$.

Объединим решения, полученные в обоих случаях. К множеству $(-\infty, -4) \cup (9, \infty)$ нужно добавить изолированную точку $x=3$.

Ответ: $(-\infty, -4) \cup \{3\} \cup (9, \infty)$.

3) $ \frac{x^2 - 7x + 12}{|x+3|(x-2)} \le 0 $

Найдем ОДЗ: знаменатель не равен нулю. Из $|x+3| \neq 0$ следует $x \neq -3$. Из $x-2 \neq 0$ следует $x \neq 2$.

Множитель $|x+3|$ в знаменателе всегда положителен для всех $x$ из ОДЗ. Следовательно, он не влияет на знак дроби, и мы можем сократить на него, сохранив условие $x \neq -3$. Неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} \frac{x^2 - 7x + 12}{x-2} \le 0 \\ x \neq -3 \end{cases} $

Разложим числитель $x^2 - 7x + 12$ на множители. Корни уравнения $x^2 - 7x + 12 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$. Тогда $x^2 - 7x + 12 = (x-3)(x-4)$.

Получаем неравенство: $ \frac{(x-3)(x-4)}{x-2} \le 0 $.

Решим его методом интервалов. Нанесем на числовую ось нули числителя (точки 3 и 4, они будут закрашенными, так как неравенство нестрогое) и нуль знаменателя (точка 2, она будет выколотой).

Получим интервалы: $(-\infty, 2)$, $(2, 3]$, $[3, 4]$, $[4, \infty)$. Определим знак выражения на каждом интервале:

• при $x > 4$ (например, $x=5$): $ \frac{(+)(+)}{(+)} > 0 $
• при $x \in [3, 4]$ (например, $x=3.5$): $ \frac{(+)(-)}{(+)} < 0 $
• при $x \in (2, 3]$ (например, $x=2.5$): $ \frac{(-)(-)}{(+)} > 0 $
• при $x < 2$ (например, $x=0$): $ \frac{(-)(-)}{(-)} < 0 $

Нас интересуют промежутки, где выражение меньше или равно нулю. Это $x \in (-\infty, 2) \cup [3, 4]$.

Теперь учтем дополнительное условие из ОДЗ: $x \neq -3$. Точка -3 попадает в интервал $(-\infty, 2)$, поэтому ее необходимо исключить.

Итоговое решение: $x \in (-\infty, -3) \cup (-3, 2) \cup [3, 4]$.

Ответ: $(-\infty, -3) \cup (-3, 2) \cup [3, 4]$.

42. Решите неравенство:

1) $\frac{5x - 8}{x + 1} \le \frac{x - 4}{x + 1}$;

2) $\frac{2x}{3x + 5} \le 2$;

3) $\frac{x^2 + 7x}{x + 3} \le \frac{8}{x + 3}$;

4) $\frac{x^2 - x}{x + 3} \ge 1$.

1)

Исходное неравенство: $\frac{5x - 8}{x + 1} \le \frac{x - 4}{x + 1}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $x + 1 \neq 0$, следовательно, $x \neq -1$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть, чтобы сравнить выражение с нулем:

$\frac{5x - 8}{x + 1} - \frac{x - 4}{x + 1} \le 0$

Так как знаменатели одинаковы, объединим числители:

$\frac{(5x - 8) - (x - 4)}{x + 1} \le 0$

$\frac{5x - 8 - x + 4}{x + 1} \le 0$

$\frac{4x - 4}{x + 1} \le 0$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдем корни числителя и знаменателя.

Корень числителя: $4x - 4 = 0 \Rightarrow 4x = 4 \Rightarrow x = 1$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), эта точка будет включена в решение.

Корень знаменателя: $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$. Эта точка всегда исключается из решения (выколотая точка), так как она обращает знаменатель в ноль.

Отметим точки $x = -1$ и $x = 1$ на числовой оси и определим знаки выражения на каждом из полученных интервалов:

• При $x < -1$ (например, $x=-2$): $\frac{4(-2)-4}{-2+1} = \frac{-12}{-1} = 12 > 0$. Знак "+".
• При $-1 < x < 1$ (например, $x=0$): $\frac{4(0)-4}{0+1} = \frac{-4}{1} = -4 < 0$. Знак "-".
• При $x > 1$ (например, $x=2$): $\frac{4(2)-4}{2+1} = \frac{4}{3} > 0$. Знак "+".

Нам нужно найти, где выражение меньше или равно нулю. Это интервал, где знак "-", включая корень числителя. Таким образом, решение: $x \in (-1, 1]$.

Ответ: $(-1; 1]$.

2)

Исходное неравенство: $\frac{2x}{3x + 5} \le 2$.

ОДЗ: $3x + 5 \neq 0 \Rightarrow 3x \neq -5 \Rightarrow x \neq -\frac{5}{3}$.

Перенесем 2 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{2x}{3x + 5} - 2 \le 0$

$\frac{2x - 2(3x + 5)}{3x + 5} \le 0$

$\frac{2x - 6x - 10}{3x + 5} \le 0$

$\frac{-4x - 10}{3x + 5} \le 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$\frac{4x + 10}{3x + 5} \ge 0$

Решим методом интервалов. Найдем корни числителя и знаменателя.

Корень числителя: $4x + 10 = 0 \Rightarrow 4x = -10 \Rightarrow x = -2.5$. Точка включается в решение.

Корень знаменателя: $3x + 5 = 0 \Rightarrow 3x = -5 \Rightarrow x = -\frac{5}{3}$. Точка исключается.

Отметим точки $x = -2.5$ и $x = -\frac{5}{3}$ на числовой оси. Заметим, что $-2.5 < -\frac{5}{3}$.

• При $x < -2.5$ (например, $x=-3$): $\frac{4(-3)+10}{3(-3)+5} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2} > 0$. Знак "+".
• При $-2.5 < x < -\frac{5}{3}$ (например, $x=-2$): $\frac{4(-2)+10}{3(-2)+5} = \frac{2}{-1} = -2 < 0$. Знак "-".
• При $x > -\frac{5}{3}$ (например, $x=0$): $\frac{4(0)+10}{3(0)+5} = \frac{10}{5} = 2 > 0$. Знак "+".

Нам нужно найти, где выражение больше или равно нулю. Это объединение интервалов, где стоит знак "+", включая корень числителя. Решение: $x \in (-\infty, -2.5] \cup (-\frac{5}{3}, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -2.5] \cup (-\frac{5}{3}; +\infty)$.

3)

Исходное неравенство: $\frac{x^2 + 7x}{x + 3} \le \frac{8}{x + 3}$.

ОДЗ: $x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$.

Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{x^2 + 7x}{x + 3} - \frac{8}{x + 3} \le 0$

$\frac{x^2 + 7x - 8}{x + 3} \le 0$

Найдем корни числителя и знаменателя. Для числителя решим квадратное уравнение $x^2 + 7x - 8 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -7, а произведение -8. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -8$. Эти точки включаются в решение.

Корень знаменателя: $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$. Точка исключается.

Разложим числитель на множители: $\frac{(x - 1)(x + 8)}{x + 3} \le 0$.

Отметим точки $x = -8$, $x = -3$ и $x = 1$ на числовой оси и определим знаки:

• При $x < -8$ (например, $x=-10$): $\frac{(-)(-)_}{(-)} < 0$. Знак "-".
• При $-8 < x < -3$ (например, $x=-5$): $\frac{(-)(+)}{(-)} > 0$. Знак "+".
• При $-3 < x < 1$ (например, $x=0$): $\frac{(-)(+)}{(+)} < 0$. Знак "-".
• При $x > 1$ (например, $x=2$): $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$. Знак "+".

Нам нужно найти, где выражение меньше или равно нулю. Решение: $x \in (-\infty, -8] \cup (-3, 1]$.

Ответ: $(-\infty; -8] \cup (-3; 1]$.

4)

Исходное неравенство: $\frac{x^2 - x}{x + 3} \ge 1$.

ОДЗ: $x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$.

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{x^2 - x}{x + 3} - 1 \ge 0$

$\frac{x^2 - x - (x + 3)}{x + 3} \ge 0$

$\frac{x^2 - 2x - 3}{x + 3} \ge 0$

Найдем корни числителя и знаменателя. Для числителя решим уравнение $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение -3. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$. Эти точки включаются в решение.

Корень знаменателя: $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$. Точка исключается.

Разложим числитель на множители: $\frac{(x - 3)(x + 1)}{x + 3} \ge 0$.

Отметим точки $x = -3$, $x = -1$ и $x = 3$ на числовой оси и определим знаки:

• При $x < -3$ (например, $x=-4$): $\frac{(-)(-)_}{(-)} < 0$. Знак "-".
• При $-3 < x < -1$ (например, $x=-2$): $\frac{(-)(-)}{(+)} > 0$. Знак "+".
• При $-1 < x < 3$ (например, $x=0$): $\frac{(-)(+)}{(+)} < 0$. Знак "-".
• При $x > 3$ (например, $x=4$): $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$. Знак "+".

Нам нужно найти, где выражение больше или равно нулю. Решение: $x \in (-3, -1] \cup [3, +\infty)$.

Ответ: $(-3; -1] \cup [3; +\infty)$.

43. Решите неравенство:

1) $\frac{8}{x} - \frac{5}{x+3} > 3;$

2) $\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} \le \frac{5}{12x};$

3) $\frac{2}{x^2-1} - \frac{1}{x^2-25} \ge 0;$

4) $\frac{4x+4}{x^2+2x-8} < \frac{1}{2};$

5) $\frac{4x}{x^2-6x+5} + \frac{3}{x-1} \ge \frac{2}{x-5}.$

1) Решение неравенства $\frac{8}{x} - \frac{5}{x+3} > 3$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$\frac{8}{x} - \frac{5}{x+3} - 3 > 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $x(x+3)$:

$\frac{8(x+3) - 5x - 3x(x+3)}{x(x+3)} > 0$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{8x + 24 - 5x - 3x^2 - 9x}{x(x+3)} > 0$

$\frac{-3x^2 - 6x + 24}{x(x+3)} > 0$

Умножим обе части на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный, и разделим числитель на 3:

$\frac{3x^2 + 6x - 24}{x(x+3)} < 0 \implies \frac{x^2 + 2x - 8}{x(x+3)} < 0$

Разложим числитель на множители. Корни уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$ — это $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$.

$\frac{(x+4)(x-2)}{x(x+3)} < 0$

Решим неравенство методом интервалов. Нули числителя: $x = -4, x = 2$. Нули знаменателя: $x = 0, x = -3$. Отметим эти точки на числовой оси и определим знак выражения в каждом интервале.

Интервалы и знаки: $(-\infty; -4): +$; $(-4; -3): -$; $(-3; 0): +$; $(0; 2): -$; $(2; +\infty): +$.

Поскольку знак неравенства "<", выбираем интервалы со знаком "минус".

Ответ: $x \in (-4; -3) \cup (0; 2)$.

2) Решение неравенства $\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} \le \frac{5}{12x}$.

Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} - \frac{5}{12x} \le 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 1$, $x \neq -1$, $x \neq 0$.

Приведем к общему знаменателю $12x(x-1)(x+1)$:

$\frac{12x(x+1) + 12x(x-1) - 5(x-1)(x+1)}{12x(x-1)(x+1)} \le 0$

Упростим числитель:

$\frac{12x^2 + 12x + 12x^2 - 12x - 5(x^2-1)}{12x(x-1)(x+1)} \le 0$

$\frac{24x^2 - 5x^2 + 5}{12x(x^2-1)} \le 0$

$\frac{19x^2 + 5}{12x(x-1)(x+1)} \le 0$

Числитель $19x^2 + 5$ всегда положителен, так как $x^2 \ge 0$. Следовательно, знак дроби определяется знаком знаменателя. Неравенство равносильно $12x(x-1)(x+1) < 0$ (знак строгий, так как числитель не равен нулю).

$x(x-1)(x+1) < 0$

Решим методом интервалов. Корни: $x = -1, x = 0, x = 1$.

Интервалы и знаки: $(-\infty; -1): -$; $(-1; 0): +$; $(0; 1): -$; $(1; +\infty): +$.

Выбираем интервалы со знаком "минус".

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (0; 1)$.

3) Решение неравенства $\frac{2}{x^2-1} - \frac{1}{x^2-25} \ge 0$.

Разложим знаменатели на множители и приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{2}{(x-1)(x+1)} - \frac{1}{(x-5)(x+5)} \ge 0$

$\frac{2(x^2-25) - (x^2-1)}{(x^2-1)(x^2-25)} \ge 0$

Упростим числитель:

$\frac{2x^2 - 50 - x^2 + 1}{(x^2-1)(x^2-25)} \ge 0$

$\frac{x^2 - 49}{(x^2-1)(x^2-25)} \ge 0$

Разложим на множители числитель и знаменатель:

$\frac{(x-7)(x+7)}{(x-1)(x+1)(x-5)(x+5)} \ge 0$

Решим методом интервалов. Нули числителя (включенные точки): $x = \pm 7$. Нули знаменателя (выколотые точки): $x = \pm 1, x = \pm 5$.

Интервалы и знаки: $(-\infty; -7]: +$; $[-7; -5): -$; $(-5; -1): +$; $(-1; 1): -$; $(1; 5): +$; $(5; 7]: -$; $[7; +\infty): +$.

Выбираем интервалы со знаком "плюс".

Ответ: $x \in (-\infty, -7] \cup (-5, -1) \cup (1, 5) \cup [7, +\infty)$.

4) Решение неравенства $\frac{4x+4}{x^2+2x-8} < \frac{1}{2}$.

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю. Знаменатель $x^2+2x-8 = (x+4)(x-2)$.

$\frac{4(x+1)}{(x+4)(x-2)} - \frac{1}{2} < 0$

$\frac{2 \cdot 4(x+1) - 1(x+4)(x-2)}{2(x+4)(x-2)} < 0$

Упростим числитель:

$\frac{8x + 8 - (x^2 + 2x - 8)}{2(x+4)(x-2)} < 0$

$\frac{-x^2 + 6x + 16}{2(x+4)(x-2)} < 0$

Умножим на $-1$ и сменим знак неравенства:

$\frac{x^2 - 6x - 16}{2(x+4)(x-2)} > 0$

Разложим числитель на множители. Корни $x^2 - 6x - 16 = 0$ — это $x_1 = 8, x_2 = -2$.

$\frac{(x-8)(x+2)}{2(x+4)(x-2)} > 0$

Решим методом интервалов. Нули (все выколотые): $-4, -2, 2, 8$.

Интервалы и знаки: $(-\infty; -4): +$; $(-4; -2): -$; $(-2; 2): +$; $(2; 8): -$; $(8; +\infty): +$.

Выбираем интервалы со знаком "плюс".

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-2; 2) \cup (8; +\infty)$.

5) Решение неравенства $\frac{4x}{x^2-6x+5} + \frac{3}{x-1} \ge \frac{2}{x-5}$.

Знаменатель $x^2-6x+5 = (x-1)(x-5)$. Перенесем все члены влево:

$\frac{4x}{(x-1)(x-5)} + \frac{3}{x-1} - \frac{2}{x-5} \ge 0$

ОДЗ: $x \neq 1, x \neq 5$. Приведем к общему знаменателю $(x-1)(x-5)$:

$\frac{4x + 3(x-5) - 2(x-1)}{(x-1)(x-5)} \ge 0$

Упростим числитель:

$\frac{4x + 3x - 15 - 2x + 2}{(x-1)(x-5)} \ge 0$

$\frac{5x - 13}{(x-1)(x-5)} \ge 0$

Решим методом интервалов. Нуль числителя (включенная точка): $5x-13=0 \implies x = \frac{13}{5}$. Нули знаменателя (выколотые точки): $x=1, x=5$.

Интервалы и знаки: $(-\infty; 1): -$; $(1; \frac{13}{5}]: +$; $[\frac{13}{5}; 5): -$; $(5; +\infty): +$.

Выбираем интервалы со знаком "плюс".

Ответ: $x \in (1; \frac{13}{5}] \cup (5; +\infty)$.

44. Решите неравенство:

1) $(x^2 - 4x + 3)\sqrt{x^2 + 8x + 7} < 0;$

2) $(x^2 - 4x + 3)\sqrt{x^2 + 8x + 7} > 0;$

3) $(x^2 - 4x + 3)\sqrt{x^2 + 8x + 7} \le 0;$

4) $(x^2 - 4x + 3)\sqrt{x^2 + 8x + 7} \ge 0.$

Для решения всех четырех неравенств проведем общий анализ выражений, входящих в них, так как они имеют одинаковую структуру. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), а затем проанализируем знаки каждого множителя.

Область допустимых значений (ОДЗ)
Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:$x^2 + 8x + 7 \ge 0$.
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 8x + 7 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -7$ и $x_2 = -1$.
Графиком функции $y=x^2 + 8x + 7$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство выполняется при $x$, не лежащих между корнями: $x \in (-\infty, -7] \cup [-1, \infty)$.
Это ОДЗ является общим для всех четырех заданий.

Анализ знаков множителей
a) Первый множитель: $f(x) = x^2 - 4x + 3$.
Найдем его корни: $x^2 - 4x + 3 = 0$. Корни $x_1=1, x_2=3$.
$f(x) = (x-1)(x-3)$. Это парабола с ветвями вверх.
- $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$.
- $f(x) < 0$ при $x \in (1, 3)$.
- $f(x) = 0$ при $x=1$ или $x=3$.

b) Второй множитель: $g(x) = \sqrt{x^2 + 8x + 7}$.
Арифметический квадратный корень всегда неотрицателен, то есть $g(x) \ge 0$ на всей ОДЗ.
- $g(x) = 0$ при $x^2 + 8x + 7 = 0$, то есть при $x=-7$ или $x=-1$.
- $g(x) > 0$ при $x^2 + 8x + 7 > 0$, то есть при $x \in (-\infty, -7) \cup (-1, \infty)$.

Теперь, используя этот анализ, решим каждое неравенство.

1) $(x^2 - 4x + 3)\sqrt{x^2 + 8x + 7} < 0$
Произведение двух множителей отрицательно. Поскольку $\sqrt{x^2 + 8x + 7} \ge 0$, это неравенство может выполняться только если $\sqrt{x^2 + 8x + 7} > 0$ и $x^2 - 4x + 3 < 0$.
Это равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 - 4x + 3 < 0 \\ x^2 + 8x + 7 > 0 \end{cases}$
Из нашего анализа:
$x^2 - 4x + 3 < 0 \implies x \in (1, 3)$.
$x^2 + 8x + 7 > 0 \implies x \in (-\infty, -7) \cup (-1, \infty)$.
Найдем пересечение этих множеств: $(1, 3) \cap ((-\infty, -7) \cup (-1, \infty))$.
Интервал $(1, 3)$ целиком содержится в $(-1, \infty)$, поэтому пересечением является сам интервал $(1, 3)$.
Ответ: $x \in (1, 3)$.

2) $(x^2 - 4x + 3)\sqrt{x^2 + 8x + 7} > 0$
Произведение положительно. Поскольку $\sqrt{x^2 + 8x + 7} \ge 0$, это неравенство может выполняться только если оба множителя строго положительны.
Это равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 - 4x + 3 > 0 \\ x^2 + 8x + 7 > 0 \end{cases}$
Из нашего анализа:
$x^2 - 4x + 3 > 0 \implies x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$.
$x^2 + 8x + 7 > 0 \implies x \in (-\infty, -7) \cup (-1, \infty)$.
Найдем пересечение множеств: $((-\infty, 1) \cup (3, \infty)) \cap ((-\infty, -7) \cup (-1, \infty))$.
Пересечение $(-\infty, 1)$ с $(-\infty, -7) \cup (-1, \infty)$ дает $(-\infty, -7) \cup (-1, 1)$.
Пересечение $(3, \infty)$ с $(-\infty, -7) \cup (-1, \infty)$ дает $(3, \infty)$.
Объединяя результаты, получаем: $(-\infty, -7) \cup (-1, 1) \cup (3, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -7) \cup (-1, 1) \cup (3, \infty)$.

3) $(x^2 - 4x + 3)\sqrt{x^2 + 8x + 7} \le 0$
Это неравенство выполняется в двух случаях:
а) Произведение равно нулю. Это происходит, когда один из множителей равен нулю (и выражение определено).
$x^2 - 4x + 3 = 0 \implies x=1, x=3$. Оба значения входят в ОДЗ.
$\sqrt{x^2 + 8x + 7} = 0 \implies x=-7, x=-1$.
Таким образом, $x \in \{-7, -1, 1, 3\}$ являются решениями.
б) Произведение строго меньше нуля. Из пункта 1) мы знаем, что решение этого неравенства $x \in (1, 3)$.
Объединяя решения из а) и б), получаем: $\{-7, -1, 1, 3\} \cup (1, 3) = \{-7, -1\} \cup [1, 3]$.
Ответ: $x \in \{-7, -1\} \cup [1, 3]$.

4) $(x^2 - 4x + 3)\sqrt{x^2 + 8x + 7} \ge 0$
Это неравенство выполняется в двух случаях:
а) Произведение равно нулю. Из пункта 3) мы знаем, что это происходит при $x \in \{-7, -1, 1, 3\}$.
б) Произведение строго больше нуля. Из пункта 2) мы знаем, что решение этого неравенства $x \in (-\infty, -7) \cup (-1, 1) \cup (3, \infty)$.
Объединяя решения из а) и б), получаем:
$\{-7, -1, 1, 3\} \cup ((-\infty, -7) \cup (-1, 1) \cup (3, \infty)) = (-\infty, -7] \cup [-1, 1] \cup [3, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -7] \cup [-1, 1] \cup [3, \infty)$.

45. Решите неравенство $\left|\frac{x+4}{x^2-25}\right| \ge \frac{x+4}{x^2-25}$.

Данное неравенство имеет вид $|A| \ge A$, где $A = \frac{x+4}{x^2-25}$.

По свойству модуля, для любого действительного числа $A$ справедливо неравенство $|A| \ge A$. Следовательно, исходное неравенство выполняется для всех значений переменной $x$, при которых выражение $A$ определено (имеет смысл).

Выражение $A = \frac{x+4}{x^2-25}$ определено, когда его знаменатель не равен нулю. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль.

$x^2 - 25 = 0$

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$(x-5)(x+5) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$x - 5 = 0$ или $x + 5 = 0$

$x = 5$ или $x = -5$

Таким образом, область определения выражения — это все действительные числа, кроме $x = -5$ и $x = 5$. Это и является решением исходного неравенства.

Ответ: $(-\infty, -5) \cup (-5, 5) \cup (5, +\infty)$.

46. Для каждого значения a решите неравенство:

1) $(x-2)(x-a) < 0;$

2) $(x-2)(x-a)^2 > 0;$

3) $(x-2)(x-a)^2 \geq 0;$

4) $(x-a)(x+4)^2 < 0;$

5) $(x-a)(x+4)^2 \leq 0;$

6) $\frac{x-3}{x-a} \geq 0;$

7) $\frac{(x+3)(x-a)}{x+3} \geq 0;$

8) $\frac{(x-1)(x-a)}{x-a} \leq 0.$

1) $(x-2)(x-a) < 0$

Решим неравенство методом интервалов. Корни соответствующего уравнения $(x-2)(x-a) = 0$ равны $x_1=2$ и $x_2=a$. Решение зависит от взаимного расположения корней на числовой оси.

Рассмотрим три случая:

1. Если $a < 2$. Корни на числовой оси располагаются в порядке $a$, 2. Парабола $y=(x-2)(x-a)$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому отрицательные значения находятся между корнями.
Решение: $x \in (a, 2)$.

2. Если $a = 2$. Неравенство принимает вид $(x-2)^2 < 0$. Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, поэтому неравенство не имеет решений.
Решение: $x \in \emptyset$.

3. Если $a > 2$. Корни на числовой оси располагаются в порядке 2, $a$. Парабола $y=(x-2)(x-a)$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому отрицательные значения находятся между корнями.
Решение: $x \in (2, a)$.

Ответ: если $a < 2$, то $x \in (a, 2)$; если $a = 2$, то решений нет; если $a > 2$, то $x \in (2, a)$.

2) $(x-2)(x-a)^2 > 0$

Множитель $(x-a)^2$ всегда неотрицателен (то есть $(x-a)^2 \ge 0$). Чтобы произведение было строго больше нуля, оба множителя должны быть положительны.

Это равносильно системе условий:$\begin{cases} x-2 > 0 \\ (x-a)^2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x \neq a \end{cases}$

Рассмотрим возможные значения $a$:

1. Если $a > 2$. Требуется, чтобы $x > 2$ и $x \neq a$. Так как $a$ находится в области $x>2$, его нужно исключить.
Решение: $x \in (2, a) \cup (a, \infty)$.

2. Если $a \le 2$. Требуется, чтобы $x > 2$. Условие $x \neq a$ выполняется автоматически, так как если $x > 2$, то $x$ не может быть равен $a$, которое меньше или равно 2.
Решение: $x \in (2, \infty)$.

Ответ: если $a \le 2$, то $x \in (2, \infty)$; если $a > 2$, то $x \in (2, a) \cup (a, \infty)$.

3) $(x-2)(x-a)^2 \ge 0$

Неравенство выполняется в двух случаях: когда $(x-2)(x-a)^2 > 0$ или когда $(x-2)(x-a)^2 = 0$.

Равенство нулю достигается при $x=2$ или $x=a$.

Используем решение для строгого неравенства из предыдущего пункта и добавим к нему точки, где выражение равно нулю.

1. Если $a > 2$. Решение для $(x-2)(x-a)^2 > 0$ есть $x \in (2, a) \cup (a, \infty)$. Добавляем точки $x=2$ и $x=a$. Получаем $[2, a] \cup [a, \infty) = [2, \infty)$.

2. Если $a = 2$. Неравенство принимает вид $(x-2)^3 \ge 0$, что равносильно $x-2 \ge 0$, т.е. $x \ge 2$.
Решение: $x \in [2, \infty)$.

3. Если $a < 2$. Решение для $(x-2)(x-a)^2 > 0$ есть $x \in (2, \infty)$. Добавляем точки $x=2$ и $x=a$. Получаем $\{a\} \cup [2, \infty)$.

Объединяя случаи 1 и 2, получаем:

Ответ: если $a < 2$, то $x \in \{a\} \cup [2, \infty)$; если $a \ge 2$, то $x \in [2, \infty)$.

4) $(x-a)(x+4)^2 < 0$

Множитель $(x+4)^2$ всегда неотрицателен. Чтобы произведение было строго меньше нуля, множитель $(x-a)$ должен быть отрицательным, а $(x+4)^2$ не должен быть равен нулю.

Это равносильно системе:$\begin{cases} x-a < 0 \\ (x+4)^2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < a \\ x \neq -4 \end{cases}$

Рассмотрим возможные значения $a$:

1. Если $a > -4$. Требуется, чтобы $x < a$ и $x \neq -4$. Так как $-4$ находится в области $x<a$, его нужно исключить.
Решение: $x \in (-\infty, -4) \cup (-4, a)$.

2. Если $a \le -4$. Требуется, чтобы $x < a$. Условие $x \neq -4$ выполняется автоматически, так как если $x < a$, а $a \le -4$, то $x$ не может быть равен $-4$.
Решение: $x \in (-\infty, a)$.

Ответ: если $a \le -4$, то $x \in (-\infty, a)$; если $a > -4$, то $x \in (-\infty, -4) \cup (-4, a)$.

5) $(x-a)(x+4)^2 \le 0$

Неравенство выполняется, когда $(x-a)(x+4)^2 < 0$ или когда $(x-a)(x+4)^2 = 0$.

Равенство нулю достигается при $x=a$ или $x=-4$.

Используем решение для строгого неравенства из пункта 4 и добавим к нему точки равенства.

1. Если $a > -4$. Решение для $(x-a)(x+4)^2 < 0$ есть $x \in (-\infty, -4) \cup (-4, a)$. Добавляем точки $x=-4$ и $x=a$. Получаем $(-\infty, -4] \cup [-4, a] = (-\infty, a]$.

2. Если $a = -4$. Неравенство принимает вид $(x+4)^3 \le 0$, что равносильно $x+4 \le 0$, т.е. $x \le -4$.
Решение: $x \in (-\infty, -4]$.

3. Если $a < -4$. Решение для $(x-a)(x+4)^2 < 0$ есть $x \in (-\infty, a)$. Добавляем точки $x=a$ и $x=-4$. Так как $a < -4$, точка $-4$ не входит в интервал $(-\infty, a)$.
Решение: $x \in (-\infty, a] \cup \{-4\}$.

Объединяя случаи 1 и 2, получаем:

Ответ: если $a < -4$, то $x \in (-\infty, a] \cup \{-4\}$; если $a \ge -4$, то $x \in (-\infty, a]$.

6) $\frac{x-3}{x-a} \ge 0$

Решим неравенство методом интервалов. Нуль числителя: $x=3$. Нуль знаменателя: $x=a$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq a$.

Рассмотрим три случая:

1. Если $a < 3$. Отмечаем на числовой оси точки $a$ (выколотая) и $3$ (закрашенная). Интервалы: $(-\infty, a)$, $(a, 3]$, $[3, \infty)$. Знаки выражения на интервалах: $+, -, +$. Нам подходят интервалы со знаком "+".
Решение: $x \in (-\infty, a) \cup [3, \infty)$.

2. Если $a = 3$. Неравенство принимает вид $\frac{x-3}{x-3} \ge 0$. При $x \neq 3$ это выражение равно 1. Неравенство $1 \ge 0$ верно для всех $x$, кроме $x=3$.
Решение: $x \in (-\infty, 3) \cup (3, \infty)$.

3. Если $a > 3$. Отмечаем на числовой оси точки $3$ (закрашенная) и $a$ (выколотая). Интервалы: $(-\infty, 3]$, $[3, a)$, $(a, \infty)$. Знаки выражения на интервалах: $+, -, +$. Нам подходят интервалы со знаком "+".
Решение: $x \in (-\infty, 3] \cup (a, \infty)$.

Ответ: если $a < 3$, то $x \in (-\infty, a) \cup [3, \infty)$; если $a = 3$, то $x \in (-\infty, 3) \cup (3, \infty)$; если $a > 3$, то $x \in (-\infty, 3] \cup (a, \infty)$.

7) $\frac{(x+3)(x-a)}{x+3} \ge 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x+3 \neq 0$, т.е. $x \neq -3$.
При $x \neq -3$ можно сократить дробь. Неравенство становится равносильным системе:$\begin{cases} x-a \ge 0 \\ x \neq -3 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge a \\ x \neq -3 \end{cases}$

Решение зависит от взаимного расположения $a$ и $-3$.

1. Если $a > -3$. Решение $x \ge a$ не включает точку $-3$.
Решение: $x \in [a, \infty)$.

2. Если $a = -3$. Система принимает вид $\begin{cases} x \ge -3 \\ x \neq -3 \end{cases}$, что равносильно $x > -3$.
Решение: $x \in (-3, \infty)$.

3. Если $a < -3$. Решение $x \ge a$ включает точку $-3$, которую необходимо исключить.
Решение: $x \in [a, -3) \cup (-3, \infty)$.

Ответ: если $a < -3$, то $x \in [a, -3) \cup (-3, \infty)$; если $a = -3$, то $x \in (-3, \infty)$; если $a > -3$, то $x \in [a, \infty)$.

8) $\frac{(x-1)(x-a)}{x-a} \le 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x-a \neq 0$, т.е. $x \neq a$.
При $x \neq a$ можно сократить дробь. Неравенство становится равносильным системе:$\begin{cases} x-1 \le 0 \\ x \neq a \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 1 \\ x \neq a \end{cases}$

Решение зависит от взаимного расположения $a$ и $1$.

1. Если $a > 1$. Решение $x \le 1$ не включает точку $a$.
Решение: $x \in (-\infty, 1]$.

2. Если $a = 1$. Система принимает вид $\begin{cases} x \le 1 \\ x \neq 1 \end{cases}$, что равносильно $x < 1$.
Решение: $x \in (-\infty, 1)$.

3. Если $a < 1$. Решение $x \le 1$ включает точку $a$, которую необходимо исключить.
Решение: $x \in (-\infty, a) \cup (a, 1]$.

Ответ: если $a < 1$, то $x \in (-\infty, a) \cup (a, 1]$; если $a = 1$, то $x \in (-\infty, 1)$; если $a > 1$, то $x \in (-\infty, 1]$.