Страница 65 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

47. Через какие из данных точек проходит график функ-ции $y = x^4$:

1) A (-5; 625);

2) B (0,3; 0,0081);

3) C (-10; -10 000);

4) D (2; -16)?

Чтобы определить, проходит ли график функции $y = x^4$ через заданную точку, нужно подставить координаты этой точки $(x; y)$ в уравнение функции. Если в результате подстановки получается верное равенство, то точка принадлежит графику.

1) A (-5; 625)
Подставляем $x = -5$ в уравнение функции:
$y = (-5)^4 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = 25 \cdot 25 = 625$.
Полученное значение $y = 625$ совпадает с ординатой точки А. Следовательно, график функции проходит через эту точку.
Ответ: проходит.

2) B (0,3; 0,0081)
Подставляем $x = 0,3$ в уравнение функции:
$y = (0,3)^4 = 0,3 \cdot 0,3 \cdot 0,3 \cdot 0,3 = 0,09 \cdot 0,09 = 0,0081$.
Полученное значение $y = 0,0081$ совпадает с ординатой точки B. Следовательно, график функции проходит через эту точку.
Ответ: проходит.

3) C (-10; -10 000)
Подставляем $x = -10$ в уравнение функции:
$y = (-10)^4 = 10 000$.
Полученное значение $y = 10 000$ не совпадает с ординатой точки C, которая равна $-10 000$. Кроме того, значение функции $y = x^4$ всегда неотрицательно, так как любое число в четной степени дает положительный результат или ноль.
Ответ: не проходит.

4) D (2; -16)
Подставляем $x = 2$ в уравнение функции:
$y = 2^4 = 16$.
Полученное значение $y = 16$ не совпадает с ординатой точки D, которая равна $-16$. Как и в предыдущем случае, значение $y$ для данной функции не может быть отрицательным.
Ответ: не проходит.

48. Функция задана формулой $g(x) = x^{12}$. Сравните:

1) $g(5,8)$ и $g(4,9)$;

2) $g(-12,3)$ и $g(-15,1)$;

3) $g(-0,3)$ и $g(0,3)$;

4) $g(1,4)$ и $g(-2,1)$.

Функция задана формулой $g(x) = x^{12}$. Показатель степени 12 является четным числом, поэтому функция $g(x)$ является четной и обладает следующими свойствами:

• Для любого значения $x$, $g(-x) = g(x)$.
• На промежутке $[0; +\infty)$ функция возрастает (чем больше неотрицательный аргумент, тем больше значение функции).
• На промежутке $(-\infty; 0]$ функция убывает (чем больше отрицательный аргумент, то есть чем он ближе к нулю, тем меньше значение функции).

1) g(5,8) и g(4,9)

Аргументы $5,8$ и $4,9$ оба положительны. Так как функция $g(x)$ возрастает для положительных аргументов и $5,8 > 4,9$, то $g(5,8) > g(4,9)$.

Ответ: $g(5,8) > g(4,9)$.

2) g(–12,3) и g(–15,1)

Аргументы $-12,3$ и $-15,1$ оба отрицательны. На промежутке $(-\infty; 0]$ функция $g(x)$ убывает. Поскольку $-12,3 > -15,1$, то $g(-12,3) < g(-15,1)$.

Альтернативный способ: так как функция четная, $g(-12,3) = (-12,3)^{12} = 12,3^{12}$ и $g(-15,1) = (-15,1)^{12} = 15,1^{12}$. Сравниваем $12,3^{12}$ и $15,1^{12}$. Поскольку для положительных чисел функция возрастает и $15,1 > 12,3$, то $15,1^{12} > 12,3^{12}$, следовательно $g(-15,1) > g(-12,3)$.

Ответ: $g(-12,3) < g(-15,1)$.

3) g(–0,3) и g(0,3)

Поскольку функция $g(x) = x^{12}$ является четной, то по определению $g(-x) = g(x)$ для любого $x$. Следовательно, $g(-0,3) = g(0,3)$.

Ответ: $g(-0,3) = g(0,3)$.

4) g(1,4) и g(–2,1)

Используя свойство четности функции, имеем $g(-2,1) = (-2,1)^{12} = 2,1^{12} = g(2,1)$. Теперь задача сводится к сравнению $g(1,4)$ и $g(2,1)$.

Оба аргумента, $1,4$ и $2,1$, являются положительными. На этом промежутке функция $g(x)$ возрастает. Так как $2,1 > 1,4$, то $g(2,1) > g(1,4)$.

Следовательно, $g(-2,1) > g(1,4)$.

Ответ: $g(1,4) < g(-2,1)$.

49. Функция задана формулой $g(x) = x^{25}$. Сравните:

1) $g(6{,}2)$ и $g(7{,}3)$;

2) $g(-0{,}13)$ и $g(-0{,}17)$;

3) $g(-7{,}5)$ и $g(7{,}5)$.

Дана функция $g(x) = x^{25}$. Чтобы сравнить значения этой функции при различных значениях аргумента, необходимо проанализировать ее свойства.

Функция $g(x) = x^{25}$ является степенной функцией с нечетным натуральным показателем степени (25 — нечетное число). Основное свойство таких функций заключается в том, что они являются строго возрастающими на всей своей области определения (на всей числовой прямой). Это означает, что для любых двух чисел $x_1$ и $x_2$, если $x_1 < x_2$, то и $g(x_1) < g(x_2)$. То есть, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

1) g(6,2) и g(7,3)

Сначала сравним аргументы функции: $6,2$ и $7,3$.

Очевидно, что $6,2 < 7,3$.

Поскольку функция $g(x) = x^{25}$ является возрастающей, то из неравенства $6,2 < 7,3$ следует, что $g(6,2) < g(7,3)$.

Ответ: $g(6,2) < g(7,3)$.

2) g(-0,13) и g(-0,17)

Сравним аргументы функции: $-0,13$ и $-0,17$.

При сравнении отрицательных чисел, то число больше, модуль которого меньше. Так как $|-0,13| < |-0,17|$, то $-0,13 > -0,17$, или, что то же самое, $-0,17 < -0,13$.

Так как функция $g(x) = x^{25}$ возрастающая, меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, $g(-0,17) < g(-0,13)$.

Ответ: $g(-0,13) > g(-0,17)$.

3) g(-7,5) и g(7,5)

Сравним аргументы функции: $-7,5$ и $7,5$.

Любое отрицательное число меньше любого положительного, поэтому $-7,5 < 7,5$.

Используя свойство возрастания функции $g(x)$, получаем, что $g(-7,5) < g(7,5)$.

Другой способ — использовать свойство нечетности функции. Так как показатель степени 25 нечетный, функция $g(x)$ является нечетной, то есть $g(-x) = -g(x)$ для любого $x$.

При $x = 7,5$, имеем $g(-7,5) = -g(7,5)$.

Поскольку $7,5 > 0$, то $g(7,5) = (7,5)^{25} > 0$. Соответственно, $g(-7,5) = -g(7,5)$ будет отрицательным числом. Так как любое отрицательное число меньше положительного, то $g(-7,5) < g(7,5)$.

Ответ: $g(-7,5) < g(7,5)$.

50. Решите уравнение:

1) $x^9 = 512$;

2) $x^5 = -243$;

3) $x^6 = 64$;

4) $x^6 = -729$.

1) Дано уравнение $x^9 = 512$. Так как показатель степени (9) является нечетным числом, уравнение имеет единственный действительный корень. Для его нахождения извлечем корень девятой степени из обеих частей уравнения:
$x = \sqrt[9]{512}$
Зная, что $2^9 = 512$, получаем корень уравнения.
Ответ: $2$.

2) Дано уравнение $x^5 = -243$. Так как показатель степени (5) является нечетным числом, уравнение имеет единственный действительный корень, который можно найти, извлекая корень пятой степени:
$x = \sqrt[5]{-243}$
Корень нечетной степени из отрицательного числа равен корню той же степени из положительного числа, взятому со знаком минус:
$x = -\sqrt[5]{243}$
Поскольку $3^5 = 243$, то $x = -3$.
Ответ: $-3$.

3) Дано уравнение $x^6 = 64$. Показатель степени (6) — четное число, а правая часть уравнения (64) — положительное число. В этом случае уравнение имеет два действительных корня, которые являются противоположными числами:
$x = \pm \sqrt[6]{64}$
Так как $2^6 = 64$, то корнями уравнения являются $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Ответ: $\pm 2$.

4) Дано уравнение $x^6 = -729$. В левой части уравнения стоит переменная в четной степени. Любое действительное число, возведенное в четную степень, является неотрицательным, то есть $x^6 \geq 0$. В правой части уравнения стоит отрицательное число (-729). Так как неотрицательное число не может быть равно отрицательному, у данного уравнения нет действительных корней.
Ответ: нет корней.

51. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций:

1) $y = x^7$ и $y = 81x^5$;

2) $y = x^6$ и $y = -64x^3$.

1) Чтобы найти абсциссы точек пересечения графиков функций $y = x^7$ и $y = 81x^5$, необходимо приравнять их правые части:

$x^7 = 81x^5$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$x^7 - 81x^5 = 0$

Вынесем общий множитель $x^5$ за скобки:

$x^5(x^2 - 81) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем два уравнения:

1. $x^5 = 0$, откуда $x_1 = 0$.

2. $x^2 - 81 = 0$, откуда $x^2 = 81$. Из этого уравнения получаем два корня: $x_2 = 9$ и $x_3 = -9$.

Следовательно, абсциссы точек пересечения графиков: $-9$, $0$, $9$.

Ответ: $-9; 0; 9$.

2) Чтобы найти абсциссы точек пересечения графиков функций $y = x^6$ и $y = -64x^3$, необходимо приравнять их правые части:

$x^6 = -64x^3$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$x^6 + 64x^3 = 0$

Вынесем общий множитель $x^3$ за скобки:

$x^3(x^3 + 64) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем два уравнения:

1. $x^3 = 0$, откуда $x_1 = 0$.

2. $x^3 + 64 = 0$, откуда $x^3 = -64$. Из этого уравнения получаем корень $x_2 = \sqrt[3]{-64} = -4$.

Следовательно, абсциссы точек пересечения графиков: $-4$, $0$.

Ответ: $-4; 0$.

52. Постройте график функции:

1) $y = x^3 + 1$;

2) $y = (x - 1)^3$;

3) $y = x^4 + 1$;

4) $y = -\frac{1}{2}x^3$.

1) $y = x^3 + 1$

Для построения графика функции $y = x^3 + 1$ воспользуемся методом преобразования графиков. В качестве основы возьмем график функции $y = x^3$ (кубическая парабола).

1. Сначала построим график базовой функции $y = x^3$. Это кривая, симметричная относительно начала координат. Составим таблицу значений для нескольких контрольных точек:
Если $x = 0$, то $y = 0^3 = 0$ → точка (0; 0).
Если $x = 1$, то $y = 1^3 = 1$ → точка (1; 1).
Если $x = -1$, то $y = (-1)^3 = -1$ → точка (-1; -1).
Если $x = 2$, то $y = 2^3 = 8$ → точка (2; 8).
Если $x = -2$, то $y = (-2)^3 = -8$ → точка (-2; -8).

2. График функции $y = x^3 + 1$ получается из графика функции $y = x^3$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси ординат (OY) на 1 единицу вверх. Это означает, что ордината каждой точки графика увеличивается на 1, а абсцисса остается неизменной.

Найдем новые координаты контрольных точек:
(0; 0) → (0; 0 + 1) = (0; 1).
(1; 1) → (1; 1 + 1) = (1; 2).
(-1; -1) → (-1; -1 + 1) = (-1; 0).
(2; 8) → (2; 8 + 1) = (2; 9).
(-2; -8) → (-2; -8 + 1) = (-2; -7).

Соединив полученные точки плавной кривой, получим график функции $y = x^3 + 1$.

Ответ: График функции $y = x^3 + 1$ — это кубическая парабола $y = x^3$, сдвинутая на 1 единицу вверх вдоль оси OY.

2) $y = (x - 1)^3$

Для построения графика функции $y = (x - 1)^3$ снова используем график базовой функции $y = x^3$.

1. График функции $y = x^3$ — кубическая парабола с контрольными точками (0; 0), (1; 1), (-1; -1), (2; 8), (-2; -8).

2. График функции $y = (x - 1)^3$ получается из графика $y = x^3$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси абсцисс (OX) на 1 единицу вправо. Это означает, что абсцисса каждой точки графика увеличивается на 1, а ордината остается неизменной.

Найдем новые координаты контрольных точек:
(0; 0) → (0 + 1; 0) = (1; 0).
(1; 1) → (1 + 1; 1) = (2; 1).
(-1; -1) → (-1 + 1; -1) = (0; -1).
(2; 8) → (2 + 1; 8) = (3; 8).
(-2; -8) → (-2 + 1; -8) = (-1; -8).

Соединив эти точки плавной кривой, получим искомый график.

Ответ: График функции $y = (x - 1)^3$ — это кубическая парабола $y = x^3$, сдвинутая на 1 единицу вправо вдоль оси OX.

3) $y = x^4 + 1$

Для построения графика функции $y = x^4 + 1$ возьмем за основу график функции $y = x^4$.

1. Построим график базовой функции $y = x^4$. Это четная функция, ее график симметричен относительно оси OY. Он похож на параболу $y=x^2$, но более "плоский" у вершины и круче поднимается при $|x| > 1$.
Контрольные точки для $y = x^4$:
$x = 0, y = 0^4 = 0$ → (0; 0).
$x = 1, y = 1^4 = 1$ → (1; 1).
$x = -1, y = (-1)^4 = 1$ → (-1; 1).
$x = 2, y = 2^4 = 16$ → (2; 16).
$x = -2, y = (-2)^4 = 16$ → (-2; 16).

2. График функции $y = x^4 + 1$ получается из графика $y = x^4$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси ординат (OY) на 1 единицу вверх.

Найдем новые координаты контрольных точек:
(0; 0) → (0; 0 + 1) = (0; 1).
(1; 1) → (1; 1 + 1) = (1; 2).
(-1; 1) → (-1; 1 + 1) = (-1; 2).
(2; 16) → (2; 16 + 1) = (2; 17).
(-2; 16) → (-2; 16 + 1) = (-2; 17).

Соединив точки, получим искомый график.

Ответ: График функции $y = x^4 + 1$ — это график функции $y = x^4$, сдвинутый на 1 единицу вверх вдоль оси OY.

4) $y = -\frac{1}{2}x^3$

Для построения графика функции $y = -\frac{1}{2}x^3$ снова используем график базовой функции $y = x^3$.

1. График функции $y = x^3$ — кубическая парабола с контрольными точками (0; 0), (1; 1), (-1; -1), (2; 8), (-2; -8).

2. Преобразование графика $y = x^3$ в график $y = -\frac{1}{2}x^3$ происходит в два этапа:
а) Знак "минус" перед функцией означает симметричное отражение графика $y = x^3$ относительно оси абсцисс (OX).
б) Коэффициент $\frac{1}{2}$ означает сжатие графика к оси абсцисс в 2 раза. То есть, для каждого значения $x$ значение $y$ будет в 2 раза меньше по модулю, чем у функции $y=-x^3$.

Можно объединить эти преобразования: ордината каждой точки графика $y = x^3$ умножается на коэффициент $-\frac{1}{2}$.
Найдем новые координаты контрольных точек:
(0; 0) → $(0; -\frac{1}{2} \cdot 0) = (0; 0)$.
(1; 1) → $(1; -\frac{1}{2} \cdot 1) = (1; -0.5)$.
(-1; -1) → $(-1; -\frac{1}{2} \cdot (-1)) = (-1; 0.5)$.
(2; 8) → $(2; -\frac{1}{2} \cdot 8) = (2; -4)$.
(-2; -8) → $(-2; -\frac{1}{2} \cdot (-8)) = (-2; 4)$.

Соединив эти точки плавной кривой, получим график. Он будет проходить через начало координат, но в отличие от $y=x^3$, будет убывающим на всей области определения.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{2}x^3$ — это кубическая парабола $y = x^3$, отраженная симметрично относительно оси OX и сжатая к оси OX в 2 раза.

53. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^{10}$ на промежутке:

1) $[0; 2];$

2) $[-2; -1];$

3) $[-1; 1];$

4) $[2; +\infty).$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = x^{10}$ на заданных промежутках, проанализируем её поведение. Это степенная функция с четным показателем степени, ее график симметричен относительно оси ординат. Производная функции $y' = 10x^9$. Критическая точка, где производная равна нулю, это $x = 0$. При $x < 0$ функция убывает ($y' < 0$), а при $x > 0$ — возрастает ($y' > 0$). В точке $x = 0$ функция имеет минимум.

1) На промежутке $[0; 2]$ функция $y = x^{10}$ является возрастающей. Следовательно, наименьшее значение достигается в левой границе промежутка, а наибольшее — в правой.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(0) = 0^{10} = 0$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(2) = 2^{10} = 1024$.
Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 1024.

2) На промежутке $[-2; -1]$ функция $y = x^{10}$ является убывающей (так как значения $x$ отрицательны). Следовательно, наибольшее значение достигается в левой границе промежутка, а наименьшее — в правой.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-2) = (-2)^{10} = 1024$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-1) = (-1)^{10} = 1$.
Ответ: наименьшее значение 1, наибольшее значение 1024.

3) Промежуток $[-1; 1]$ содержит точку минимума функции $x=0$. Для нахождения наибольшего и наименьшего значений нужно сравнить значения функции на концах промежутка и в точке минимума.
$y(-1) = (-1)^{10} = 1$.
$y(1) = 1^{10} = 1$.
$y(0) = 0^{10} = 0$.
Сравнивая полученные значения, видим, что наименьшее значение равно 0, а наибольшее равно 1.
Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 1.

4) На промежутке $[2; +\infty)$ функция $y = x^{10}$ является возрастающей. Наименьшее значение достигается в левой границе промежутка.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(2) = 2^{10} = 1024$.
Поскольку промежуток неограничен справа и функция на нем возрастает, она может принимать сколь угодно большие значения. Таким образом, наибольшего значения на этом промежутке не существует.
Ответ: наименьшее значение 1024, наибольшего значения не существует.

54. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^7$ на промежутке:

1) $[-1; 2];$

2) $(-\infty; 0].$

Функция $y=x^7$ является степенной функцией с нечетным натуральным показателем. Такая функция является строго возрастающей на всей своей области определения ($D(y) = (-\infty; +\infty)$). Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

1) $[-1; 2]$

Так как функция $y=x^7$ является строго возрастающей, на замкнутом промежутке (отрезке) $[-1; 2]$ она принимает свое наименьшее значение на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Найдем наименьшее значение функции при $x = -1$:

$y_{наим} = y(-1) = (-1)^7 = -1$

Найдем наибольшее значение функции при $x = 2$:

$y_{наиб} = y(2) = 2^7 = 128$

Ответ: наименьшее значение функции равно -1, наибольшее значение равно 128.

2) $(-\infty; 0]$

Рассмотрим функцию на промежутке $(-\infty; 0]$.

Так как функция $y=x^7$ является строго возрастающей, свое наибольшее значение на этом промежутке она достигает в самой правой точке, то есть при $x = 0$.

Найдем наибольшее значение:

$y_{наиб} = y(0) = 0^7 = 0$

Наименьшего значения у функции на этом промежутке не существует. Поскольку промежуток неограничен слева, при $x$, стремящемся к $-\infty$, значения функции также стремятся к $-\infty$. То есть, для любого сколь угодно малого числа $M < 0$ можно найти такое значение $x$ из промежутка $(-\infty; 0]$, что $y(x) < M$. Следовательно, функция не ограничена снизу на данном промежутке.

Ответ: наибольшее значение функции равно 0, наименьшего значения не существует.

55. Определите графически количество корней уравнения:

1) $x^4 = x + 5;$

2) $-x^5 = 5 - x.$

1) $x^4 = x + 5$

Для того чтобы графически определить количество корней данного уравнения, представим его в виде равенства двух функций: $y = x^4$ и $y = x + 5$. Количество точек пересечения графиков этих функций будет равно количеству корней исходного уравнения.

1. Построим график функции $y = x^4$. Это степенная функция с четным показателем. Ее график — парабола четвертой степени, симметричная относительно оси ординат (OY), с вершиной в начале координат (0, 0). Ветви параболы направлены вверх. График проходит через точки (1, 1) и (-1, 1).

2. Построим график функции $y = x + 5$. Это линейная функция, ее график — прямая. Прямая пересекает ось ординат (OY) в точке (0, 5) и ось абсцисс (OX) в точке (-5, 0).

3. Совместим графики на одной координатной плоскости. Прямая $y = x + 5$ проходит выше вершины параболы $y = x^4$.

Рассмотрим правую часть плоскости (при $x > 0$). Парабола $y = x^4$ растет значительно быстрее, чем прямая $y = x + 5$. Например, при $x = 1$, значение $y = x^4$ равно 1, а значение $y = x+5$ равно 6. При $x = 2$, значение $y = x^4$ равно 16, а значение $y = x+5$ равно 7. Так как в точке $x=1$ парабола находится ниже прямой, а в точке $x=2$ — выше, то на интервале $(1, 2)$ есть одна точка пересечения.

Рассмотрим левую часть плоскости (при $x < 0$). В силу симметрии параболы относительно оси OY и того, что прямая является возрастающей, ситуация будет аналогичной. Например, при $x = -1$, значение $y = x^4$ равно 1, а значение $y = x+5$ равно 4. При $x = -2$, значение $y = x^4$ равно 16, а значение $y = x+5$ равно 3. Так как в точке $x=-1$ парабола находится ниже прямой, а в точке $x=-2$ — выше, то на интервале $(-2, -1)$ также есть одна точка пересечения.

Таким образом, графики пересекаются в двух точках.

Ответ: 2 корня.

2) $-x^5 = 5 - x$

Для графического решения представим уравнение в виде равенства двух функций: $y = -x^5$ и $y = 5 - x$. Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения графиков этих функций.

1. Построим график функции $y = -x^5$. Это степенная функция с нечетным показателем, график которой симметричен относительно начала координат (0, 0). Функция является убывающей на всей области определения. График проходит через точки (0, 0), (1, -1) и (-1, 1).

2. Построим график функции $y = 5 - x$. Это линейная функция, ее график — прямая. Прямая является убывающей (угловой коэффициент равен -1), пересекает ось ординат (OY) в точке (0, 5) и ось абсцисс (OX) в точке (5, 0).

3. Совместим графики на одной координатной плоскости. Обе функции являются убывающими.

При $x=0$ значение функции $y=-x^5$ равно 0, а значение функции $y=5-x$ равно 5. То есть, в точке $x=0$ график прямой находится выше графика степенной функции.

При $x < 0$ (например, $x=-2$), функция $y = -x^5$ принимает большие положительные значения ($y = -(-2)^5 = 32$), в то время как прямая $y = 5 - x$ растет медленнее ($y = 5 - (-2) = 7$). Это означает, что для достаточно больших по модулю отрицательных значений $x$ график $y = -x^5$ будет находиться выше прямой. Так как при $x=0$ он был ниже, а при $x=-2$ стал выше, и обе функции непрерывны, то в области $x < 0$ существует одна точка пересечения.

При $x > 0$ функция $y = -x^5$ убывает гораздо быстрее, чем $y = 5 - x$. Поскольку при $x=0$ график $y=-x^5$ уже находится ниже прямой, и его скорость убывания больше, графики в этой области не пересекутся.

Следовательно, графики функций пересекаются только в одной точке.

Ответ: 1 корень.

56. Постройте график функции:

1) $f(x) = \begin{cases} x^6 + 2, & \text{если } x < 0; \\ \sqrt{x} + 2, & \text{если } x \ge 0; \end{cases}$

2) $f(x) = \begin{cases} -x^3, & \text{если } x < -1; \\ -\frac{1}{x}, & \text{если } x \ge -1. \end{cases}$

Пользуясь построенным графиком, укажите промежутки возрастания и промежутки убывания данной функции.

1) Дана функция $f(x) = \begin{cases} x^6 + 2, & \text{если } x < 0 \\ \sqrt{x} + 2, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$.
Для построения графика рассмотрим две его части.
Первая часть – это график функции $y = x^6 + 2$ при $x < 0$. Он представляет собой левую ветвь графика степенной функции $y = x^6$, смещенного на 2 единицы вверх по оси Oy. Эта функция является убывающей на промежутке $(-\infty, 0)$. На границе, при $x \to 0^-$, значение функции стремится к $0^6 + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$ не принадлежит этой части графика ("выколота").
Вторая часть – это график функции $y = \sqrt{x} + 2$ при $x \ge 0$. Он представляет собой график функции $y = \sqrt{x}$, смещенного на 2 единицы вверх по оси Oy. Эта функция является возрастающей на всей своей области определения $[0, \infty)$. На границе, при $x = 0$, значение функции равно $\sqrt{0} + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$ принадлежит этой части графика.
Объединяя части, получаем график исходной функции. Так как предел функции слева в точке $x=0$ равен значению функции в этой точке, функция является непрерывной. Точка $(0, 2)$ является точкой минимума.
Пользуясь построенным графиком, определяем промежутки монотонности. График "спускается" до точки $x=0$, а затем "поднимается".
Промежуток убывания: $(-\infty, 0]$.
Промежуток возрастания: $[0, \infty)$.
Ответ: промежуток убывания: $(-\infty, 0]$; промежуток возрастания: $[0, \infty)$.

2) Дана функция $f(x) = \begin{cases} -x^3, & \text{если } x < -1 \\ -\frac{1}{x}, & \text{если } x \ge -1 \end{cases}$.
Для построения графика рассмотрим две его части.
Первая часть – это график функции $y = -x^3$ при $x < -1$. Это график функции $y = x^3$, симметрично отраженный относительно оси Ox. Мы рассматриваем его часть, где $x < -1$. Функция $y = -x^3$ убывает на всей числовой прямой. На границе, при $x \to -1^-$, значение функции стремится к $-(-1)^3 = 1$. Точка $(-1, 1)$ не принадлежит этой части графика ("выколота").
Вторая часть – это график функции $y = -\frac{1}{x}$ при $x \ge -1$. Это график гиперболы $y=-\frac{1}{x}$ с ветвями во II и IV координатных четвертях. Мы рассматриваем его часть, где $x \ge -1$. Эта часть состоит из двух кусков: при $x \in [-1, 0)$ и при $x \in (0, \infty)$, разделенных вертикальной асимптотой $x=0$. На границе, при $x = -1$, значение функции равно $-\frac{1}{-1} = 1$. Точка $(-1, 1)$ принадлежит этой части графика. Функция $y = -\frac{1}{x}$ возрастает на каждом из промежутков $(-\infty, 0)$ и $(0, \infty)$, а значит и на $[-1, 0)$ и $(0, \infty)$.
Объединяя части, получаем график исходной функции. Функция непрерывна в точке $x=-1$, и в этой точке убывание сменяется возрастанием, следовательно, $x=-1$ – точка минимума.
Из построенного графика следует, что функция убывает до $x=-1$, а после $x=-1$ возрастает (с разрывом в точке $x=0$).
Промежуток убывания: $(-\infty, -1]$.
Промежутки возрастания: $[-1, 0)$ и $(0, \infty)$.
Ответ: промежуток убывания: $(-\infty, -1]$; промежутки возрастания: $[-1, 0)$ и $(0, \infty)$.