Номер 56, страница 65 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

56. Постройте график функции:

1) $f(x) = \begin{cases} x^6 + 2, & \text{если } x < 0; \\ \sqrt{x} + 2, & \text{если } x \ge 0; \end{cases}$

2) $f(x) = \begin{cases} -x^3, & \text{если } x < -1; \\ -\frac{1}{x}, & \text{если } x \ge -1. \end{cases}$

Пользуясь построенным графиком, укажите промежутки возрастания и промежутки убывания данной функции.

1) Дана функция $f(x) = \begin{cases} x^6 + 2, & \text{если } x < 0 \\ \sqrt{x} + 2, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$.
Для построения графика рассмотрим две его части.
Первая часть – это график функции $y = x^6 + 2$ при $x < 0$. Он представляет собой левую ветвь графика степенной функции $y = x^6$, смещенного на 2 единицы вверх по оси Oy. Эта функция является убывающей на промежутке $(-\infty, 0)$. На границе, при $x \to 0^-$, значение функции стремится к $0^6 + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$ не принадлежит этой части графика ("выколота").
Вторая часть – это график функции $y = \sqrt{x} + 2$ при $x \ge 0$. Он представляет собой график функции $y = \sqrt{x}$, смещенного на 2 единицы вверх по оси Oy. Эта функция является возрастающей на всей своей области определения $[0, \infty)$. На границе, при $x = 0$, значение функции равно $\sqrt{0} + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$ принадлежит этой части графика.
Объединяя части, получаем график исходной функции. Так как предел функции слева в точке $x=0$ равен значению функции в этой точке, функция является непрерывной. Точка $(0, 2)$ является точкой минимума.
Пользуясь построенным графиком, определяем промежутки монотонности. График "спускается" до точки $x=0$, а затем "поднимается".
Промежуток убывания: $(-\infty, 0]$.
Промежуток возрастания: $[0, \infty)$.
Ответ: промежуток убывания: $(-\infty, 0]$; промежуток возрастания: $[0, \infty)$.

2) Дана функция $f(x) = \begin{cases} -x^3, & \text{если } x < -1 \\ -\frac{1}{x}, & \text{если } x \ge -1 \end{cases}$.
Для построения графика рассмотрим две его части.
Первая часть – это график функции $y = -x^3$ при $x < -1$. Это график функции $y = x^3$, симметрично отраженный относительно оси Ox. Мы рассматриваем его часть, где $x < -1$. Функция $y = -x^3$ убывает на всей числовой прямой. На границе, при $x \to -1^-$, значение функции стремится к $-(-1)^3 = 1$. Точка $(-1, 1)$ не принадлежит этой части графика ("выколота").
Вторая часть – это график функции $y = -\frac{1}{x}$ при $x \ge -1$. Это график гиперболы $y=-\frac{1}{x}$ с ветвями во II и IV координатных четвертях. Мы рассматриваем его часть, где $x \ge -1$. Эта часть состоит из двух кусков: при $x \in [-1, 0)$ и при $x \in (0, \infty)$, разделенных вертикальной асимптотой $x=0$. На границе, при $x = -1$, значение функции равно $-\frac{1}{-1} = 1$. Точка $(-1, 1)$ принадлежит этой части графика. Функция $y = -\frac{1}{x}$ возрастает на каждом из промежутков $(-\infty, 0)$ и $(0, \infty)$, а значит и на $[-1, 0)$ и $(0, \infty)$.
Объединяя части, получаем график исходной функции. Функция непрерывна в точке $x=-1$, и в этой точке убывание сменяется возрастанием, следовательно, $x=-1$ – точка минимума.
Из построенного графика следует, что функция убывает до $x=-1$, а после $x=-1$ возрастает (с разрывом в точке $x=0$).
Промежуток убывания: $(-\infty, -1]$.
Промежутки возрастания: $[-1, 0)$ и $(0, \infty)$.
Ответ: промежуток убывания: $(-\infty, -1]$; промежутки возрастания: $[-1, 0)$ и $(0, \infty)$.