Номер 57, страница 66 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

57. Сколько корней в зависимости от значения $a$ имеет уравнение:

1) $x^8 = a + 3$;

2) $x^{12} = a^2 + 4a + 3$?

1) $x^8 = a + 3$

Количество действительных корней уравнения вида $x^n = b$, где $n$ — четное натуральное число, зависит от знака числа $b$.

В данном уравнении $n=8$ (четное), а $b = a+3$. Рассмотрим три случая для значения $a+3$.

• Если правая часть уравнения больше нуля ($a+3 > 0$), то уравнение имеет два действительных корня.

  $a+3 > 0 \implies a > -3$

  При $a > -3$ уравнение имеет два корня: $x_1 = \sqrt[8]{a+3}$ и $x_2 = -\sqrt[8]{a+3}$.

• Если правая часть уравнения равна нулю ($a+3 = 0$), то уравнение имеет один корень.

  $a+3 = 0 \implies a = -3$

  При $a = -3$ уравнение $x^8=0$ имеет один корень: $x = 0$.

• Если правая часть уравнения меньше нуля ($a+3 < 0$), то уравнение не имеет действительных корней.

  $a+3 < 0 \implies a < -3$

  При $a < -3$ у уравнения нет действительных корней, так как четная степень действительного числа не может быть отрицательной.

Ответ: если $a < -3$, корней нет; если $a = -3$, один корень; если $a > -3$, два корня.

2) $x^{12} = a^2 + 4a + 3$

В этом уравнении показатель степени $n=12$ также является четным числом. Количество корней зависит от знака выражения в правой части: $b = a^2 + 4a + 3$.

Исследуем знак квадратного трехчлена $f(a) = a^2 + 4a + 3$. Это парабола с ветвями, направленными вверх.

Найдем корни уравнения $a^2 + 4a + 3 = 0$. Используя теорему Виета, получаем корни $a_1 = -3$ и $a_2 = -1$.

Следовательно, выражение $a^2 + 4a + 3$ можно разложить на множители: $(a+3)(a+1)$.

Теперь рассмотрим три случая:

• Уравнение имеет два корня, если правая часть положительна:

  $a^2 + 4a + 3 > 0 \implies (a+3)(a+1) > 0$

  Решая это неравенство методом интервалов, получаем $a \in (-\infty; -3) \cup (-1; +\infty)$.

• Уравнение имеет один корень, если правая часть равна нулю:

  $a^2 + 4a + 3 = 0 \implies (a+3)(a+1) = 0$

  Это выполняется при $a = -3$ или $a = -1$. В обоих случаях корень $x=0$.

• Уравнение не имеет действительных корней, если правая часть отрицательна:

  $a^2 + 4a + 3 < 0 \implies (a+3)(a+1) < 0$

  Решением этого неравенства является интервал $a \in (-3; -1)$.

Ответ: если $a \in (-\infty; -3) \cup (-1; +\infty)$, два корня; если $a = -3$ или $a = -1$, один корень; если $a \in (-3; -1)$, корней нет.