Страница 66 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

57. Сколько корней в зависимости от значения $a$ имеет уравнение:

1) $x^8 = a + 3$;

2) $x^{12} = a^2 + 4a + 3$?

1) $x^8 = a + 3$

Количество действительных корней уравнения вида $x^n = b$, где $n$ — четное натуральное число, зависит от знака числа $b$.

В данном уравнении $n=8$ (четное), а $b = a+3$. Рассмотрим три случая для значения $a+3$.

• Если правая часть уравнения больше нуля ($a+3 > 0$), то уравнение имеет два действительных корня.

  $a+3 > 0 \implies a > -3$

  При $a > -3$ уравнение имеет два корня: $x_1 = \sqrt[8]{a+3}$ и $x_2 = -\sqrt[8]{a+3}$.

• Если правая часть уравнения равна нулю ($a+3 = 0$), то уравнение имеет один корень.

  $a+3 = 0 \implies a = -3$

  При $a = -3$ уравнение $x^8=0$ имеет один корень: $x = 0$.

• Если правая часть уравнения меньше нуля ($a+3 < 0$), то уравнение не имеет действительных корней.

  $a+3 < 0 \implies a < -3$

  При $a < -3$ у уравнения нет действительных корней, так как четная степень действительного числа не может быть отрицательной.

Ответ: если $a < -3$, корней нет; если $a = -3$, один корень; если $a > -3$, два корня.

2) $x^{12} = a^2 + 4a + 3$

В этом уравнении показатель степени $n=12$ также является четным числом. Количество корней зависит от знака выражения в правой части: $b = a^2 + 4a + 3$.

Исследуем знак квадратного трехчлена $f(a) = a^2 + 4a + 3$. Это парабола с ветвями, направленными вверх.

Найдем корни уравнения $a^2 + 4a + 3 = 0$. Используя теорему Виета, получаем корни $a_1 = -3$ и $a_2 = -1$.

Следовательно, выражение $a^2 + 4a + 3$ можно разложить на множители: $(a+3)(a+1)$.

Теперь рассмотрим три случая:

• Уравнение имеет два корня, если правая часть положительна:

  $a^2 + 4a + 3 > 0 \implies (a+3)(a+1) > 0$

  Решая это неравенство методом интервалов, получаем $a \in (-\infty; -3) \cup (-1; +\infty)$.

• Уравнение имеет один корень, если правая часть равна нулю:

  $a^2 + 4a + 3 = 0 \implies (a+3)(a+1) = 0$

  Это выполняется при $a = -3$ или $a = -1$. В обоих случаях корень $x=0$.

• Уравнение не имеет действительных корней, если правая часть отрицательна:

  $a^2 + 4a + 3 < 0 \implies (a+3)(a+1) < 0$

  Решением этого неравенства является интервал $a \in (-3; -1)$.

Ответ: если $a \in (-\infty; -3) \cup (-1; +\infty)$, два корня; если $a = -3$ или $a = -1$, один корень; если $a \in (-3; -1)$, корней нет.

58. Чётным или нечётным натуральным числом является показатель степени $n$ функции $y = x^n$, если:

1) $f(-7) > f(-1)$;

2) $f(-7) > f(1)$;

3) $f(-7) < f(-1)$;

4) $f(-7) < f(1)$?

Для ответа на вопрос проанализируем свойства степенной функции $y = f(x) = x^n$, где $n$ — натуральное число, в зависимости от чётности показателя степени $n$.

Если $n$ — чётное натуральное число (например, 2, 4, 6, ...):

• Функция является чётной, то есть $f(-x) = (-x)^n = x^n = f(x)$.
• График функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).
• На промежутке $(-\infty, 0]$ функция строго убывает. Это означает, что для любых $x_1 < x_2 \leq 0$ выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.
• На промежутке $[0, +\infty)$ функция строго возрастает.

Если $n$ — нечётное натуральное число (например, 1, 3, 5, ...):

• Функция является нечётной, то есть $f(-x) = (-x)^n = -x^n = -f(x)$.
• График функции симметричен относительно начала координат.
• Функция строго возрастает на всей числовой оси $(-\infty, \infty)$. Это означает, что для любых $x_1 < x_2$ выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

Теперь рассмотрим каждое из предложенных условий.

1) $f(-7) > f(-1)$

Сравниваются значения функции в двух отрицательных точках: $x_1 = -7$ и $x_2 = -1$. Очевидно, что $-7 < -1$.
Если $n$ — чётное число, то на промежутке $(-\infty, 0)$ функция убывает. Поэтому из неравенства $-7 < -1$ следует, что $f(-7) > f(-1)$. Это полностью совпадает с данным условием.
Если $n$ — нечётное число, то функция возрастает на всей числовой оси. Поэтому из неравенства $-7 < -1$ следует, что $f(-7) < f(-1)$. Это противоречит данному условию.
Следовательно, показатель степени $n$ является чётным числом.

Ответ: чётным.

2) $f(-7) > f(1)$

Сравниваются значения функции в точках $x_1 = -7$ и $x_2 = 1$.
Если $n$ — чётное число, то функция является чётной, поэтому $f(-7) = (-7)^n = 7^n$. Также $f(1) = 1^n = 1$. Так как $n$ — натуральное чётное число ($n \ge 2$), то $7^n$ всегда будет больше 1. Таким образом, $f(-7) > f(1)$. Это совпадает с данным условием.
Если $n$ — нечётное число, то $f(-7) = (-7)^n = -7^n$. Также $f(1) = 1^n = 1$. Так как $n$ — натуральное число, $7^n$ является положительным числом, а значит $-7^n$ — отрицательным. Любое отрицательное число меньше 1, поэтому $f(-7) < f(1)$. Это противоречит данному условию.
Следовательно, показатель степени $n$ является чётным числом.

Ответ: чётным.

3) $f(-7) < f(-1)$

Сравниваются значения функции в двух отрицательных точках: $x_1 = -7$ и $x_2 = -1$. Очевидно, что $-7 < -1$.
Если $n$ — чётное число, то на промежутке $(-\infty, 0)$ функция убывает. Поэтому из неравенства $-7 < -1$ следует, что $f(-7) > f(-1)$. Это противоречит данному условию.
Если $n$ — нечётное число, то функция возрастает на всей числовой оси. Поэтому из неравенства $-7 < -1$ следует, что $f(-7) < f(-1)$. Это полностью совпадает с данным условием.
Следовательно, показатель степени $n$ является нечётным числом.

Ответ: нечётным.

4) $f(-7) < f(1)$

Сравниваются значения функции в точках $x_1 = -7$ и $x_2 = 1$.
Если $n$ — чётное число, то $f(-7) = (-7)^n = 7^n$ и $f(1) = 1^n = 1$. Так как $n \ge 2$, то $7^n > 1$, то есть $f(-7) > f(1)$. Это противоречит данному условию.
Если $n$ — нечётное число, то $f(-7) = (-7)^n = -7^n$. Также $f(1) = 1^n = 1$. Так как $n$ — натуральное число, $-7^n$ — отрицательное число. Очевидно, что любое отрицательное число меньше 1. Таким образом, $f(-7) < f(1)$. Это совпадает с данным условием.
Следовательно, показатель степени $n$ является нечётным числом.

Ответ: нечётным.

59. Проходит ли график функции $y = x^{-6}$ через точку:

$(3; \frac{1}{729})$;

$(-\frac{1}{2}; -64)$;

$(-2; \frac{1}{64})$;

$(-3; 27)$?

Чтобы определить, проходит ли график функции $y = x^{-6}$ через заданную точку, нужно подставить координаты точки в уравнение функции. Если равенство окажется верным, то точка принадлежит графику.

1) A($3; \frac{1}{729}$);
Подставим абсциссу точки A, $x=3$, в уравнение функции $y = x^{-6}$:
$y = 3^{-6} = \frac{1}{3^6}$.
Поскольку $3^6 = 729$, получаем $y = \frac{1}{729}$.
Вычисленное значение $y$ совпадает с ординатой точки A. Следовательно, график функции проходит через точку A.

Ответ: да, проходит.

2) B($-\frac{1}{2}$; -64);
Подставим абсциссу точки B, $x = -\frac{1}{2}$, в уравнение функции:
$y = (-\frac{1}{2})^{-6} = \frac{1}{(-\frac{1}{2})^6}$.
Так как показатель степени (6) четный, $(-\frac{1}{2})^6 = (\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{64}$.
Тогда $y = \frac{1}{1/64} = 64$.
Вычисленное значение $y=64$ не совпадает с ординатой точки B, равной -64. Следовательно, график функции не проходит через точку B.

Ответ: нет, не проходит.

3) C(-2; $\frac{1}{64}$);
Подставим абсциссу точки C, $x = -2$, в уравнение функции:
$y = (-2)^{-6} = \frac{1}{(-2)^6}$.
Так как показатель степени (6) четный, $(-2)^6 = 2^6 = 64$.
Следовательно, $y = \frac{1}{64}$.
Вычисленное значение $y$ совпадает с ординатой точки C. Следовательно, график функции проходит через точку C.

Ответ: да, проходит.

4) D(-3; 27)?
Подставим абсциссу точки D, $x = -3$, в уравнение функции:
$y = (-3)^{-6} = \frac{1}{(-3)^6}$.
Так как показатель степени (6) четный, $(-3)^6 = 3^6 = 729$.
Следовательно, $y = \frac{1}{729}$.
Вычисленное значение $y = \frac{1}{729}$ не совпадает с ординатой точки D, равной 27. Следовательно, график функции не проходит через точку D.

Ответ: нет, не проходит.

60. При каком значении $a$ график функции $y = ax^{-3}$ проходит через точку $B(-2; -\frac{1}{4})$?

Для того чтобы график функции $y = ax^{-3}$ проходил через заданную точку $B\left(-2; \frac{1}{4}\right)$, координаты этой точки должны удовлетворять уравнению функции. Это означает, что если мы подставим в уравнение функции абсциссу точки $x = -2$, то значение функции должно быть равно ее ординате $y = \frac{1}{4}$.

Подставим значения $x = -2$ и $y = \frac{1}{4}$ в исходное уравнение:

$\frac{1}{4} = a \cdot (-2)^{-3}$

Теперь решим полученное уравнение относительно переменной $a$. Сначала вычислим значение $(-2)^{-3}$. Степень с отрицательным показателем равна обратному значению основания, возведенного в степень с положительным показателем:

$(-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3} = \frac{1}{(-2) \cdot (-2) \cdot (-2)} = \frac{1}{-8} = -\frac{1}{8}$

Подставим это значение обратно в наше уравнение:

$\frac{1}{4} = a \cdot \left(-\frac{1}{8}\right)$

Чтобы найти $a$, нужно разделить обе части уравнения на $(-\frac{1}{8})$, что эквивалентно умножению на $(-8)$:

$a = \frac{1}{4} \cdot (-8)$

$a = -\frac{8}{4}$

$a = -2$

Следовательно, при $a = -2$ график функции $y = ax^{-3}$ будет проходить через точку $B\left(-2; \frac{1}{4}\right)$.

Ответ: -2

61. Дана функция $f(x) = x^{-11}$. Сравните:

1) $f(0,2)$ и $f(-10)$;

2) $f(14)$ и $f(12)$;

3) $f(-23)$ и $f(-34)$.

Для решения задачи проанализируем свойства функции $f(x) = x^{-11}$. Эту функцию можно записать в виде дроби: $f(x) = \frac{1}{x^{11}}$.

Основные свойства функции:

• Область определения: все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $x \in (-\infty; 0) \cup (0; \infty)$.
• Четность/нечетность: Поскольку показатель степени 11 — нечетное число, функция является нечетной. Это означает, что $f(-x) = (-x)^{-11} = \frac{1}{(-x)^{11}} = -\frac{1}{x^{11}} = -f(x)$. График функции симметричен относительно начала координат.
• Знак функции: Если $x > 0$, то $x^{11} > 0$, и $f(x) > 0$. Если $x < 0$, то $x^{11} < 0$, и $f(x) < 0$.
• Монотонность: Найдем производную функции: $f'(x) = (-11) \cdot x^{-11-1} = -11x^{-12} = -\frac{11}{x^{12}}$. Так как $x^{12}$ всегда положительно при $x \neq 0$, производная $f'(x)$ всегда отрицательна. Следовательно, функция $f(x)$ является строго убывающей на каждом из интервалов своей области определения: $(-\infty; 0)$ и $(0; \infty)$. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из одного интервала, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$.

Теперь сравним значения функции в заданных точках.

1) $f(0,2)$ и $f(-10)$

Аргумент $x = 0,2$ положителен, поэтому значение функции $f(0,2) = (0,2)^{-11} = \frac{1}{0,2^{11}}$ также будет положительным.

Аргумент $x = -10$ отрицателен, поэтому значение функции $f(-10) = (-10)^{-11} = \frac{1}{(-10)^{11}} = -\frac{1}{10^{11}}$ будет отрицательным.

Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа.

Следовательно, $f(0,2) > f(-10)$.

Ответ: $f(0,2) > f(-10)$.

2) $f(14)$ и $f(12)$

Оба аргумента, 14 и 12, принадлежат интервалу $(0; \infty)$, на котором функция $f(x)$ строго убывает.

Поскольку $12 < 14$, из свойства убывающей функции следует, что $f(12) > f(14)$.

Это также можно увидеть, сравнив дроби: $f(14) = \frac{1}{14^{11}}$ и $f(12) = \frac{1}{12^{11}}$. Так как $14 > 12$, то и $14^{11} > 12^{11}$. Для положительных дробей с одинаковым числителем (1) та дробь больше, у которой знаменатель меньше. Значит, $\frac{1}{12^{11}} > \frac{1}{14^{11}}$, то есть $f(12) > f(14)$.

Ответ: $f(14) < f(12)$.

3) $f(-23)$ и $f(-34)$

Оба аргумента, -23 и -34, принадлежат интервалу $(-\infty; 0)$, на котором функция $f(x)$ также строго убывает.

Сравним аргументы: $-34 < -23$. Так как функция на этом интервале убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, $f(-34) > f(-23)$.

Проверим другим способом: $f(-23) = \frac{1}{(-23)^{11}} = -\frac{1}{23^{11}}$ и $f(-34) = \frac{1}{(-34)^{11}} = -\frac{1}{34^{11}}$. Нам нужно сравнить два отрицательных числа. Сначала сравним их модули: $\frac{1}{23^{11}}$ и $\frac{1}{34^{11}}$. Поскольку $34 > 23$, то $34^{11} > 23^{11}$, и $\frac{1}{34^{11}} < \frac{1}{23^{11}}$. Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше. Значит, $-\frac{1}{34^{11}} > -\frac{1}{23^{11}}$, то есть $f(-34) > f(-23)$.

Ответ: $f(-23) < f(-34)$.

62. Дана функция $f(x) = x^{-20}$. Сравните:

1) $f(1.4)$ и $f(2.6)$;

2) $f(-5.4)$ и $f(-6.3)$;

3) $f(-2.8)$ и $f(2.8)$;

4) $f(-25)$ и $f(7)$.

Дана функция $f(x) = x^{-20}$. Для сравнения её значений в различных точках, проанализируем свойства этой функции. Функцию можно представить в виде $f(x) = \frac{1}{x^{20}}$.

Поскольку показатель степени $-20$ является четным числом, функция $f(x)$ является четной. Это означает, что $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из области определения. Например, $f(-a) = (-a)^{-20} = \frac{1}{(-a)^{20}} = \frac{1}{a^{20}} = f(a)$.

Рассмотрим монотонность функции:

• На промежутке $(0, +\infty)$ функция убывает. Это значит, что для любых $0 < x_1 < x_2$ выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.
• На промежутке $(-\infty, 0)$ функция возрастает. Это значит, что для любых $x_1 < x_2 < 0$ выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

Теперь сравним заданные значения, используя эти свойства.

1) f(1,4) и f(2,6)

Аргументы $1,4$ и $2,6$ принадлежат промежутку $(0, +\infty)$, на котором функция $f(x)$ убывает. Поскольку $1,4 < 2,6$, то по свойству убывающей функции $f(1,4) > f(2,6)$.

Ответ: $f(1,4) > f(2,6)$.

2) f(-5,4) и f(-6,3)

Аргументы $-5,4$ и $-6,3$ принадлежат промежутку $(-\infty, 0)$, на котором функция $f(x)$ возрастает. Поскольку $-6,3 < -5,4$, то по свойству возрастающей функции $f(-6,3) < f(-5,4)$.

Ответ: $f(-5,4) > f(-6,3)$.

3) f(-2,8) и f(2,8)

Функция $f(x) = x^{-20}$ является четной, так как показатель степени $-20$ — четное число. По определению четной функции $f(-x) = f(x)$. Следовательно, при $x = 2,8$ получаем $f(-2,8) = f(2,8)$.

Ответ: $f(-2,8) = f(2,8)$.

4) f(-25) и f(7)

Используем свойство четности функции: $f(-25) = f(25)$. Теперь задача сводится к сравнению $f(25)$ и $f(7)$. Аргументы $25$ и $7$ принадлежат промежутку $(0, +\infty)$, на котором функция $f(x)$ убывает. Поскольку $25 > 7$, то $f(25) < f(7)$. Следовательно, $f(-25) < f(7)$.

Ответ: $f(-25) < f(7)$.

63. Постройте график функции:

1) $y = (x-4)^0$;

2) $y = (\sqrt{x}-3)^0$;

3) $y = (x^2+6x+8)^0$.

1) $y = (x-4)^0$.

Функция определена, когда основание степени не равно нулю. Это следует из правила, что любое ненулевое число в нулевой степени равно единице ($a^0 = 1$ при $a \neq 0$).

Найдем область определения функции:

$x - 4 \neq 0$

$x \neq 4$

Таким образом, для всех значений $x$, кроме $x=4$, значение функции равно 1. При $x=4$ функция не определена.

Графиком функции является прямая линия $y=1$, на которой "выколота" (удалена) точка с абсциссой $x=4$. Координаты этой выколотой точки — $(4, 1)$.

Ответ: График функции — прямая $y=1$ с выколотой точкой $(4, 1)$.

2) $y = (\sqrt{x} - 3)^0$.

Для того чтобы функция была определена, должны одновременно выполняться два условия:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

2. Основание степени не должно быть равно нулю: $\sqrt{x} - 3 \neq 0$.

Решим второе условие:

$\sqrt{x} \neq 3$

Возведем обе части в квадрат:

$x \neq 9$

Объединяя оба условия, получаем область определения функции: $x \ge 0$ и $x \neq 9$. Это можно записать в виде объединения интервалов: $x \in [0, 9) \cup (9, +\infty)$.

Для всех $x$ из области определения значение функции равно 1.

Графиком функции является луч прямой $y=1$, который начинается в точке $(0, 1)$ (эта точка принадлежит графику) и идет вправо вдоль оси $x$, но с выколотой точкой при $x=9$. Координаты выколотой точки — $(9, 1)$.

Ответ: График функции — луч $y=1$ с началом в точке $(0, 1)$ и с выколотой точкой $(9, 1)$.

3) $y = (x^2 + 6x + 8)^0$.

Функция определена, когда ее основание не равно нулю:

$x^2 + 6x + 8 \neq 0$

Чтобы найти значения $x$, которые необходимо исключить из области определения, решим квадратное уравнение $x^2 + 6x + 8 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -6$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 8$.

Подбором находим корни: $x_1 = -4$ и $x_2 = -2$.

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x = -4$ и $x = -2$.

Для всех $x$ из области определения значение функции равно 1.

Графиком функции является прямая линия $y=1$ с двумя выколотыми точками, абсциссы которых равны $-4$ и $-2$. Координаты этих точек — $(-4, 1)$ и $(-2, 1)$.

Ответ: График функции — прямая $y=1$ с выколотыми точками $(-4, 1)$ и $(-2, 1)$.

64. Постройте график функции:

1) $y = x^{-3} + 1;$

2) $y = (x + 1)^{-3};$

3) $y = 4x^{-4}.$

Для построения графика функции $y = x^{-3} + 1$ воспользуемся методом преобразования графиков. Исходной функцией является $y = x^{-3}$, или $y = \frac{1}{x^3}$.

Свойства функции $y = \frac{1}{x^3}$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат.
• Асимптоты: вертикальная асимптота $x=0$ и горизонтальная асимптота $y=0$.
• График расположен в I и III координатных четвертях.
• Функция убывает на всей области определения.

График функции $y = x^{-3} + 1$ получается из графика функции $y = x^{-3}$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси $Oy$ на 1 единицу вверх. При этом преобразовании:

• Вертикальная асимптота $x=0$ остается без изменений.
• Горизонтальная асимптота $y=0$ смещается на 1 вверх и становится $y=1$.
• Каждая точка графика $(x_0, y_0)$ переходит в точку $(x_0, y_0 + 1)$. Например, точка $(1, 1)$ переходит в точку $(1, 2)$, а точка $(-1, -1)$ — в точку $(-1, 0)$.
• Центр симметрии графика смещается из $(0, 0)$ в точку $(0, 1)$.

Таким образом, для построения графика нужно сначала построить график функции $y = \frac{1}{x^3}$, а затем сдвинуть его на 1 единицу вверх.

Ответ: График функции $y = x^{-3} + 1$ — это график функции $y = x^{-3}$, сдвинутый на 1 единицу вверх вдоль оси ординат. Вертикальная асимптота — $x=0$, горизонтальная асимптота — $y=1$.

Для построения графика функции $y = (x + 1)^{-3}$ также используем преобразование графика базовой функции $y = x^{-3}$, или $y = \frac{1}{x^3}$.

Свойства базовой функции $y = \frac{1}{x^3}$ описаны в предыдущем пункте.

График функции $y = (x + 1)^{-3}$ получается из графика функции $y = x^{-3}$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси $Ox$ на 1 единицу влево. При этом преобразовании:

• Вертикальная асимптота $x=0$ смещается на 1 влево и становится $x=-1$.
• Горизонтальная асимптота $y=0$ остается без изменений.
• Каждая точка графика $(x_0, y_0)$ переходит в точку $(x_0 - 1, y_0)$. Например, точка $(1, 1)$ переходит в точку $(0, 1)$, а точка $(-1, -1)$ — в точку $(-2, -1)$.
• Центр симметрии графика смещается из $(0, 0)$ в точку $(-1, 0)$.

Таким образом, для построения графика нужно сначала построить график функции $y = \frac{1}{x^3}$, а затем сдвинуть его на 1 единицу влево.

Ответ: График функции $y = (x + 1)^{-3}$ — это график функции $y = x^{-3}$, сдвинутый на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс. Вертикальная асимптота — $x=-1$, горизонтальная асимптота — $y=0$.

Для построения графика функции $y = 4x^{-4}$ воспользуемся преобразованием графика базовой функции $y = x^{-4}$, или $y = \frac{1}{x^4}$.

Свойства функции $y = \frac{1}{x^4}$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$, так как $x^4 \ge 0$.
• Функция четная, ее график симметричен относительно оси $Oy$.
• Асимптоты: вертикальная асимптота $x=0$ и горизонтальная асимптота $y=0$.
• График расположен в I и II координатных четвертях.
• Функция возрастает на интервале $(-\infty; 0)$ и убывает на интервале $(0; +\infty)$.

График функции $y = 4x^{-4}$ получается из графика функции $y = x^{-4}$ путем растяжения вдоль оси $Oy$ в 4 раза. При этом преобразовании:

• Вертикальная асимптота $x=0$ и горизонтальная асимптота $y=0$ остаются без изменений.
• Симметрия относительно оси $Oy$ сохраняется.
• Каждая точка графика $(x_0, y_0)$ переходит в точку $(x_0, 4y_0)$. Например, точка $(1, 1)$ переходит в точку $(1, 4)$, а точка $(2, \frac{1}{16})$ — в точку $(2, \frac{4}{16}) = (2, \frac{1}{4})$.

Таким образом, для построения графика нужно сначала построить график функции $y = \frac{1}{x^4}$, а затем растянуть его от оси $Ox$ в 4 раза.

Ответ: График функции $y = 4x^{-4}$ — это график функции $y = x^{-4}$, растянутый в 4 раза вдоль оси ординат. Асимптоты ($x=0$ и $y=0$) и симметрия относительно оси $Oy$ сохраняются.

65. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^{-4}$ на промежутке:

1) $[\frac{1}{5}; 2]$;

2) $[-1; -\frac{1}{2}]$;

3) $(-\infty; -2]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = x^{-4}$ на заданных промежутках, исследуем ее поведение. Функция может быть записана как $y = \frac{1}{x^4}$.

Найдем производную функции, чтобы определить интервалы возрастания и убывания:

$y' = (x^{-4})' = -4x^{-5} = -\frac{4}{x^5}$

1. При $x > 0$, $x^5 > 0$, следовательно, $y' < 0$. Функция убывает на $(0, +\infty)$.

2. При $x < 0$, $x^5 < 0$, следовательно, $y' > 0$. Функция возрастает на $(-\infty, 0)$.

Теперь рассмотрим каждый промежуток отдельно.

1) На промежутке $[\frac{1}{5}; 2]$.

Этот промежуток находится в области, где $x > 0$, поэтому функция на нем убывает. Следовательно, наибольшее значение достигается в левой точке промежутка, а наименьшее — в правой.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(\frac{1}{5}) = (\frac{1}{5})^{-4} = 5^4 = 625$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(2) = 2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$.

Ответ: наибольшее значение равно 625, наименьшее значение равно $\frac{1}{16}$.

2) На промежутке $[-1; -\frac{1}{2}]$.

Этот промежуток находится в области, где $x < 0$, поэтому функция на нем возрастает. Следовательно, наименьшее значение достигается в левой точке промежутка, а наибольшее — в правой.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-1) = (-1)^{-4} = \frac{1}{(-1)^4} = 1$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-\frac{1}{2}) = (-\frac{1}{2})^{-4} = (-2)^4 = 16$.

Ответ: наибольшее значение равно 16, наименьшее значение равно 1.

3) На промежутке $(-\infty; -2]$.

Этот промежуток находится в области, где $x < 0$, поэтому функция на нем возрастает. Следовательно, наибольшее значение достигается в самой правой точке промежутка, то есть при $x=-2$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-2) = (-2)^{-4} = \frac{1}{(-2)^4} = \frac{1}{16}$.

Чтобы определить, есть ли наименьшее значение, рассмотрим поведение функции при $x \to -\infty$:

$\lim_{x\to-\infty} y(x) = \lim_{x\to-\infty} \frac{1}{x^4} = 0$.

Функция приближается к 0, но никогда не достигает этого значения, так как $y = \frac{1}{x^4} > 0$ для всех $x$ из области определения. Таким образом, наименьшего значения на данном промежутке не существует.

Ответ: наибольшее значение равно $\frac{1}{16}$, наименьшего значения не существует.