Страница 71 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

100. Упростите выражение:

1) $\sqrt[6]{(x+2)^6}$;

2) $\sqrt[8]{(b-10)^8}$, если $b \ge 10$;

3) $\sqrt[12]{(4-y)^{12}}$, если $y \le 4$;

4) $(21-b)\sqrt[6]{\frac{729}{(b-21)^6}}$, если $b > 21$.

1) Для упрощения выражения $\sqrt[6]{(x + 2)^6}$ используется свойство корня четной степени: $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$.
В данном случае показатель корня и показатель степени подкоренного выражения равны 6 (четное число), а основание степени $a = x+2$.
Применяя свойство, получаем:
$\sqrt[6]{(x + 2)^6} = |x+2|$.
Поскольку нет дополнительных условий для переменной $x$, это является окончательным упрощенным видом выражения.
Ответ: $|x+2|$.

2) Для упрощения выражения $\sqrt[8]{(b - 10)^8}$ при условии $b \ge 10$ воспользуемся свойством $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$.
Применяя это свойство, получаем: $\sqrt[8]{(b - 10)^8} = |b - 10|$.
Теперь рассмотрим условие $b \ge 10$. Это означает, что выражение под знаком модуля $b - 10$ является неотрицательным ($b - 10 \ge 0$).
По определению модуля, если подмодульное выражение неотрицательно, то модуль равен самому выражению. Следовательно, $|b - 10| = b - 10$.
Ответ: $b-10$.

3) Для упрощения выражения $\sqrt[12]{(4 - y)^{12}}$ при условии $y \le 4$ воспользуемся свойством $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$.
Применяя это свойство, получаем: $\sqrt[12]{(4 - y)^{12}} = |4 - y|$.
Теперь рассмотрим условие $y \le 4$. Это означает, что выражение под знаком модуля $4 - y$ является неотрицательным ($4 - y \ge 0$).
По определению модуля, если подмодульное выражение неотрицательно, то модуль равен самому выражению. Следовательно, $|4 - y| = 4 - y$.
Ответ: $4-y$.

4) Рассмотрим выражение $(21 - b) \sqrt[6]{\frac{729}{(b - 21)^6}}$ при условии $b > 21$.
Упростим выражение по частям. Начнем с корня.
$\sqrt[6]{\frac{729}{(b - 21)^6}} = \frac{\sqrt[6]{729}}{\sqrt[6]{(b - 21)^6}}$.
Вычислим числитель: $729 = 3^6$, поэтому $\sqrt[6]{729} = 3$.
Упростим знаменатель, используя свойство $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$:
$\sqrt[6]{(b - 21)^6} = |b - 21|$.
По условию $b > 21$, значит, разность $b - 21$ положительна. Таким образом, $|b - 21| = b - 21$.
Итак, корень упрощается до $\frac{3}{b - 21}$.
Теперь подставим это обратно в исходное выражение:
$(21 - b) \cdot \frac{3}{b - 21}$.
Заметим, что $21 - b = -(b - 21)$. Подставим это в выражение:
$-(b - 21) \cdot \frac{3}{b - 21}$.
Так как $b > 21$, то $b - 21 \ne 0$, и мы можем сократить дробь на $(b - 21)$:
$-1 \cdot 3 = -3$.
Ответ: $-3$.

101. Упростите выражение:

1) $\sqrt[4]{(\sqrt{5}-6)^4}$;

2) $\sqrt[3]{(4-\sqrt{3})^3}$;

3) $\sqrt[6]{(7-5\sqrt{2})^6} + \sqrt[5]{(3-5\sqrt{2})^5}$.

102. Решите уравнение:

1) $ \sqrt[12]{(x+3)^{12}} = 4x $

2) $ \sqrt[4]{(x-15)^4} = 15-x $

1) $\sqrt[12]{(x+3)^{12}} = 4x$

Используем свойство корня четной степени: $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. Поскольку показатель корня 12 является четным числом, мы можем упростить левую часть уравнения:

$\sqrt[12]{(x+3)^{12}} = |x+3|$

Таким образом, исходное уравнение принимает вид:

$|x+3| = 4x$

Так как модуль числа всегда является неотрицательной величиной ($|x+3| \ge 0$), то и правая часть уравнения должна быть неотрицательной:

$4x \ge 0$

$x \ge 0$

Это является областью допустимых значений для данного уравнения. Теперь рассмотрим уравнение $|x+3| = 4x$ при условии, что $x \ge 0$.

Если $x \ge 0$, то выражение под знаком модуля $x+3$ всегда будет положительным ($x+3 > 0$). Следовательно, знак модуля можно опустить:

$|x+3| = x+3$

Подставим это в уравнение:

$x+3 = 4x$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону:

$3 = 4x - x$

$3 = 3x$

$x = 1$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x=1$ условию $x \ge 0$. Да, $1 \ge 0$, следовательно, корень является решением уравнения.

Ответ: $1$

2) $\sqrt[4]{(x-15)^{4}} = 15 - x$

Аналогично первому примеру, используем свойство корня четной степени $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. Показатель корня 4 является четным, поэтому:

$\sqrt[4]{(x-15)^{4}} = |x-15|$

Уравнение принимает вид:

$|x-15| = 15 - x$

Заметим, что правая часть уравнения $15 - x$ является противоположным выражением для подмодульного выражения $x-15$, то есть $15-x = -(x-15)$.

Таким образом, уравнение можно записать в виде $|A| = -A$, где $A = x-15$.

Равенство $|A| = -A$ верно тогда и только тогда, когда выражение $A$ является неположительным, то есть $A \le 0$.

Применим это свойство к нашему уравнению:

$x-15 \le 0$

Решим это простое неравенство:

$x \le 15$

Таким образом, решением уравнения является любое число $x$, которое меньше или равно 15. Это можно записать в виде промежутка $(-\infty; 15]$.

Ответ: $(-\infty; 15]$

103. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt[6]{(x-6)^6}$;

2) $y = x + \sqrt[4]{x^4}$;

3) $y = \sqrt[4]{(x-2)^3} \cdot \sqrt[4]{x-2}$;

4) $y = \frac{(x+4)^2}{\sqrt[4]{(x+4)^4}} - 3.$

1)

Исходная функция: $y = \sqrt[6]{(x - 6)^6}$.

Область определения функции — все действительные числа, так как подкоренное выражение $(x-6)^6$ всегда неотрицательно.

Используем свойство корня четной степени: $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. В данном случае $n=3$, поэтому корень 6-й степени является корнем четной степени.

Преобразуем функцию:

$y = \sqrt[6]{(x - 6)^6} = |x - 6|$.

График функции $y = |x - 6|$ — это график функции $y = |x|$, смещенный на 6 единиц вправо по оси Ox.

Функцию можно представить в виде системы:

$y = \begin{cases} x - 6, & \text{если } x - 6 \ge 0, \text{ то есть } x \ge 6 \\ -(x - 6), & \text{если } x - 6 < 0, \text{ то есть } x < 6 \end{cases}$

Таким образом, график состоит из двух лучей, выходящих из точки $(6, 0)$:

• Луч $y = x - 6$ для $x \ge 6$. Проходит через точки $(6, 0)$ и $(7, 1)$.
• Луч $y = -x + 6$ для $x < 6$. Проходит через точки $(6, 0)$ и $(5, 1)$.

Вершина графика находится в точке $(6, 0)$.

Ответ: График функции представляет собой "галочку" (V-образную кривую), состоящую из двух лучей, с вершиной в точке $(6, 0)$. Ветви направлены вверх.

2)

Исходная функция: $y = x + \sqrt[4]{x^4}$.

Область определения — все действительные числа, так как $x^4 \ge 0$ для любого $x$.

Используем свойство корня четной степени $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$.

Преобразуем функцию:

$y = x + |x|$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид $y = x + x = 2x$.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид $y = x + (-x) = 0$.

Таким образом, функция задается кусочно:

$y = \begin{cases} 2x, & \text{если } x \ge 0 \\ 0, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

График состоит из двух частей:

• При $x < 0$ график совпадает с отрицательной частью оси Ox (луч $y = 0$).
• При $x \ge 0$ график представляет собой луч $y = 2x$, выходящий из начала координат и проходящий через точку $(1, 2)$.

Ответ: График функции состоит из двух лучей, выходящих из точки $(0, 0)$: луч $y = 0$ для $x < 0$ и луч $y = 2x$ для $x \ge 0$.

3)

Исходная функция: $y = \sqrt[4]{(x - 2)^3} \cdot \sqrt[4]{x - 2}$.

Найдем область определения функции. Выражения под корнем четной степени должны быть неотрицательны:

$\begin{cases} (x - 2)^3 \ge 0 \\ x - 2 \ge 0 \end{cases}$

Оба неравенства равносильны условию $x - 2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$.

Область определения: $x \in [2, +\infty)$.

На этой области определения преобразуем функцию, используя свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$y = \sqrt[4]{(x - 2)^3 \cdot (x - 2)} = \sqrt[4]{(x - 2)^4}$.

Так как $x \ge 2$, то $x - 2 \ge 0$. Поэтому, используя свойство $\sqrt[4]{a^4} = |a|$, получаем:

$y = |x - 2| = x - 2$.

Итак, нам нужно построить график функции $y = x - 2$ при условии $x \ge 2$.

Это луч прямой $y = x - 2$, начинающийся в точке, где $x = 2$. Найдем ординату этой точки: $y = 2 - 2 = 0$.

Начало луча — точка $(2, 0)$. Для построения найдем еще одну точку, например, при $x = 4$, $y = 4 - 2 = 2$.

Ответ: График функции — луч, выходящий из точки $(2, 0)$ и проходящий через точку $(4, 2)$.

4)

Исходная функция: $y = \frac{(x + 4)^2}{\sqrt[4]{(x + 4)^4}} - 3$.

Найдем область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$\sqrt[4]{(x + 4)^4} \ne 0 \implies (x + 4)^4 \ne 0 \implies x + 4 \ne 0 \implies x \ne -4$.

Область определения: $x \in (-\infty, -4) \cup (-4, +\infty)$.

Упростим выражение в знаменателе: $\sqrt[4]{(x + 4)^4} = |x + 4|$.

Функция принимает вид: $y = \frac{(x + 4)^2}{|x + 4|} - 3$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. Если $x + 4 > 0$, то есть $x > -4$, то $|x + 4| = x + 4$.

$y = \frac{(x + 4)^2}{x + 4} - 3 = (x + 4) - 3 = x + 1$.

2. Если $x + 4 < 0$, то есть $x < -4$, то $|x + 4| = -(x + 4)$.

$y = \frac{(x + 4)^2}{-(x + 4)} - 3 = -(x + 4) - 3 = -x - 4 - 3 = -x - 7$.

Таким образом, функция задается кусочно:

$y = \begin{cases} x + 1, & \text{если } x > -4 \\ -x - 7, & \text{если } x < -4 \end{cases}$

График состоит из двух открытых лучей:

• Луч $y = x + 1$ для $x > -4$.
• Луч $y = -x - 7$ для $x < -4$.

Поскольку функция не определена в точке $x = -4$, на графике будет "выколотая" точка. Найдем ее координаты, подставив $x = -4$ в оба выражения:

Для $y = x + 1$: $y = -4 + 1 = -3$.

Для $y = -x - 7$: $y = -(-4) - 7 = 4 - 7 = -3$.

Оба луча сходятся в точке $(-4, -3)$, которая не принадлежит графику.

Ответ: График функции состоит из двух открытых лучей, сходящихся в выколотой точке $(-4, -3)$. Для $x > -4$ это луч $y = x + 1$, а для $x < -4$ это луч $y = -x - 7$.

104. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{8}{\sqrt[3]{2}}$;

2) $\frac{18}{\sqrt[4]{27}}$;

3) $\frac{64}{\sqrt[5]{16}}$;

4) $\frac{a^5}{\sqrt[7]{a^5}}$

1) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{8}{\sqrt[3]{2}} $, нужно домножить числитель и знаменатель на такой множитель, чтобы подкоренное выражение в знаменателе стало полным кубом. Знаменатель содержит $ \sqrt[3]{2^1} $. Чтобы получить под корнем $ 2^3 $, нужно домножить на $ \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4} $.
Выполним умножение:
$ \frac{8}{\sqrt[3]{2}} = \frac{8 \cdot \sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}} = \frac{8\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2 \cdot 4}} = \frac{8\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{8\sqrt[3]{4}}{2} $.
Теперь сократим полученную дробь:
$ \frac{8\sqrt[3]{4}}{2} = 4\sqrt[3]{4} $.
Ответ: $ 4\sqrt[3]{4} $.

2) Исходная дробь $ \frac{18}{\sqrt[4]{27}} $. Сначала представим подкоренное выражение в виде степени: $ 27 = 3^3 $. Дробь примет вид: $ \frac{18}{\sqrt[4]{3^3}} $.
Чтобы знаменатель стал рациональным числом, показатель степени под корнем должен стать равным степени корня (то есть 4). Для этого домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt[4]{3^{4-3}} = \sqrt[4]{3} $.
Выполним умножение:
$ \frac{18}{\sqrt[4]{3^3}} = \frac{18 \cdot \sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{3^3} \cdot \sqrt[4]{3}} = \frac{18\sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{3^4}} = \frac{18\sqrt[4]{3}}{3} $.
Теперь сократим дробь:
$ \frac{18\sqrt[4]{3}}{3} = 6\sqrt[4]{3} $.
Ответ: $ 6\sqrt[4]{3} $.

3) Исходная дробь $ \frac{64}{\sqrt[5]{16}} $. Представим число $ 16 $ как степень двойки: $ 16 = 2^4 $. Дробь принимает вид $ \frac{64}{\sqrt[5]{2^4}} $.
Для того чтобы избавиться от корня в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt[5]{2^{5-4}} = \sqrt[5]{2} $.
Выполним умножение:
$ \frac{64}{\sqrt[5]{2^4}} = \frac{64 \cdot \sqrt[5]{2}}{\sqrt[5]{2^4} \cdot \sqrt[5]{2}} = \frac{64\sqrt[5]{2}}{\sqrt[5]{2^5}} = \frac{64\sqrt[5]{2}}{2} $.
Сократим полученную дробь:
$ \frac{64\sqrt[5]{2}}{2} = 32\sqrt[5]{2} $.
Ответ: $ 32\sqrt[5]{2} $.

4) Исходная дробь $ \frac{a^5}{\sqrt[7]{a^5}} $ (при условии $ a \neq 0 $).
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, необходимо домножить числитель и знаменатель на $ \sqrt[7]{a^{7-5}} = \sqrt[7]{a^2} $.
Выполним умножение:
$ \frac{a^5}{\sqrt[7]{a^5}} = \frac{a^5 \cdot \sqrt[7]{a^2}}{\sqrt[7]{a^5} \cdot \sqrt[7]{a^2}} = \frac{a^5\sqrt[7]{a^2}}{\sqrt[7]{a^7}} = \frac{a^5\sqrt[7]{a^2}}{a} $.
Сократим дробь, используя свойство степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:
$ \frac{a^5\sqrt[7]{a^2}}{a} = a^{5-1}\sqrt[7]{a^2} = a^4\sqrt[7]{a^2} $.
Ответ: $ a^4\sqrt[7]{a^2} $.

105. Сократите дробь:

1) $\frac{\sqrt{m} + \sqrt{n}}{m - n}$;

2) $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}$;

3) $\frac{\sqrt[3]{x} - 4}{\sqrt[6]{x} - 2}$;

4) $\frac{\sqrt[4]{x^3} + x}{\sqrt{x} + \sqrt[4]{x}}$;

5) $\frac{\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{7}}{\sqrt[8]{5x^2} + \sqrt[8]{35x}}$;

6) $\frac{x - 27}{\sqrt[3]{x^2} + 3\sqrt[3]{x} + 9}$;

7) $\frac{x + \sqrt{2x} + 2}{x\sqrt{x} - 2\sqrt{2}}$.

1) $\frac{\sqrt{m} + \sqrt{n}}{m - n}$

Знаменатель дроби $m - n$ можно представить как разность квадратов, так как $m = (\sqrt{m})^2$ и $n = (\sqrt{n})^2$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$m - n = (\sqrt{m})^2 - (\sqrt{n})^2 = (\sqrt{m} - \sqrt{n})(\sqrt{m} + \sqrt{n})$

Теперь подставим это выражение в знаменатель исходной дроби:

$\frac{\sqrt{m} + \sqrt{n}}{(\sqrt{m} - \sqrt{n})(\sqrt{m} + \sqrt{n})}$

Сократим одинаковый множитель $(\sqrt{m} + \sqrt{n})$ в числителе и знаменателе:

$\frac{1}{\sqrt{m} - \sqrt{n}}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{m} - \sqrt{n}}$

2) $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}$

Числитель дроби $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ можно представить как разность квадратов, учитывая, что $\sqrt{a} = (\sqrt[4]{a})^2$ и $\sqrt{b} = (\sqrt[4]{b})^2$.

Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:

$\sqrt{a} - \sqrt{b} = (\sqrt[4]{a})^2 - (\sqrt[4]{b})^2 = (\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})$

Подставим разложенный числитель обратно в дробь:

$\frac{(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}$

Сократим общий множитель $(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})$:

$\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}$

Ответ: $\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}$

3) $\frac{\sqrt[3]{x} - 4}{\sqrt[6]{x} - 2}$

Представим числитель $\sqrt[3]{x} - 4$ как разность квадратов. Заметим, что $\sqrt[3]{x} = (\sqrt[6]{x})^2$ и $4 = 2^2$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$\sqrt[3]{x} - 4 = (\sqrt[6]{x})^2 - 2^2 = (\sqrt[6]{x} - 2)(\sqrt[6]{x} + 2)$

Подставим полученное выражение в числитель дроби:

$\frac{(\sqrt[6]{x} - 2)(\sqrt[6]{x} + 2)}{\sqrt[6]{x} - 2}$

Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt[6]{x} - 2)$:

$\sqrt[6]{x} + 2$

Ответ: $\sqrt[6]{x} + 2$

4) $\frac{\sqrt[4]{x^3} + x}{\sqrt{x} + \sqrt[4]{x}}$

Для упрощения вынесем общий множитель за скобки в числителе и знаменателе. Представим все члены через $\sqrt[4]{x}$.

В числителе: $\sqrt[4]{x^3} + x = \sqrt[4]{x^3} + \sqrt[4]{x^4} = \sqrt[4]{x^3}(1 + \sqrt[4]{x})$.

В знаменателе: $\sqrt{x} + \sqrt[4]{x} = \sqrt[4]{x^2} + \sqrt[4]{x} = \sqrt[4]{x}(\sqrt[4]{x} + 1)$.

Перепишем дробь с разложенными на множители числителем и знаменателем:

$\frac{\sqrt[4]{x^3}(1 + \sqrt[4]{x})}{\sqrt[4]{x}(1 + \sqrt[4]{x})}$

Сократим общий множитель $(1 + \sqrt[4]{x})$:

$\frac{\sqrt[4]{x^3}}{\sqrt[4]{x}} = \sqrt[4]{\frac{x^3}{x}} = \sqrt[4]{x^2}$

Упростим полученный корень: $\sqrt[4]{x^2} = \sqrt{x}$.

Ответ: $\sqrt{x}$

5) $\frac{\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{7}}{\sqrt[8]{5x^2} + \sqrt[8]{35x}}$

Сначала преобразуем знаменатель, вынеся общий множитель за скобки:

$\sqrt[8]{5x^2} + \sqrt[8]{35x} = \sqrt[8]{5x \cdot x} + \sqrt[8]{5x \cdot 7} = \sqrt[8]{5x}(\sqrt[8]{x} + \sqrt[8]{7})$

Теперь преобразуем числитель, используя формулу разности квадратов. Заметим, что $\sqrt[4]{x} = (\sqrt[8]{x})^2$ и $\sqrt[4]{7} = (\sqrt[8]{7})^2$.

$\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{7} = (\sqrt[8]{x})^2 - (\sqrt[8]{7})^2 = (\sqrt[8]{x} - \sqrt[8]{7})(\sqrt[8]{x} + \sqrt[8]{7})$

Подставим преобразованные выражения в дробь:

$\frac{(\sqrt[8]{x} - \sqrt[8]{7})(\sqrt[8]{x} + \sqrt[8]{7})}{\sqrt[8]{5x}(\sqrt[8]{x} + \sqrt[8]{7})}$

Сократим общий множитель $(\sqrt[8]{x} + \sqrt[8]{7})$:

$\frac{\sqrt[8]{x} - \sqrt[8]{7}}{\sqrt[8]{5x}}$

Ответ: $\frac{\sqrt[8]{x} - \sqrt[8]{7}}{\sqrt[8]{5x}}$

6) $\frac{x - 27}{\sqrt[3]{x^2} + 3\sqrt[3]{x} + 9}$

Числитель $x - 27$ представляет собой разность кубов, так как $x = (\sqrt[3]{x})^3$ и $27 = 3^3$.

Воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

$x - 27 = (\sqrt[3]{x})^3 - 3^3 = (\sqrt[3]{x} - 3)((\sqrt[3]{x})^2 + \sqrt[3]{x} \cdot 3 + 3^2) = (\sqrt[3]{x} - 3)(\sqrt[3]{x^2} + 3\sqrt[3]{x} + 9)$

Знаменатель дроби совпадает со вторым множителем в разложении числителя (неполный квадрат суммы).

Подставим разложение в дробь:

$\frac{(\sqrt[3]{x} - 3)(\sqrt[3]{x^2} + 3\sqrt[3]{x} + 9)}{\sqrt[3]{x^2} + 3\sqrt[3]{x} + 9}$

Сократим одинаковые выражения:

$\sqrt[3]{x} - 3$

Ответ: $\sqrt[3]{x} - 3$

7) $\frac{x + \sqrt{2x} + 2}{x\sqrt{x} - 2\sqrt{2}}$

Знаменатель дроби $x\sqrt{x} - 2\sqrt{2}$ можно представить как разность кубов. Заметим, что $x\sqrt{x} = (\sqrt{x})^3$ и $2\sqrt{2} = (\sqrt{2})^3$.

Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

$x\sqrt{x} - 2\sqrt{2} = (\sqrt{x})^3 - (\sqrt{2})^3 = (\sqrt{x} - \sqrt{2})((\sqrt{x})^2 + \sqrt{x}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2) = (\sqrt{x} - \sqrt{2})(x + \sqrt{2x} + 2)$

Числитель дроби совпадает со вторым множителем в разложении знаменателя.

Запишем дробь с разложенным знаменателем:

$\frac{x + \sqrt{2x} + 2}{(\sqrt{x} - \sqrt{2})(x + \sqrt{2x} + 2)}$

Сократим общий множитель $(x + \sqrt{2x} + 2)$:

$\frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}$