Страница 70 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

90. Представьте выражение $\sqrt[5]{b}$ в виде корня:

1) десятой степени;

2) двадцать пятой степени;

3) пятидесятой степени.

Для решения этой задачи воспользуемся основным свойством корня, которое гласит, что если показатель корня и показатель степени подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится. В виде формулы это выглядит так:

$\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[nk]{a^{mk}}$

Исходное выражение — $\sqrt[5]{b}$. Его можно записать как $\sqrt[5]{b^1}$. Здесь показатель корня $n=5$, а показатель степени подкоренного выражения $m=1$.

1) десятой степени

Требуется представить $\sqrt[5]{b}$ в виде корня десятой степени. Это значит, что новый показатель корня должен стать равным 10. Чтобы получить 10 из исходного показателя 5, нужно умножить его на 2. Следовательно, $k=2$.

Умножим показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на 2:

$\sqrt[5]{b^1} = \sqrt[5 \cdot 2]{b^{1 \cdot 2}} = \sqrt[10]{b^2}$

Ответ: $\sqrt[10]{b^2}$

2) двадцать пятой степени

Требуется представить $\sqrt[5]{b}$ в виде корня двадцать пятой степени. Новый показатель корня должен стать равным 25. Чтобы получить 25 из 5, нужно умножить его на 5. Следовательно, $k=5$.

Умножим показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на 5:

$\sqrt[5]{b^1} = \sqrt[5 \cdot 5]{b^{1 \cdot 5}} = \sqrt[25]{b^5}$

Ответ: $\sqrt[25]{b^5}$

3) пятидесятой степени

Требуется представить $\sqrt[5]{b}$ в виде корня пятидесятой степени. Новый показатель корня должен стать равным 50. Чтобы получить 50 из 5, нужно умножить его на 10. Следовательно, $k=10$.

Умножим показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на 10:

$\sqrt[5]{b^1} = \sqrt[5 \cdot 10]{b^{1 \cdot 10}} = \sqrt[50]{b^{10}}$

Ответ: $\sqrt[50]{b^{10}}$

91. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt[3]{40}$;

2) $\sqrt[5]{128}$;

3) $\sqrt[4]{162}$.

1) Чтобы вынести множитель из-под знака корня, необходимо разложить подкоренное выражение на множители таким образом, чтобы из одного или нескольких из них можно было извлечь корень заданной степени. В данном случае мы ищем множитель, являющийся точным кубом.
Разложим число 40 на простые множители:
$40 = 2 \times 20 = 2 \times 2 \times 10 = 2 \times 2 \times 2 \times 5 = 2^3 \times 5$.
Мы видим, что 40 можно представить как произведение $8 \times 5$, где 8 является кубом числа 2 ($2^3 = 8$).
Теперь подставим это разложение в исходное выражение:
$\sqrt[3]{40} = \sqrt[3]{8 \times 5}$.
Используя свойство корня из произведения $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$, получаем:
$\sqrt[3]{8 \times 5} = \sqrt[3]{8} \times \sqrt[3]{5}$.
Так как $\sqrt[3]{8} = 2$, окончательное выражение будет:
$2 \times \sqrt[3]{5} = 2\sqrt[3]{5}$.
Ответ: $2\sqrt[3]{5}$.

2) Требуется вынести множитель из-под знака корня пятой степени. Для этого разложим число 128 на множители, выделив множитель, являющийся пятой степенью какого-либо числа.
Число 128 является степенью двойки. Найдем эту степень: $128 = 2^7$.
Представим $2^7$ в виде произведения, где один из множителей будет в пятой степени: $2^7 = 2^5 \times 2^2$.
Число $2^5 = 32$.
Подставим разложение в исходное выражение:
$\sqrt[5]{128} = \sqrt[5]{32 \times 4}$.
Используем свойство корня из произведения:
$\sqrt[5]{32 \times 4} = \sqrt[5]{32} \times \sqrt[5]{4}$.
Так как $\sqrt[5]{32} = 2$, получаем:
$2 \times \sqrt[5]{4} = 2\sqrt[5]{4}$.
Ответ: $2\sqrt[5]{4}$.

3) Нужно вынести множитель из-под знака корня четвертой степени. Для этого разложим число 162 на множители, один из которых будет точной четвертой степенью.
Разложим 162 на простые множители:
$162 = 2 \times 81$.
Число 81 является четвертой степенью числа 3, так как $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$.
Таким образом, $162 = 81 \times 2$.
Подставим это разложение под знак корня:
$\sqrt[4]{162} = \sqrt[4]{81 \times 2}$.
Применим свойство корня из произведения:
$\sqrt[4]{81 \times 2} = \sqrt[4]{81} \times \sqrt[4]{2}$.
Так как $\sqrt[4]{81} = 3$, получаем результат:
$3 \times \sqrt[4]{2} = 3\sqrt[4]{2}$.
Ответ: $3\sqrt[4]{2}$.

92. Внесите множитель под знак корня:

1) $7\sqrt{2}$;

2) $4\sqrt[3]{5}$;

3) $10\sqrt[4]{0,24}$;

4) $0,1\sqrt[5]{84}$;

5) $\frac{5}{3}\sqrt[3]{54}$.

Для того чтобы внести положительный множитель $a$ под знак корня $n$-й степени, необходимо возвести этот множитель в степень $n$ и умножить на подкоренное выражение. Общая формула: $a\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a^n \cdot b}$, где $a \ge 0$.

1) Чтобы внести множитель $7$ под знак квадратного корня, возведем его во вторую степень (в квадрат) и умножим на подкоренное выражение:

$7\sqrt{2} = \sqrt{7^2 \cdot 2} = \sqrt{49 \cdot 2} = \sqrt{98}$.

Ответ: $\sqrt{98}$.

2) Чтобы внести множитель $4$ под знак кубического корня, возведем его в третью степень (в куб) и умножим на подкоренное выражение:

$4\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{4^3 \cdot 5} = \sqrt[3]{64 \cdot 5} = \sqrt[3]{320}$.

Ответ: $\sqrt[3]{320}$.

3) Чтобы внести множитель $10$ под знак корня четвертой степени, возведем его в четвертую степень и умножим на подкоренное выражение:

$10\sqrt[4]{0,24} = \sqrt[4]{10^4 \cdot 0,24} = \sqrt[4]{10000 \cdot 0,24} = \sqrt[4]{2400}$.

Ответ: $\sqrt[4]{2400}$.

4) Чтобы внести множитель $0,1$ под знак корня пятой степени, возведем его в пятую степень и умножим на подкоренное выражение:

$0,1\sqrt[5]{84} = \sqrt[5]{(0,1)^5 \cdot 84} = \sqrt[5]{0,00001 \cdot 84} = \sqrt[5]{0,00084}$.

Ответ: $\sqrt[5]{0,00084}$.

5) Чтобы внести множитель $\frac{5}{3}$ под знак кубического корня, возведем его в третью степень и умножим на подкоренное выражение:

$\frac{5}{3}\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{\left(\frac{5}{3}\right)^3 \cdot 54} = \sqrt[3]{\frac{125}{27} \cdot 54}$.

Упростим выражение под корнем, сократив $54$ и $27$ на $27$:

$\sqrt[3]{125 \cdot \frac{54}{27}} = \sqrt[3]{125 \cdot 2} = \sqrt[3]{250}$.

Ответ: $\sqrt[3]{250}$.

93. Упростите выражение:

1) $3\sqrt[7]{d} - \sqrt[7]{d} - \sqrt[7]{d};$

2) $2\sqrt[11]{10} - 4\sqrt[11]{6} - \sqrt[11]{10} + 3\sqrt[11]{6}.$

1) В выражении $3\sqrt[7]{d} - \sqrt[7]{d} - \sqrt[7]{d}$ все слагаемые являются подобными, так как имеют одинаковую часть с корнем $\sqrt[7]{d}$. Для упрощения выражения нужно привести подобные слагаемые, выполнив действия с их коэффициентами. Коэффициенты при втором и третьем слагаемых равны -1.
$3\sqrt[7]{d} - \sqrt[7]{d} - \sqrt[7]{d} = (3 - 1 - 1)\sqrt[7]{d} = 1 \cdot \sqrt[7]{d} = \sqrt[7]{d}$.
Ответ: $\sqrt[7]{d}$

2) В данном выражении $2\sqrt[11]{10} - 4\sqrt[11]{6} - \sqrt[11]{10} + 3\sqrt[11]{6}$ есть две группы подобных слагаемых: слагаемые с множителем $\sqrt[11]{10}$ и слагаемые с множителем $\sqrt[11]{6}$. Сгруппируем их и приведем подобные слагаемые в каждой группе:
$2\sqrt[11]{10} - 4\sqrt[11]{6} - \sqrt[11]{10} + 3\sqrt[11]{6} = (2\sqrt[11]{10} - \sqrt[11]{10}) + (-4\sqrt[11]{6} + 3\sqrt[11]{6})$
Вынесем общие множители за скобки и выполним вычисления:
$(2 - 1)\sqrt[11]{10} + (-4 + 3)\sqrt[11]{6} = 1 \cdot \sqrt[11]{10} + (-1) \cdot \sqrt[11]{6} = \sqrt[11]{10} - \sqrt[11]{6}$.
Ответ: $\sqrt[11]{10} - \sqrt[11]{6}$

94. Упростите выражение:

1) $\sqrt[3]{375} + 5\sqrt[3]{81} - 7\sqrt[3]{-192};$

2) $3\sqrt[4]{162n} - 2\sqrt[4]{243n} + \sqrt[4]{512n} - 5\sqrt[4]{1875n}.$

1)

Чтобы упростить выражение $\sqrt[3]{375} + 5\sqrt[3]{81} - 7\sqrt[3]{192}$, необходимо вынести множители из-под знака корня. Для этого разложим подкоренные выражения на множители, выделяя кубы чисел.

1. Упростим $\sqrt[3]{375}$:
$375 = 125 \cdot 3 = 5^3 \cdot 3$.
Следовательно, $\sqrt[3]{375} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 3} = 5\sqrt[3]{3}$.

2. Упростим $5\sqrt[3]{81}$:
$81 = 27 \cdot 3 = 3^3 \cdot 3$.
Следовательно, $5\sqrt[3]{81} = 5\sqrt[3]{3^3 \cdot 3} = 5 \cdot 3\sqrt[3]{3} = 15\sqrt[3]{3}$.

3. Упростим $7\sqrt[3]{192}$:
$192 = 64 \cdot 3 = 4^3 \cdot 3$.
Следовательно, $7\sqrt[3]{192} = 7\sqrt[3]{4^3 \cdot 3} = 7 \cdot 4\sqrt[3]{3} = 28\sqrt[3]{3}$.

Теперь подставим упрощенные слагаемые в исходное выражение и приведем подобные члены:
$5\sqrt[3]{3} + 15\sqrt[3]{3} - 28\sqrt[3]{3} = (5 + 15 - 28)\sqrt[3]{3} = (20 - 28)\sqrt[3]{3} = -8\sqrt[3]{3}$.

Ответ: $-8\sqrt[3]{3}$.

2)

Чтобы упростить выражение $3\sqrt[4]{162n} - 2\sqrt[4]{243n} + \sqrt[4]{512n} - 5\sqrt[4]{1875n}$, вынесем множители из-под знака корня четвертой степени. Для этого разложим подкоренные выражения на множители, выделяя четвертые степени чисел.

1. Упростим $3\sqrt[4]{162n}$:
$162 = 81 \cdot 2 = 3^4 \cdot 2$.
$3\sqrt[4]{162n} = 3\sqrt[4]{3^4 \cdot 2n} = 3 \cdot 3\sqrt[4]{2n} = 9\sqrt[4]{2n}$.

2. Упростим $2\sqrt[4]{243n}$:
$243 = 81 \cdot 3 = 3^4 \cdot 3$.
$2\sqrt[4]{243n} = 2\sqrt[4]{3^4 \cdot 3n} = 2 \cdot 3\sqrt[4]{3n} = 6\sqrt[4]{3n}$.

3. Упростим $\sqrt[4]{512n}$:
$512 = 256 \cdot 2 = 4^4 \cdot 2$.
$\sqrt[4]{512n} = \sqrt[4]{4^4 \cdot 2n} = 4\sqrt[4]{2n}$.

4. Упростим $5\sqrt[4]{1875n}$:
$1875 = 625 \cdot 3 = 5^4 \cdot 3$.
$5\sqrt[4]{1875n} = 5\sqrt[4]{5^4 \cdot 3n} = 5 \cdot 5\sqrt[4]{3n} = 25\sqrt[4]{3n}$.

Подставим полученные значения в исходное выражение и сгруппируем подобные слагаемые:
$9\sqrt[4]{2n} - 6\sqrt[4]{3n} + 4\sqrt[4]{2n} - 25\sqrt[4]{3n} = (9\sqrt[4]{2n} + 4\sqrt[4]{2n}) + (-6\sqrt[4]{3n} - 25\sqrt[4]{3n}) =$
$= (9 + 4)\sqrt[4]{2n} + (-6 - 25)\sqrt[4]{3n} = 13\sqrt[4]{2n} - 31\sqrt[4]{3n}$.

Ответ: $13\sqrt[4]{2n} - 31\sqrt[4]{3n}$.

95. Упростите выражение:

1) $\sqrt[3]{6\sqrt[3]{5}}$;2) $\sqrt[4]{b\sqrt[5]{b^2}}$;3) $\sqrt[7]{c\sqrt[5]{c^2}}$;4) $\sqrt[6]{a^2\sqrt[5]{a^2}}$.

1) Для упрощения выражения $\sqrt[3]{6\sqrt[3]{5}}$ внесем множитель 6 под внутренний знак корня. Для этого возведем 6 в степень, равную показателю внутреннего корня (в данном случае 3):
$\sqrt[3]{6\sqrt[3]{5}} = \sqrt[3]{\sqrt[3]{6^3 \cdot 5}}$
Теперь воспользуемся свойством корней $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}$ и вычислим значение под корнем:
$\sqrt[3]{\sqrt[3]{6^3 \cdot 5}} = \sqrt[3 \cdot 3]{216 \cdot 5} = \sqrt[9]{1080}$.
Ответ: $\sqrt[9]{1080}$

2) Упростим выражение $\sqrt[4]{b\sqrt[5]{b^2}}$. Внесем множитель $b$ под внутренний корень пятой степени, возведя его в 5-ю степень:
$\sqrt[4]{b\sqrt[5]{b^2}} = \sqrt[4]{\sqrt[5]{b^5 \cdot b^2}}$
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($b^m \cdot b^n = b^{m+n}$):
$\sqrt[4]{\sqrt[5]{b^{5+2}}} = \sqrt[4]{\sqrt[5]{b^7}}$
Используя свойство $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}$, перемножаем показатели корней:
$\sqrt[4 \cdot 5]{b^7} = \sqrt[20]{b^7}$.
Ответ: $\sqrt[20]{b^7}$

3) Упростим выражение $\sqrt[7]{c\sqrt[5]{c^2}}$. Внесем множитель $c$ под внутренний корень, возведя его в степень 5:
$\sqrt[7]{c\sqrt[5]{c^2}} = \sqrt[7]{\sqrt[5]{c^5 \cdot c^2}}$
Сложим показатели степеней под внутренним корнем:
$\sqrt[7]{\sqrt[5]{c^{5+2}}} = \sqrt[7]{\sqrt[5]{c^7}}$
Перемножим показатели корней:
$\sqrt[7 \cdot 5]{c^7} = \sqrt[35]{c^7}$
Данное выражение можно упростить, представив его в виде степени с рациональным показателем и сократив дробь: $c^{\frac{7}{35}} = c^{\frac{1}{5}}$.
Вернемся к записи в виде корня:
$c^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{c}$.
Ответ: $\sqrt[5]{c}$

4) Упростим выражение $\sqrt[6]{a^2\sqrt[5]{a^2}}$. Внесем множитель $a^2$ под внутренний корень пятой степени. Для этого возведем $a^2$ в 5-ю степень:
$\sqrt[6]{a^2\sqrt[5]{a^2}} = \sqrt[6]{\sqrt[5]{(a^2)^5 \cdot a^2}}$
При возведении степени в степень показатели перемножаются ($(a^m)^n = a^{mn}$), а при умножении степеней с одинаковым основанием — складываются:
$\sqrt[6]{\sqrt[5]{a^{2 \cdot 5} \cdot a^2}} = \sqrt[6]{\sqrt[5]{a^{10} \cdot a^2}} = \sqrt[6]{\sqrt[5]{a^{10+2}}} = \sqrt[6]{\sqrt[5]{a^{12}}}$
Теперь перемножим показатели корней:
$\sqrt[6 \cdot 5]{a^{12}} = \sqrt[30]{a^{12}}$
Сократим показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель 6:
$\sqrt[30 \div 6]{a^{12 \div 6}} = \sqrt[5]{a^2}$.
Ответ: $\sqrt[5]{a^2}$

96. Представьте в виде корня выражение:

1) $\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[3]{2}$;

2) $\sqrt[8]{a} \cdot \sqrt[12]{b}$;

3) $\frac{\sqrt[15]{a^4}}{\sqrt[5]{b^7}}$;

4) $\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{5}}{\sqrt[6]{10}}$;

5) $\sqrt[3]{a\sqrt[5]{a}} \cdot \sqrt[5]{a^2}$.

1) Чтобы представить выражение $\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[3]{2}$ в виде одного корня, необходимо привести корни к общему показателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для показателей 4 и 3 равно 12. Для приведения к общему показателю воспользуемся свойством $\sqrt[n]{x} = \sqrt[n \cdot k]{x^k}$.
Приведем первый множитель к показателю 12:
$\sqrt[4]{2} = \sqrt[4 \cdot 3]{2^3} = \sqrt[12]{8}$
Приведем второй множитель к показателю 12:
$\sqrt[3]{2} = \sqrt[3 \cdot 4]{2^4} = \sqrt[12]{16}$
Теперь перемножим полученные корни:
$\sqrt[12]{8} \cdot \sqrt[12]{16} = \sqrt[12]{8 \cdot 16} = \sqrt[12]{128}$.
Ответ: $\sqrt[12]{128}$.

2) Для того чтобы перемножить корни $\sqrt[8]{a} \cdot \sqrt[12]{b}$, приведем их к общему показателю. НОК для показателей 8 и 12 равно 24.
Приведем каждый корень к показателю 24:
$\sqrt[8]{a} = \sqrt[8 \cdot 3]{a^3} = \sqrt[24]{a^3}$
$\sqrt[12]{b} = \sqrt[12 \cdot 2]{b^2} = \sqrt[24]{b^2}$
Теперь выполним умножение:
$\sqrt[24]{a^3} \cdot \sqrt[24]{b^2} = \sqrt[24]{a^3 b^2}$.
Ответ: $\sqrt[24]{a^3 b^2}$.

3) В выражении $\frac{\sqrt[15]{a^4}}{\sqrt[5]{b^7}}$ приведем корни к общему показателю. НОК(15, 5) = 15.
Числитель $\sqrt[15]{a^4}$ уже имеет нужный показатель.
Приведем знаменатель к показателю 15:
$\sqrt[5]{b^7} = \sqrt[5 \cdot 3]{(b^7)^3} = \sqrt[15]{b^{21}}$
Теперь выполним деление, используя свойство частного корней с одинаковыми показателями:
$\frac{\sqrt[15]{a^4}}{\sqrt[15]{b^{21}}} = \sqrt[15]{\frac{a^4}{b^{21}}}$.
Ответ: $\sqrt[15]{\frac{a^4}{b^{21}}}$.

4) Чтобы представить выражение $\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{5}}{\sqrt[6]{10}}$ в виде одного корня, найдем общий показатель для корней с показателями 2, 4 и 6. НОК(2, 4, 6) = 12.
Приведем каждый корень к показателю 12:
$\sqrt{2} = \sqrt[2 \cdot 6]{2^6} = \sqrt[12]{64}$
$\sqrt[4]{5} = \sqrt[4 \cdot 3]{5^3} = \sqrt[12]{125}$
$\sqrt[6]{10} = \sqrt[6 \cdot 2]{10^2} = \sqrt[12]{100}$
Подставим полученные значения в исходное выражение:
$\frac{\sqrt[12]{64} \cdot \sqrt[12]{125}}{\sqrt[12]{100}} = \sqrt[12]{\frac{64 \cdot 125}{100}}$
Упростим подкоренное выражение:
$\frac{64 \cdot 125}{100} = \frac{64 \cdot 5 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{64 \cdot 5}{4} = 16 \cdot 5 = 80$.
В результате получаем:
$\sqrt[12]{80}$.
Ответ: $\sqrt[12]{80}$.

5) Упростим выражение $\sqrt[3]{a\sqrt[5]{a}} \cdot \sqrt[5]{a^2}$. Сначала преобразуем первый множитель. Для этого внесем множитель a под знак внутреннего корня, возведя его в степень, равную показателю корня:
$\sqrt[3]{a\sqrt[5]{a}} = \sqrt[3]{\sqrt[5]{a^5 \cdot a}} = \sqrt[3]{\sqrt[5]{a^6}}$
Используя свойство корня из корня $\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[m \cdot n]{x}$, получаем:
$\sqrt[3 \cdot 5]{a^6} = \sqrt[15]{a^6}$.
Теперь исходное выражение имеет вид: $\sqrt[15]{a^6} \cdot \sqrt[5]{a^2}$.
Приведем второй множитель к общему показателю 15:
$\sqrt[5]{a^2} = \sqrt[5 \cdot 3]{(a^2)^3} = \sqrt[15]{a^6}$.
Перемножим полученные корни:
$\sqrt[15]{a^6} \cdot \sqrt[15]{a^6} = \sqrt[15]{a^6 \cdot a^6} = \sqrt[15]{a^{12}}$.
Сократим показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их наибольший общий делитель, который равен 3:
$\sqrt[15:3]{a^{12:3}} = \sqrt[5]{a^4}$.
Ответ: $\sqrt[5]{a^4}$.

97. Сравните:

1) $\sqrt[3]{18}$ и $\sqrt{7}$;

2) $\sqrt[10]{5}$ и $\sqrt[15]{11}$;

3) $\sqrt[4]{7}$ и $\sqrt[6]{9\sqrt{7}}$.

1) Чтобы сравнить числа $\sqrt[3]{18}$ и $\sqrt{7}$, приведем их к общему показателю корня. Показатели корней равны 3 и 2. Наименьшее общее кратное (НОК) для 3 и 2 равно 6.
Приведем первый корень к показателю 6:
$\sqrt[3]{18} = \sqrt[3 \cdot 2]{18^2} = \sqrt[6]{324}$.
Приведем второй корень к показателю 6:
$\sqrt{7} = \sqrt[2 \cdot 3]{7^3} = \sqrt[6]{343}$.
Теперь сравним подкоренные выражения: $324$ и $343$.
Поскольку $324 < 343$, то и $\sqrt[6]{324} < \sqrt[6]{343}$.
Следовательно, $\sqrt[3]{18} < \sqrt{7}$.
Ответ: $\sqrt[3]{18} < \sqrt{7}$.

2) Сравним числа $\sqrt[10]{5}$ и $\sqrt[15]{11}$. Для этого приведем корни к общему показателю. НОК показателей 10 и 15 равно 30.
Приведем первый корень к показателю 30:
$\sqrt[10]{5} = \sqrt[10 \cdot 3]{5^3} = \sqrt[30]{125}$.
Приведем второй корень к показателю 30:
$\sqrt[15]{11} = \sqrt[15 \cdot 2]{11^2} = \sqrt[30]{121}$.
Сравним подкоренные выражения: $125$ и $121$.
Так как $125 > 121$, то $\sqrt[30]{125} > \sqrt[30]{121}$.
Следовательно, $\sqrt[10]{5} > \sqrt[15]{11}$.
Ответ: $\sqrt[10]{5} > \sqrt[15]{11}$.

3) Сравним числа $\sqrt[4]{7}$ и $\sqrt[6]{9\sqrt{7}}$. Сначала упростим второе выражение.
Внесем множитель 9 под знак внутреннего корня:
$9\sqrt{7} = \sqrt{9^2 \cdot 7} = \sqrt{81 \cdot 7} = \sqrt{567}$.
Тогда второе выражение примет вид:
$\sqrt[6]{9\sqrt{7}} = \sqrt[6]{\sqrt{567}} = \sqrt[6 \cdot 2]{567} = \sqrt[12]{567}$.
Теперь задача сводится к сравнению $\sqrt[4]{7}$ и $\sqrt[12]{567}$. Приведем корни к общему показателю. НОК для 4 и 12 равно 12.
Приведем первый корень к показателю 12:
$\sqrt[4]{7} = \sqrt[4 \cdot 3]{7^3} = \sqrt[12]{343}$.
Теперь сравним подкоренные выражения полученных корней: $343$ и $567$.
Поскольку $343 < 567$, то $\sqrt[12]{343} < \sqrt[12]{567}$.
Следовательно, $\sqrt[4]{7} < \sqrt[6]{9\sqrt{7}}$.
Ответ: $\sqrt[4]{7} < \sqrt[6]{9\sqrt{7}}$.

98. При каких значениях $x$ выполняется равенство:

1) $\sqrt[6]{x^2 - 16} = \sqrt[6]{x - 4} \cdot \sqrt[6]{x + 4}$;

2) $\sqrt[12]{(-x + 5)(x - 7)} = \sqrt[12]{x - 5} \cdot \sqrt[12]{7 - x}$;

3) $\sqrt[9]{(8 - x)(10 - x)} = \sqrt[9]{8 - x} \cdot \sqrt[9]{10 - x}$?

1) Данное равенство $\sqrt[6]{x^2 - 16} = \sqrt[6]{x - 4} \cdot \sqrt[6]{x + 4}$ основано на свойстве $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$. Поскольку показатель корня $n=6$ является четным, это свойство справедливо только тогда, когда подкоренные выражения у множителей в правой части неотрицательны. Таким образом, должны одновременно выполняться условия $x - 4 \ge 0$ и $x + 4 \ge 0$. Решением первого неравенства является $x \ge 4$, а второго — $x \ge -4$. Общим решением системы является промежуток $x \ge 4$. На этом промежутке все выражения под корнями неотрицательны, и равенство является верным. Ответ: $x \in [4, +\infty)$.

2) Равенство $\sqrt[12]{(-x+5)(x-7)} = \sqrt[12]{x-5} \cdot \sqrt[12]{7-x}$ также является частным случаем свойства $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$. Так как показатель корня $n=12$ — четное число, равенство будет верным, если подкоренные выражения в правой части неотрицательны: $x-5 \ge 0$ и $7-x \ge 0$. Решая эти неравенства, получаем $x \ge 5$ и $x \le 7$, что соответствует отрезку $[5, 7]$. На этом отрезке подкоренное выражение в левой части, $(-x+5)(x-7)$, также неотрицательно, поскольку является произведением двух неположительных множителей. Кроме того, можно проверить, что $(-x+5)(x-7) = (x-5)(7-x)$, то есть подкоренные выражения тождественно равны. Следовательно, равенство выполняется на всей области определения правой части. Ответ: $x \in [5, 7]$.

3) В равенстве $\sqrt[9]{(8-x)(10-x)} = \sqrt[9]{8-x} \cdot \sqrt[9]{10-x}$ показатель корня $n=9$ является нечетным. Свойство $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$ для нечетного показателя $n$ справедливо для любых действительных чисел $a$ и $b$. Корень нечетной степени определен для любого действительного подкоренного выражения, поэтому все части данного равенства определены при любом действительном значении $x$. Следовательно, равенство является тождеством и выполняется при всех действительных $x$. Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

99. Упростите выражение:

1) $\sqrt[8]{m^8}$, если $m \ge 0$;

2) $\sqrt[4]{n^4}$, если $n \le 0$;

3) $\sqrt[9]{p^9}$;

4) $\sqrt[3]{0,008m^{36}n^{48}};$

5) $\sqrt[4]{625x^{12}y^{28}z^8}$, если $x \ge 0, y \le 0$;

6) $2,5x^3\sqrt[4]{256x^{20}}$, если $x \ge 0$;

7) $\frac{\sqrt[6]{a^{12}b^{18}c^{30}}}{ab^2c^3}$, если $b > 0, c < 0$;

8) $-0,8y^2 \cdot \sqrt[4]{81x^{44}y^{24}}$, если $x \ge 0$.

1) Для любого четного показателя корня $2k$ справедливо равенство $\sqrt[2k]{a^{2k}} = |a|$. В данном случае показатель корня $8$ является четным числом, следовательно $\sqrt[8]{m^8} = |m|$. Поскольку по условию $m \geq 0$, то $|m| = m$.
Ответ: $m$.

2) Показатель корня $4$ является четным числом, поэтому $\sqrt[4]{n^4} = |n|$. По условию $n \leq 0$. По определению модуля, для любого отрицательного числа или нуля $|n| = -n$.
Ответ: $-n$.

3) Для любого нечетного показателя корня $2k+1$ справедливо равенство $\sqrt[2k+1]{a^{2k+1}} = a$. В данном случае показатель корня $9$ является нечетным числом, следовательно $\sqrt[9]{p^9} = p$.
Ответ: $p$.

4) Используем свойство корня из произведения и свойство корня из степени: $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ и $\sqrt[n]{a^k} = a^{\frac{k}{n}}$. $\sqrt[3]{0,008m^{36}n^{48}} = \sqrt[3]{0,008} \cdot \sqrt[3]{m^{36}} \cdot \sqrt[3]{n^{48}}$. Вычисляем каждый множитель: $\sqrt[3]{0,008} = \sqrt[3]{(0,2)^3} = 0,2$. $\sqrt[3]{m^{36}} = m^{\frac{36}{3}} = m^{12}$. $\sqrt[3]{n^{48}} = n^{\frac{48}{3}} = n^{16}$. Результат: $0,2m^{12}n^{16}$.
Ответ: $0,2m^{12}n^{16}$.

5) Показатель корня $4$ - четный. $\sqrt[4]{625x^{12}y^{28}z^8} = \sqrt[4]{5^4 \cdot (x^3)^4 \cdot (y^7)^4 \cdot (z^2)^4} = |5| \cdot |x^3| \cdot |y^7| \cdot |z^2| = 5|x^3||y^7|z^2$. Раскроем модули с учетом условий: Если $x \geq 0$, то $x^3 \geq 0$, и $|x^3| = x^3$. Если $y \leq 0$, то $y^7 \leq 0$, и $|y^7| = -y^7$. Выражение $z^2$ всегда неотрицательно, поэтому $|z^2| = z^2$. Подставляем раскрытые модули в выражение: $5 \cdot x^3 \cdot (-y^7) \cdot z^2 = -5x^3y^7z^2$.
Ответ: $-5x^3y^7z^2$.

6) Упростим выражение под корнем: $\sqrt[4]{256x^{20}} = \sqrt[4]{4^4 \cdot (x^5)^4} = |4| \cdot |x^5| = 4|x^5|$. По условию $x \geq 0$, следовательно $x^5 \geq 0$ и $|x^5| = x^5$. Таким образом, $\sqrt[4]{256x^{20}} = 4x^5$. Теперь умножим на множитель перед корнем: $2,5x^3 \cdot 4x^5 = (2,5 \cdot 4) \cdot (x^3 \cdot x^5) = 10x^8$.
Ответ: $10x^8$.

7) Сначала упростим числитель. Показатель корня $6$ - четный. $\sqrt[6]{a^{12}b^{18}c^{30}} = \sqrt[6]{(a^2)^6 \cdot (b^3)^6 \cdot (c^5)^6} = |a^2| \cdot |b^3| \cdot |c^5|$. Раскроем модули с учетом условий: $|a^2| = a^2$, так как квадрат любого числа неотрицателен. По условию $b > 0$, значит $b^3 > 0$, и $|b^3| = b^3$. По условию $c < 0$, значит $c^5 < 0$, и $|c^5| = -c^5$. Числитель равен $a^2 \cdot b^3 \cdot (-c^5) = -a^2b^3c^5$. Теперь разделим полученное выражение на знаменатель: $\frac{-a^2b^3c^5}{ab^2c^3} = -a^{2-1}b^{3-2}c^{5-3} = -abc^2$.
Ответ: $-abc^2$.

8) Упростим выражение под корнем. Показатель $4$ - четный. $\sqrt[4]{81x^{44}y^{24}} = \sqrt[4]{3^4 \cdot (x^{11})^4 \cdot (y^6)^4} = |3| \cdot |x^{11}| \cdot |y^6| = 3|x^{11}||y^6|$. Раскроем модули с учетом условий: По условию $x \geq 0$, значит $x^{11} \geq 0$, и $|x^{11}| = x^{11}$. Выражение $y^6$ всегда неотрицательно, поэтому $|y^6| = y^6$. Корень равен $3x^{11}y^6$. Теперь умножим на множитель перед корнем: $-0,8y^2 \cdot (3x^{11}y^6) = (-0,8 \cdot 3) \cdot x^{11} \cdot (y^2 \cdot y^6) = -2,4x^{11}y^8$.
Ответ: $-2,4x^{11}y^8$.